2019届高三数学课标一轮复习考点规范练： 25平面向量的应用 .docx
考点规范练25平面向量的应用基础巩固组1.在锐角三角形ABC中,若BC=2,sin A=223,则ABAC的最大值为()A.13B.45C.1D.32.已知|a|=2|b|,|b|0,且关于x的方程x2+|a|x-ab=0有两个相等的实数根,则向量a与b的夹角是()A.-6B.-3C.3D.233.在ABC中,已知向量AB与AC满足AB|AB|+AC|AC|BC=0且AB|AB|AC|AC|=12,则ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形4.在ABC中,AB=8,AC=6,AD垂直BC于点D,E,F分别为AB,AC的中点,若DEDF=6,则BC=()A.213B.10C.237D.145.已知三个向量m=a,cosA2,n=b,cosB2,p=c,cosC2共线,其中a,b,c,A,B,C分别是ABC的三条边及相对三个角,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形6.(2017北京高考)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AOAP的最大值为.7.平面上有三个点A(-2,y),B0,y2,C(x,y),若ABBC,则动点C的轨迹方程为.8.(2017湖北重点中学联考)在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD,则ACBD的最大值为.能力提升组9.(2017浙江杭州高级中学模拟)已知函数f(x)=sin(x+)的部分图象如图所示,点B,C是该图象与x轴的交点,过点C的直线与该图象交于D,E两点,则(BD+BE)(BE-CE)的值为()A.-1B.-12C.12D.210.已知ABD是等边三角形,且AB+12AD=AC,|CD|=3,那么四边形ABCD的面积为()A.32B.323C.33D.92311.(2017浙江杭州二模改编)设P为ABC所在平面上一点,且满足3PA+4PC=mAB(m>0).若ABP的面积为8,则ABC的面积为()A.7B.8C.14D.1612.(2017浙江杭州学军中学模拟)已知正三角形ABC的边长为23,平面ABC内的动点P,M满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是()A.434B.494C.37+634D.37+233413.(2017浙江湖州考试)已知ABC的面积是4,BAC=120,点P满足BP=3PC,过点P作边AB,AC所在直线的垂线,垂足分别是M,N.则PMPN=.14.在ABCD中,BAD=60,AB=1,AD=3,P为ABCD内一点,且AP=32,若AP=AB+AD(,R),则+3的最大值为.15.(2017浙江高考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.16.(2017浙江镇海中学模拟)已知向量a=(cos ,sin ),b=(2,-1).(1)若ab,求sin-cossin+cos的值;(2)若|a-b|=2,0,2,求sin+4的值.17.(2017浙江杭州联考)已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQl,垂足为Q,且PC+12PQPC-12PQ=0.(1)求动点P的轨迹方程;(2)若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一条直径,求PEPF的最值.答案：1.C设ABC三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc13=4,由基本不等式可得443bc,即bc3,所以ABAC=bccos A=13bc1.2.D设向量a与b的夹角为.由已知可得=|a|2+4ab=0,即4|b|2+42|b|2cos =0,cos =-12.又0,=23.3.D设BAC的角平分线为AD,则AB|AB|+AC|AC|=AD.由已知得ADBC,ABC为等腰三角形.又AB|AB|AC|AC|=12,即cos A=12,A=60,ABC为等边三角形.故选D.4.A令BC=a,则由条件可知,DEDF=12(DB+DA)12(DC+DA)=14(DBDC+DA2)=6.DA2-DB(BC-DB)=24,又在RtADC,RtADB中有BD2+DA2=64,(BC-BD)2+DA2=36,联立解得BC2=52.a=213.故选A.5.Bm=a,cosA2与n=b,cosB2共线,acosB2=bcosA2.由正弦定理,得sin AcosB2=sin BcosA2.sin A=2sinA2cosA2,sin B=2sinB2cosB2,2sinA2cosA2cosB2=2sinB2cosB2cosA2,化简,得sinA2=sinB2.又0<A2<2,0<B2<2,A2=B2,可得A=B.同理,由n=b,cosB2与p=c,cosC2共线得到B=C,在ABC中,A=B=C,可得ABC是等边三角形.故选B.6.6AOAP=|AO|AP|cos |AO|AP|2(2+1)=6.所以最大值是6.7.y2=8x(x0)由题意得AB=2,-y2,BC=x,y2.又ABBC,所以ABBC=0,即2,-y2x,y2=0,化简得y2=8x(x0).8.2因AC=OC-OA,BD=OD-OB,故ACBD=(OC-OA)(OD-OB)=OCOD-OCOB-OAOD+OAOB,由题设可得COD=60,设DOA=,BOC=-+3,所以ACBD=2-4cos-+3-4cos -4=-2+4cos3-4cos ,即ACBD=-2+4sin-6,则当sin-6=1时,ACBD取最大值为-2+4=2,应填答案2.9.Df(x)=sin(x+)的周期为2.|BC|=1.D,E关于点C对称,C是线段DE的中点,(BD+BE)(BE-CE)=2BC(BE+EC)=2BC2=2.故选D.10.B如图所示,CD=AD-AC=12AD-AB,CD2=12AD-AB2,即3=14AD2+AB2-ADAB.|AD|=|AB|,54|AD|2-|AD|AB|cos 60=3.|AD|=2.又BC=AC-AB=12AD,|BC|=12|AD|=1.|BC|2+|CD|2=|BD|2.BCCD.S四边形ABCD=SABD+SBCD=1222sin 60+1213=323,故选B.11.C由3PA+4PC=mAB得37PA+47PC=m7AB,设PD=37PA+47PC=m7AB,(如图所示)于是可得点D在边AC上,ABPD,且3AD=4DC,则|DA|CA|=47,由ABPD,所以SABP=SABD,所以SABD=8.又因为SABDSABC=|DA|CA|,所以8SABC=47,则SABC=14.12.B如图所示,建立直角坐标系.B(0,0),C(23,0),A(3,3).P满足|AP|=1,设P(x,y),点P的轨迹方程为:(x-3)2+(y-3)2=1,令x=3+cos ,y=3+sin ,0,2).又PM=MC,则M323+12cos,32+12sin,|BM|2=332+12cos2=32+12sin2=374+3sin+3494.|BM|2的最大值是494.也可以以点A为坐标原点建立坐标系.故选B.13.338不妨令ABC为等腰三角形,BAC=120,B=C=30,b=c.SABC=12bcsin A=4,b2=c2=163.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=483=163.BP=3PC,|PC|=14|BC|=a4,|BP|=34|BC|=3a4.过点P作边AB,AC所在直线的垂线,垂足分别是M,N,故|PM|=|BP|sin B=3a8,|PN|=|PC|sin C=a8.MPN=180-A=60,PMPN=|PM|PN|cos 60=3a8a812=3a2128=338.故答案为338.14.1AP=AB+AD,|AP|2=(AB+AD)2,即322=2|AB|2+2|AD|2+2ABAD.又AB=1,AD=3,BAD=60,ABAD=|AB|AD|cos 60=32.34=2+32+3.(+3)2=34+334+322.(+3)21.+3的最大值为1,当且仅当=12,=36时取等号.15.425设向量a,b的夹角为,由余弦定理有:|a-b|=12+22-212cos=5-4cos,|a+b|=12+22-212cos(-)=5+4cos,则|a+b|+|a-b|=5+4cos+5-4cos,令y=5+4cos+5-4cos,则y2=10+225-16cos216,20,据此可得:(|a+b|+|a-b|)max=20=25,(|a+b|+|a-b|)min=16=4,即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是25.16.解 (1)由ab可知,ab=2cos -sin =0,所以sin =2cos ,所以sin-cossin+cos=2cos-cos2cos+cos=13.(2)由a-b=(cos -2,sin +1)可得,|a-b|=(cos-2)2+(sin+1)2=6-4cos+2sin=2,即1-2cos +sin =0.又cos2+sin2=1,且0,2,所以sin =35,cos =45.所以sin+4=22(sin +cos )=2235+45=7210.17.解 (1)设P(x,y),则Q(8,y).由PC+12PQPC-12PQ=0,得|PC|2-14|PQ|2=0,即(x-2)2+y2-14(x-8)2=0,化简得x216+y212=1.所以点P在椭圆上,其方程为x216+y212=1.(2)因PEPF=(NE-NP)(NF-NP)=(-NF-NP)(NF-NP)=NP2-NF2=NP2-1,P是椭圆x216+y212=1上的任一点,设P(x0,y0),则有x0216+y0212=1,即x02=16-4y023,又N(0,1),所以NP2=x02+(y0-1)2=-13y02-2y0+17=-13(y0+3)2+20.因y0-23,23,所以当y0=-3时,NP2取得最大值20,故PEPF的最大值19.当y0=23时,NP2取得最小值13-43(此时x0=0),故PEPF的最小值为12-43.
