2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2.3 .docx

2.2.3直线与平面平行的性质学习目标1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想知识点直线与平面平行的性质思考1如图，直线l平面，直线a平面，直线l与直线a一定平行吗？为什么？答案不一定，因为还可能是异面直线思考2如图，直线a平面，直线a平面，平面平面直线b，满足以上条件的平面有多少个？直线a，b有什么位置关系？答案无数个ab.梳理线面平行的性质文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a，a，bab图形语言类型一线面平行的性质定理的应用例1如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形证明因为AB平面MNPQ，平面ABC平面MNPQMN，且AB平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知ABMN.同理ABPQ，所以MNPQ.同理可得MQNP.所以截面MNPQ是平行四边形引申探究1若本例条件不变，求证：.证明由例1知：PQAB，.又QMDC，.2若本例中添加条件：ABCD，AB10，CD8，且BPPD11，求四边形MNPQ的面积解由例1知，四边形MNPQ是平行四边形，ABCD，PQQM，四边形MNPQ是矩形又BPPD11，PQ5，QM4，四边形MNPQ的面积为5420.反思与感悟(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行跟踪训练1如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段FE的长度等于_答案解析EF平面AB1C，又平面ADC平面AB1CAC，EF平面ADC，EFAC，E是AD的中点，EFAC2.类型二线面平行性质定理与判定定理的综合应用例2如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC平面PADl.(1)求证：lBC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论证明(1)因为BCAD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又因为平面PBC平面PADl，所以BCl.解(2)平行证明如下：如图，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NEAM且NEAM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MNAE.又AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN平面PAD.反思与感悟判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：线线平行线面平行线线平行跟踪训练2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH平面PAD.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的中点，PAMO，而AP平面BDM，OM平面BDM，PA平面BMD，又PA平面PAHG，平面PAHG平面BMDGH，PAGH.又PA平面PAD，GH平面PAD，GH平面PAD.1梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是()A平行 B平行或异面C平行或相交 D异面或相交答案B解析CD，直线CD与平面内的直线的位置关系是平行或异面2直线a平面，内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有()A0条 B1条C0条或1条 D无数条答案C解析过直线a与交点作平面，设平面与交于直线b，则ab，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()A平行 B相交C异面 D平行或异面答案A解析由长方体性质知：EF平面ABCD，EF平面EFGH，平面EFGH平面ABCDGH，EFGH.又EFAB，GHAB.4.如图所示，直线a平面，A，并且a和A位于平面两侧，点B，Ca，AB，AC分别交平面于点E，F，若BC4，CF5，AF3，则EF_.答案解析由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面，所以EF.因为a平面，a平面，所以EFa.所以.所以EF.5.如图，AB是圆O的直径 ，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明解直线l平面PAC.证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EFAC.又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl，所以EFl.因为l平面PAC，EF平面PAC，所以l平面PAC.1在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质2要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化转化思想是解决这类问题的最有效的方法课时作业一、选择题1如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH平面SCD，则()AGHSABGHSDCGHSCD以上均有可能答案B解析因为GH平面SCD，GH平面SBD，平面SBD平面SCDSD，所以GHSD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.2直线a平面，P，过点P平行于a的直线()A只有一条，不在平面内B有无数条，不一定在内C只有一条，且在平面内D有无数条，一定在内答案C解析由线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面内，故选C.3过平面外的直线l作一组平面与相交，如果所得的交线为a，b，c，则这些交线的位置关系为()A都平行B都相交但不一定交于同一点C都相交且一定交于同一点D都平行或都交于同一点答案D解析分l和l与相交两种情况作答，对应的结果是都平行或都交于同一点4如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN平面PAD，则()AMNPDBMNPACMNADD以上均有可能答案B5已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ平面AA1B1B，则线段PQ的长为()A1 B. C. D.答案C解析如图，连接AD1，AB1，PQ平面AA1B1B，平面AB1D1平面AA1B1BAB1，PQ平面AB1D1，PQAB1，PQAB1.6在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD平面EFGH时，下面结论正确的是()AE，F，G，H一定是各边的中点BG，H一定是CD，DA的中点CBEEABFFC，且DHHADGGCDAEEBAHHD，且BFFCDGGC答案D解析由于BD平面EFGH，所以有BDEH，BDFG，则AEEBAHHD，且BFFCDGGC.7.如图，四棱锥SABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为()A2 B3C32 D22答案C解析CDAB，CD平面SAB，CD平面SAB.又平面CDEF平面SABEF，CDEF，又CDAB，ABEF.SEEA，EF为ABS的中位线，EFAB1，又DECF，四边形DEFC的周长为32.二、填空题8.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.答案a解析MN平面AC，平面PMN平面ACPQ，MNPQ，易知DPDQ，故PQDP.9.如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC平面EFGH，BD平面EFGH，ACm，BDn，当四边形EFGH是菱形时，AEEB_.答案mn解析AC平面EFGH，EFAC，GHAC，EFHGm，同理EHFGn.四边形EFGH是菱形，mn，AEEBmn.10.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB，CD，ACE，ADF，BDH，BCG，则四边形EFHG的形状是_答案平行四边形解析AB，平面ABCEG，EGAB.同理FHAB，EGFH.又CD，平面BCDGH，GHCD.同理EFCD，GHEF，四边形EFHG是平行四边形11如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为_答案46解析由EF平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EFFBBC1C1E46.三、解答题12.如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC平面MEF，试求PMMA的值解如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.因为PC平面MEF，平面PAC平面MEFOM，所以PCOM，所以.在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以.又AO1CO1，所以，故PMMA13.13如图所示，已知正三棱柱ABCABC中，D是AA上的点，E是BC的中点，且AE平面DBC.试判断D点在AA上的位置，并给出证明解点D为AA的中点证明如下：取BC的中点F，连接AF，EF，如图设EF与BC交于点O，易证AEAF，AEAF，易知A，E，F，A共面于平面AEFA.因为AE平面DBC，AE平面AEFA，且平面DBC平面AEFADO，所以AEDO.在平行四边形AEFA中，因为O是EF的中点(因为ECBF，且ECBF)，所以点D为AA的中点四、探究与拓展14.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，在下列命题中，错误的为()AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45答案C解析由题意知PQAC，QMBD，PQQM，则ACBD，故A正确；由PQAC可得AC截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；C是错误的，故选C.15如图所示，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBCAP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将PCD沿CD折起，得到四棱锥PABCD，如图所示求证：在四棱锥PABCD中，AP平面EFG.证明在四棱锥PABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，EFCD.ABCD，EFAB.EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB.同理EG平面PAB.又EFEGE，平面EFG平面PAB.AP平面PAB，AP平面EFG.