2022年概率论与数理统计期末考试试题及答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 一、单项挑选题 每题 3 分 共 18 分 如大事 A、B 适合 P AB 0 , 就以下说法正确选项 .A A 与 B 互斥 互不相容 ;B P A 0 或 P B 0 ;C A 与 B 同时显现是不行能大事 ;（1）D P A 0 , 就 P B A 0 .（2）设随机变量 X 其概率分布为 X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4 名师归纳总结 就P X15. （）；）0第 1 页,共 10 页A0.6 B 1 C 0 D 12设大事A 与A 同时发生必导致大事A 发生,就以下结论正确选项（相互独（A）PAPA 1A2（B）PA PA 1PA 21（C）PAPA 1A2（D）PAPA 1PA 21设随机变量XN3,1,YN2,1,且X与Y立,令ZX2Y7,就Z.0,54 .AN0,5;BN0,3;CN0,46;DN1D 2 A 3 B 4 A 5 A 6 B 填空题 1.PB2. fx xexx0x0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - , （1）假如PA ,0P B0 ,PAB PA ,就P BA （2）设随机变量 X 的分布函数为,0 x ,0F x x1 1 x e , x .0就 X 的密度函数 f x ,P X 2 . 三、 6 分 设 A, B 相互独立,P A 0 . 7,P A B 0 . 88,求 P A B .四、（6 分）某宾馆大楼有 4 部电梯,通过调查,知道在某时刻 T,各电梯在运行的概率均为 0.7 ,求在此时刻至少有 1 台电梯在运行的概率；xe , x 0五、（6 分）设随机变量 X 的概率密度为 f x ,0 , 其它求随机变量 Y=2X+1的概率密度；六、（8 分） 已知随机变量 X 和 Y 的概率分布为X 1 0 1 Y 0 1P 1 1 1 P 1 14 2 4 2 21 而且 P XY 0 1 . 求随机变量 X 和 Y 的联合分布 ; 2 判定 X 与 Y 是否相互独立. 七、（8 分）设二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为 3 x 4 y 12 e , x 0 , y ,0f x , y 0 , 其他 .求：（1）P 0 X ,1 0 Y 2 ；（2）求 X 的边缘密度；八、（6 分）一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）听从参数为 的指数分布；工厂规定,出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换；如工厂售出一台设备盈利 100 元,调换一台设备厂方需花费 300 元,求工厂出售一台设备净盈利的期望；十、（7 分）设供电站供应某地区1 000 户居民用电,各户用电情形相互独立；已知每户每名师归纳总结 日用电量（单位：度）听从0 ,20 上的匀称分布,利用中心极限定理求这1 000 户居民每第 2 页,共 10 页日用电量超过10 100 度的概率；（所求概率用标准正态分布函数x 的值表示）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、解： 0.88=PABPA PBPAB = P A P B P A P B 由于 A, B 相互独立 .2 分 = 0 . 7 P B 0 7. P B 3 分就 P B 0 . 6 .4 分P A B P A P AB P A P A P B .0 7 0 . 7 0 6. 0 . 28 6 分解：用 X 表示时刻 T 运行的电梯数,就 X b 4 , 0 7. .2 分所求概率 P X 1 1 P X 0 4 分0 0 41 C 4 0 . 7 1 0 7. =0.9919 .6 分解：由于 y 2x 1 是单调可导的,故可用公式法运算 .1 分当 X 0 时,Y 1 .2 分由 y 2x 1, 得 x y 1, x ' 1 4 分2 2y 1 1f y 12 2从而 Y 的密度函数为 fY y .5 分0 y 1y 11 e 2 y 12= .6 分0 y 1解：由于 P XY 0 1,所以 P XY 0 01 依据边缘概率与联合概率之间的关系得出Y-1 0 1 X0 10 111 12440 20 12名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 111424 .4 分2 由于PX0 ,Y00PX0PY0111224所以X与Y不相互独立 8 分解：用X 表示第 i 户居民的用电量,就X i U0,202100 2 分EXi02010DXi20021231000名师归纳总结 就 1000 户居民的用电量为XXi,由独立同分布中心极限定理X e 1第 4 页,共 10 页i1PX101001PX10100 3 分= 1PX10001010100100010 4 分1000100 31000100 3110100100010 .6 分1000100 3=13 7 分1012解：（1）P 0X,10Y2 dx12 e3x4ydy .2分0013 e3xdx24e4ydy=e3x1e4y20000 =1e31e8 .4 分（2）fXx12e3x4ydy .6分3 e3xx0 .8分 因 为40x0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得fx1e1xxx00 .2 分440用 Y 表示出售一台设备的净盈利100 X 1Y 3 分100 300 0 X 1x 1就 P Y 100 1 14 e 4 dx e 4x 1P Y 200 0 1 14 e 4 dx 1 e 4 .4 分1 1 1所以 EY 100 e 4 200 1 e 4 300 e 4 200 33 . 64（元）一、填空题 每道题 3 分 , 共 30 分 1、“ 大事 A B , C 中至少有一个不发生” 这一大事可以表示为 . 2、设 P A 0.7, P AB 0.3 , 就 P A B _. 3、袋中有 6 个白球 ,5 个红球 , 从中任取 3 个, 恰好抽到 2 个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为P Xka , k 1,2,8, 就 P 2X,8,就a_. 1,就5、设随机变量X在2,8内听从匀称分布4 . X6、设随机变量 X 的分布律为, 就YX2的分布律是 . 2101p k18115155157 、 设 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为的 泊 松 分 布 , 且 已 知EX1 X2 . 8、设 X 1 , X 2 , , X 是来自正态总体 N 2,9 的样本 , X 是样本均植 , 就 X 听从的分布是二、 此题 12 分 甲乙两家企业生产同一种产品 . 甲企业生产的 60 件产品中有 12 件是次品 , 乙企业生产的 50 件产品中有 10 件次品 . 两家企业生产的产品混合在一起存放 , 现从中任取 1 件进行检验 . 求: 名师归纳总结 1 求取出的产品为次品的概率; F x ; 3求第 5 页,共 10 页2 如取出的一件产品为次品, 问这件产品是乙企业生产的概率. 三、 此题 12 分 设随机变量 X 的概率密度为kx,0x3f x 2x,3x4 1确定常数 k ; 2求 X 的分布函数20,其它P1X7. 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四、 此题 12 分 设二维随机向量X Y的联合分布律为Y1X012X 与 Y 是否独立 .为什么 . 0.10.20.1试求 : 1 2a0.10.2a 的值 ; 2X 与 Y 的边缘分布律 ; 3五、 此题 12 分 设随机变量 X 的概率密度为fxx,0x.1,求E X,D X2x,1x2,0,其他一、填空题 每道题 3 分 , 共 30 分 1、 ABC 或 ABC 2 、0.6 3、2 1C C 6或4 11或 0.3636 4、1 5、1 36、,3 C 11X2014p k131 7 、1 8 、N 2,1555二、解设A1 ,A2分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产, B 表示取出的零件为次品就由已知有名师归纳总结 P A 1606, P A 2505,P B A 1121,P B A 2101 . 2 分1101111011605505 1由全概率公式得7 分 2P B P A P B A 1P A 2P B A 261511 . 1151155由贝叶斯公式得P A BP A P B A 2515. 12 分11 15P B 11三、 此题 12 分 5解 1由概率密度的性质知f x dx3kxdx42xdx9k1103224; 3 分故k1. . 6 2当x0时 ,F x xf t dt0; 当 0x3时, F x xf t dtx1tdt12 x; 0612当 3x4时, F x xf t dt31tdtx2tdt1x22x306324第 6 页,共 10 页当x4时, F x xf t dt31tdt42tdt1; 0362- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故 X 的分布函数为 3 F x 022x3,x039 分1x2,0x12,3x . 1 4x4P11F7,x415141. 12 分X7 2F12161248四、解 1由分布律的性质知4 分6 分8 分12 分6 分9 分12 分故01. 0.2 0.1 a 0.1 0.2 1a 0.3 . 2 X Y 分别关于 X 和 Y 的边缘分布律为X012. p0.40.30.3Y12 . p0.40.6 3由于P X0, Y10.1 ,P X0P Y10.4 0.40.16, 故P X0,Y1P X0P Y1所以 X 与 Y 不相互独立 . . 五、 此题 12 分 设随机变量 X 的概率密度为x,0x1,fx2x,1x2,0,其他.求E X,D X. 解E Xxf x dx1x2d x2x2x dx1x31x2x321. . 013031E X22x f x d x1x3 d x2x22x dx7. . 016D XE X2E X21. 6一、填空题（每空3 分,共 45 分）1、已知 PA = 0.92, PB = 0.93, PB|A = 0.85, 就 PA|B = P AB = 12、设大事 A 与 B 独立, A 与 B 都不发生的概率为 9 ,A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且 A 不发生的概率相等,就 A发生的概率为：；3、一间宿舍内住有 6 个同学,求他们之中恰好有 4 个人的生日在同一个月份的概率：没有任何人的生日在同一个月份的概率名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - Aex,x0 1/ 4, 0 x 20, x 24、已知随机变量 X的密度函数为：, 就常数 A= , 分布函数 F x= , 概率 P 0.5 X 1；5、设随机变量 X B2,p 、Y B1 ,p ,如 P X 1 5/ 9,就 p = ,如 X 与 Y 独立,就 Z=maxX,Y 的分布律：；6、 设 X B 200,0.01, Y P 4, 且 X 与 Y 相互独立,就 D2X-3Y= , 1、 12 分 设连续型随机变量 X 的密度函数为：1 , 0 x 2 20, 其它 求： 1）P | 2 X 1| 2；2）Y X 2的密度函数Yy；3）E 2 X 1；2、 12 分设随机变量 X,Y 的密度函数为1） , 1/ 4,|y|x,0x2, ,Y y ；0,其他求边缘密度函数X2） 问 X与 Y是否独立？是否相关？运算Z = X + Y的密度函数Zz 1、（ 10 分）设某人从外地赶来参与紧急会议,他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 3/10 ,1/5 ,1/10 和 2/5 ；假如他乘飞机来,不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来,迟到的概率分别是 1/4 ,1/3 ,1/2 ；现此人迟到,试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？1 4 2 6C C 6 11 C 12 6.6 61、 0.8286 , 0.988 ； 2、 2/3 ； 3、12,12； 4、 1/2, F x= 1 xe , x 021 x , 0 x 22 41, x 2 3 1 e 0.5,P 0.5 X 1 4 2；5、 p = 1/3 , Z=maxX,Y 的分布律： Z 0 1 2 P 8/27 16/27 3/27；6、 D2X-3Y= 43.92 , 二、运算题（ 35 分）名师归纳总结 1、解 1 ）P | 2X1|2yP 0.5X1.5y9第 8 页,共 10 页16Y 21yXXy,00y0,2）1 , 40y45其它0,4 313）E2X12EX123- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、解： 1）X , x y dyx1dy,0x2x,0x2x42其它0,其它0,Y , x y dxY21dx,|y| 212|y|,|y| 2| |442）明显, , X 0,其它0,其它 y ,所以 X与 Y不独立；又由于 EY=0,EXY=0,所以,COVX,Y=0,因此 X与 Y 不相关；Z , x z x dxz 2 1dx , 0 z 4 1 z, 0 z 42 4 2 8 3）0, 其它 0, 其它1、 解：设大事 A1,A2,A3,A4 分别表示交通工具“ 火车、轮船、汽车和飞机” ,其概率分别等于 3/10 ,1/5 ,1/10 和 2/5 ,大事 B 表示“ 迟到” ,已知概率 P B A i , i 1,2,3, 4 分别等于 1/4 ,1/3 ,1/2 ,0 4P B P A P B A i 23就 i 1 120P A 1 | B P A P B A 1 9P A 2 | B P A P B | A 2 8P B 23,P B 23P A 3 | B P A P B A 3 6 P A 4 | B P A 4 P B A 4 0P B 23,P B 由概率判定他乘火车的可能性最大；名师归纳总结 一、填空题（每道题4 分,共 20 分）；第 9 页,共 10 页1、设大事 A, B 独立,且P A0.5,P B=0.6,就P AB2、设随机变量X 的分布密度为f kx 2,0x2,就k=0 ,其它；123、设随机变量XN ,4,就YX2；4、设X Y 相互独立,其分布列分别为X0 1 Y0 1 P1212P12就P XY；5、设XN2,2,就EX2；二、单项挑选题（每道题4 分,共 20 分）1、对于任意二大事A, B ,就（） A 如 AB,就A、B肯定独立B 如 AB,就A、B肯定不独立C 如AB =,就A、B肯定互斥D 如AB =,就A、B肯定互余- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p ,就此人第4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为（）C3p21p 2D6p21p2 A 3 1p2B6p1p23、已知随机变量X 的分布密度为f x 4 x3,0x1如P0 ,其它XaPXa, 那么常数a1 A 42 . X Y 相互独立,且 X N 1,1,Y N 1,4,就（）B4、设 A P XY2） =1BP XY1）=122CP XY2）=1DP XY1） =1225、设XN1,4,YN 1,2,且X ,Y相互独立,就X2 Y（）AN1,13BN1, 5CN1, 13DN3,12三、（ 10 分） 某商店销售的LED灯中,甲厂产品占80%,其中一等品占95%,乙厂产品占 20%,其中一等品占90%,求顾客任购一支LED灯是一等品的概率；四、（ 12 分） 设某种电子元件的使用寿命X （单位：小时）听从参数为0.002 的指数分布,其分布密度为xe , x 0f x 0 , 其它 1、运算 P X 1000）；2、某设备装有 3 个这样的电子元件,求该设备使用 1000 小时后至少有一只电子元件正常工作的概率；五、（12 分）袋中装有编号为 0、1、1、2 四个球,从中接连一只只有放回摸球,用 X表示第一次摸得的号码,Y 表示其次次摸得的号码,2 21、求 X Y 的联合分布及关于 X , Y 的边缘分布； 2、运算 E X Y ；六、（ 14 分） 设二维随机变量 X Y 的分布密度为4 xy , 0 x 1,0 y 1f x , y 0,其它运算 P Y X 2）；求随机变量 X Y 的边缘分布密度 f X , f Y y；判定 X Y 是否相互独立；名师归纳总结 七、（ 12 分） 设XN0,1,求Y=2 X 的分布密度；第 10 页,共 10 页- - - - - - -