2022年概率统计专题复习.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载概率、统计专题复习（理科）例 1、世界高校生夏季运动会期间 , 为了搞好接待工作,组委会在某学院招募了 12 名男理想者和 18 名女理想者； 将这 30 名理想者的身高编成如右所示的茎叶图（单位 :cm）：如身高在175cm以上（包括 175cm）定义为“ 高个子” ,身高在 175cm 以下（不包括 175cm）定义为“ 非高个子”, 且只有“ 女高个子” 才担任“ 礼仪小姐”. （）假如用分层抽样的方法从“ 高个子” 和“ 非高个子” 中中提取 5 人, 再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“ 高个子” 的概率是多少？（）如从全部“ 高个子” 中选 3 名理想者,用 表示所选理想者中能担任“ 礼仪小姐” 的人数,试写出 的分布列 . 例 2、红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C进行围棋竞赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一盘,已知甲胜A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘竞赛结果相互独立；（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数,求的分布列和数学期望E. 例 3. 从装有 6 个白球、 4 个黑球和 2 个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出一个黑球赢 2 元,而每取出一个白球输1 元,取出黄球无输赢,以X 表示赢得的钱数,就随机变量X可以取哪些值？求X的概率分布 . 例 41（2022 年高考（天津理） ）现有 4 个人去参与某消遣活动, 该活动有甲、乙两个嬉戏可供参与者挑选 . 为增加趣味性 , 商定 : 每个人通过掷一枚质地匀称的骰子打算自己去参与个游名师归纳总结 戏, 掷出点数为1 或 2 的人去参与甲嬉戏, 掷出点数大于2 的人去参与乙嬉戏. 的分第 1 页,共 12 页 求这 4 个人中恰有2 人去参与甲嬉戏的概率: 求这 4 个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数的概率: 用X Y 分别表示这4 个人中去参与甲、乙嬉戏的人数, 记=|XY , 求随机变量布列与数学期望E. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载作业：1. 把一枚硬币掷两次, 大事 A=第一次显现正面, 大事 B=其次次显现正面, 就 P B| A 等于 A.1 B. 1 C. 1 D.1426822 （2022 陕西理）从甲乙两个城市分别随机抽取16 台自动售货机 , 对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示 如下列图 , 设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 , x乙 , 中位数分别为m甲, m乙 , 就 （）c a、A x 甲x 乙 , m甲m乙 B x 甲x 乙 , m甲m乙C x 甲x 乙 , m甲m乙 Dx 甲x 乙 , m甲m乙3. 已知随机变量 的分布列为P（ =k）=1 ,k=1,2, ,就 P（2< 4）等于（k 2A.3B.1C.1D.11641654随机变量X 的分布列为X 124 P 0.40.30.3 就 E5 X4 等于 A 15 B11 C2.2 D2.3 5一个篮球运动员投篮一次得3 分的概率为a,得 2 分的概率为b,不得分的概率为b、c0,1,已知他投篮一次得分的均值为2,就2 a1 3b的最小值为 A.32B.28 3 C.14 D.163336. 一袋中有 5 个白球, 3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个登记颜色后放回,直到红球显现 10 次时停止,设停止时共取了 次球,就 P（ =12）等于 A.C10 12（3 ）810· （5 ）82 B.C9 11（3 ）89（5 ）82·328C.C9 11（5 ）89· （3 ）82 D.C9 11（3 ）89· （5 ）87. 如图 4,EFGH 是以 O 为圆心,半径为1 的圆的内接正方形；将一颗豆子随机地扔到该图内,用 A 表示大事“ 豆子落在正方形 EFGH内” , B 表示大事“ 豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”,就（ 1）P（A）= _; （2）P（B|A）= 8.袋中有相同的 5 个球,其中 3 个红球, 2 个黄球,现从中随机且不放回地摸球,每次摸 1 个,当两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量 随机变量 的期望是9. 某单位 200 名职工的年龄分布情形如图,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体 职工随机按 1200 编号,并按编号次序平均分为40 组（ 1 5 号, 610 号 , 196200 号）如第 5 组抽出的号码为 23,就第 8 组抽出的号码应是；如用分层抽样方法,就 40 岁以下年龄段应抽取 人； 为此时已摸球的次数,就名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载10甲罐中有 5 个红球, 2 个白球和 3 个黑球, 乙罐中有 4 个红球, 3 个白球和 3 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1,A2 和 A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的大事； 再从乙罐中随机取出一球,以 B表示由乙罐取出的球是红球的大事就以下结论中正确选项 _ 写出全部正确结论的编号 45 年龄岁P B 2 5； P B| A1 5 11；大事 B与大事 A1相互独立； A1,A2,A3 是两两互斥的大事三、解答题11为增强市民的节能环保意识,某市面对全市征召义务宣扬理想者. 从符合条件的 500名理想者中随机抽样100名理想者的年龄情形如下表所示（）频率分布表中的、 位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）,再依据频率分布直方图估量这500名理想者中年龄在30 35,）岁的人数；（）在抽出的 100名理想者中按年龄再采纳分层抽样法抽取 20 人参与中心广场的宣扬活动,从这 20 人中选取 2 名理想者担任主要负责人,记这 2 名理想者中“ 年龄低于 30岁” 的人数为 X ,求 X 的分布列分组频数频率频率组距（单位：岁）20,2550 .05025,300 .20030,353535,40300 .30040,45100 .10020 25 30 35 40 合计1.0010012. 甲、乙两人进行投篮竞赛,两人各投3 球,谁投进的球数多谁获胜,已知每次投篮甲投名师归纳总结 进的概率为4 , 乙投进的概率为 51 ,求：（ 1）甲投进 2 球且乙投进 21 球的概率；第 3 页,共 12 页（ 2）在甲第一次投篮未投进的条件下,甲最终获胜的概率. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载13. 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概率为 2 . 现有 10 件产品,其中 6 件是一等品, 4 件是二等品 . 3 随机选取 1 件产品,求能够通过检测的概率； 随机选取 3 件产品,其中一等品的件数记为 X ,求 X 的分布列； 随机选取 3 件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率 . 14. 某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,名师归纳总结 且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4 位申请人中：第 4 页,共 12 页（）恰有2 人申请 A 片区房源的概率；（）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载概率、统计专题复习（理科答案）例 1、世界高校生夏季运动会期间 , 为了搞好接待工作,组委会在某学院招募了 12 名男理想者和 18 名女理想者； 将这 30 名理想者的身高编成如右所示的茎叶图（单位 :cm）：如身高在175cm以上（包括 175cm）定义为“ 高个子” ,身高在 175cm 以下（不包括 175cm）定义为“ 非高个子”, 且只有“ 女高个子” 才担任“ 礼仪小姐”. （）假如用分层抽样的方法从“ 高个子” 和“ 非高个子” 中中提取 5 人, 再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“ 高个子” 的概率是多少？（）如从全部“ 高个子” 中选 3 名理想者,用 表示所选理想者中能担任“ 礼仪小姐” 的人数,试写出 的分布列 . 【解析】（）依据茎叶图,有“ 高个子”12 人,“ 非高个子”18 人,用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 5 1,30 6所以选中的“ 高个子” 有 12 1 2 人,“ 非高个子” 有 18 13 人6 6用大事 A 表示“ 至少有一名“ 高个子” 被选中”,就它的对立大事 A 表示“ 没有一名“ 高个子” 被选中”,2就 P A 1 C 32 1 3 7因此,至少有一人是“ 高个子” 的概率是 7 C 5 10 10 10（）依题意,的取值为 0,1, 2, 3 3 1 2C 8 14 C 4 C 8 28P 0 3,P 1 3,C 12 55 C 12 552 1 3C 4 C 8 12 C 4 1P 2 3,P 3 3C 12 55 C 12 55因此,的分布列如下：0 1 2 3p 14 28 12 155 55 55 55例 2、红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C进行围棋竞赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一盘,已知甲胜 A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘竞赛结果相互独立；（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数,求的分布列和数学期望E. 解：（I ）设甲胜 A 的大事为 D,乙胜 B 的大事为 E,丙胜 C的大事为 F,就 D E F 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B,丙不胜 C的大事；由于 P D 0.6, P E 0.5, P F 0.5,由对立大事的概率公式知名师归纳总结 P D0.4,P E0.5,P F0.5,第 5 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载红队至少两人获胜的大事有：DEF,DEF,DEF DEF.由于以上四个大事两两互斥且各盘竞赛的结果相互独立,因此红队至少两人获胜的概率为PP DEFP DEFP DEFP DEF0.6 0.5 0.50.6 0.5 0.50.6 0.5 0.50.4 0.5 0.50.55.（II ）由题意知 可能的取值为 0,1,2,3；又由（ I ）知 DEF DEF , DEF 是两两互斥大事,且各盘竞赛的结果相互独立,因此 P 0 P DEF 0.4 0.5 0.5 0.1,P 1 P DEF P DEF P DEF 0.4 0.5 0.5 0.4 0.5 0.5 0.6 0.5 0.50.35P 3P DEF0.60.50.50.15.由对立大事的概率公式得P 2 1 P 0 P 1 P 3 0.4,所以 的分布列为：0 1 2 3 P 01 035 04 015 因此 E 0 0.1 1 0.35 2 0.4 3 0.15 1.6.例 3. 从装有 6 个白球、 4 个黑球和 2 个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出一个黑球赢 2 元,而每取出一个白球输 1 元,取出黄球无输赢,以 X 表示赢得的钱数,就随机变量 X可以取哪些值？求 X的概率分布 . 【解析】：从箱中取两个球的情形有以下六种：2 白 , 1 白 1 黄 ,1 白 1 黑 ,2 黄 ,1 黑 1 黄 ,2 黑. 当取到 2 白时,结果输 2 元,就 X=-2；当取到 1 白 1 黄时,输 1 元,记随机变量 X=-1 ；当取到 1 白 1 黑时,随机变量 X=1；当取到 2 黄时, X=0；当取到 1 黑 1 黄时, X=2；当取到 2 黑时, X=4. 就 X 的可能取值为 -2 ,-1 ,0,1, 2,4. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - P（X=-2） =C2 65学习必备2欢迎下载,P（X=-1）=1 C 6C1 2,C2 1222C2 1211P（X=0）=C2 21,P（X=1） =C1 6C 144,C 12 266C2 1211P（X=2）=C 14C1 24,P（ X=4）=C2 41. C2 1233C2 1211从而得到 X的概率分布如下：X -2 -1 0 1 2 4 P 521441221166113311例 43（2022 年高考（天津理） ）现有 4 个人去参与某消遣活动, 该活动有甲、乙两个嬉戏可供参与者挑选 . 为增加趣味性 , 商定 : 每个人通过掷一枚质地匀称的骰子打算自己去参与个游名师归纳总结 戏, 掷出点数为1 或 2 的人去参与甲嬉戏, 掷出点数大于2 的人去参与乙嬉戏. 第 7 页,共 12 页 求这 4 个人中恰有2 人去参与甲嬉戏的概率: 求这 4 个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数的概率: 用X Y 分别表示这4 个人中去参与甲、 乙嬉戏的人数 , 记=|XY , 求随机变量的分布列与数学期望E. 【解析】：依题意 , 这 4 个人中 , 每个人去参与甲嬉戏的概率为 1 , 去参与乙嬉戏的概率为3设“ 这 4 个人中恰有 i 人去参与甲嬉戏”为大事 iA i 0,1,2,3,4 , 就 P A C 4 i 1 i 23 32.34i. 1 这 4 个人中恰有2 人去参与甲嬉戏的概率为P A 2C2 1 2 23 328. 4272 设“ 这 4 人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数”不大事 B , 就BA 3A ,由于A 与A 互斥 , 故P BP A 3P A 4C3 41 3 2 3 3C4 41 3419所以这 4 人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数的概率为1. 93的全部可能的取值为0, 2, 4 , 由于1A 与A 互斥 ,A 与A 互斥 , 故P 0P A 28,P2P A 1P A 340,P4P A 0P A 417278181所以的分布列为0 2 4 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - p8学习必备欢迎下载1740278181作业：2. 把一枚硬币掷两次, 大事 A=第一次显现正面, 大事 B=其次次显现正面, 就 P B| A 等于B A.1 4 B. 1 C. 1 D.1 8,2624 （2022 陕西理）从甲乙两个城市分别随机抽取16 台自动售货机 , 对其销售额进行统计统计数据用茎叶图表示 如下列图 , 设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 , x乙 , 中位数分别为 m甲, m乙 , 就 （）A x 甲 x 乙 , m甲 m乙B x 甲 x 乙 , m甲 m乙C x 甲 x 乙 , m甲 m乙D x 甲 x 乙 , m甲 m乙3. 已知随机变量 的分布列为 P（ =k）=2 1 ,k=1,2, ,就 P（2< 4）等于（ A）kA. 3 B. 1 C. 1 D. 116 4 16 54随机变量 X 的分布列为X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 就 E5 X4 等于 A 15 B11 C2.2 D2.3 5一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c a、2 1b、c0,1,已知他投篮一次得分的均值为 2,就 a3b的最小值为 D 32 28 14 16 A.3 B. 3 C. 3 D.3【答案】：选 D 【解析】：3a+2b+0=2, 2 1 1 2 1 1 20 4 b a 1 20 16 3 a 2 4a 3 b 2 a 3 b 2 3 a b 2 3 36. 一袋中有 5 个白球, 3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个登记颜色后放回,直到红球显现 10 次时停止,设停止时共取了 次球,就 P（ =12）等于 B A.C10 12（3 ）810· （5 ）82 B.C9 11（3 ）89（5 ）82·328C.C9 11（5 ）89· （3 ）82 D.C9 11（3 ）89· （5 ）87. 如图 4,EFGH 是以 O 为圆心,半径为1 的圆的内接正方形；将一颗豆子随机地名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 扔到该图内,用学习必备欢迎下载OHEA 表示大事“ 豆子落在正方形EFGH内” , B 表示大事“ 豆子落在扇形（阴影部分）内”,就（2）P（ B|A）= 【答案】：12211（1）P（A） = _; 48. 袋中有相同的5 个球,其中3 个红球, 2 个黄球,现从中随机且不放回地摸球,每次摸个,当两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量变量 的期望是2,3,4 ,解析 : 随机变量 可取的值为 为此时已摸球的次数,就随机P 21 1 1c c c 23;P 32 1A c 32 1A c 23; c c 1 5 1 451 1 1c c c 4 310;P 43 1A c 21c c c c 1 1 5 4 1 3 1 210所以随机变量 的概率分布列为： 2 3 4 3 3 1P 5 10 103 3 1 5随机变量 的数学期望 E 2·5 3·10 4·102；9. 某单位 200 名职工的年龄分布情形如图,现要从中抽取 40 名职工作样本, 用系统抽样法,将全体职工随机按 1 200 编号,并按编号次序平均分为 40 组（ 15 号, 610 号 , 196200号）如第 5 组抽出的号码为 23,就第 8 组抽出的号码应是；如用分层抽样方法,就 40 岁以下年龄段应抽取 人；A B 38,20 10甲罐中有 5 个红球, 2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球, 3 个白球和 3 个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1,A2和 A3 表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的大事；再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的大事就以下结论中正确选项_ 写出全部正确结论的编号 2 5P B 5； P B| A1 11；大事 B与大事 A1相互独立； A1,A2,A3 是两两互斥的大事【答案】 : 【解析】：由题意知P B 的值是由 A1, A2, A3 中某一个大事发生所打算的,故错误；P B| A1 P PA1B A11 2×155 11,故正确；112由互斥大事的定义知正确,故正确结论的编号是 . 三、解答题11为增强市民的节能环保意识,某市面对全市征召义务宣扬理想者 . 从符合条件的 500名理想者中随机抽样 100名理想者的年龄情形如下表所示（）频率分布表中的、 位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）,再依据频率分布直方图估量这 500名理想者中年龄在 30 35,）岁的人数；（）在抽出的 100名理想者中按年龄再采纳分层抽样法抽取20 人参与中心广场的宣扬活名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2 名理想者中“ 年龄低于30岁” 的动,从这 20 人中选取 2 名理想者担任主要负责人,记这 人数为 X ,求 X 的分布列分组频数频率2,频率频率20 25 30 35 40 45 年龄岁组距（单位：岁）20,2550 .05025,300 .20030,353535,40300 .30040,45100 .100合计1001.00【解析】（）处填 20 ,处填.035；补全频率分布直方图如下列图. 500名理想者中年龄在30, 35的人数为0.35500175 人组距（）用分层抽样的方法,从中选取 就其中“ 年龄低于 30岁” 的有5人,“ 年龄不低于 30 岁” 的有 15人故 X 的可能取值为 0 ,1, 2 ；20人, P X02 C 1521,2 C 2038P X11 1C C 515,P X22 C 5C2 20382 C 203820 25 30 35 40 45 年龄岁所以 X 的分布列为：2X01P 2115238383812. 甲、乙两人进行投篮竞赛,两人各投3 球,谁投进的球数多谁获胜,已知每次投篮甲投进的概率为4 , 乙投进的概率为 51 ,求：2. （ 1）甲投进 2 球且乙投进1 球的概率；（ 2）在甲第一次投篮未投进的条件下,甲最终获胜的概率解（1）甲投进 2 球的概率为C 2342·1 = 548 ,1255乙投进 1 球的概率为名师归纳总结 C 1312·1 = 23 ,81 球的概率为第 10 页,共 12 页2甲投进 2 球且乙投进48 ×1253 = 818 . 125- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 在甲第一次投篮未进的条件下学习必备欢迎下载记为A, 甲获胜指甲后两投两进且乙三投一进或零进或甲后两投一进且乙三投零进 记为 B, 3 PA=C2 242·C1 311·12+C0 315222=16 ×251 = 28 , 25PB=C1 24 ·51 ·5C 03132=8 ×251 = 81 , 25故所求概率为PA+B= 9 . 2513. 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品X P通过检测的概率为2. 现有 10 件产品,其中6 件是一等品, 4 件是二等品 . 3 随机选取 1 件产品,求能够通过检测的概率； 随机选取 3 件产品,其中一等品的件数记为X,求X的分布列； 随机选取 3 件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率. 【解析】 : （）设随机选取一件产品,能够通过检测的大事为 A大事 A 等于大事“ 选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”6 4 2 13p A 10 10 3 15 由题可知 X 可能取值为0,1,2,3. P X03 0C C 4 61,P X12 1C C 4 63, 3 C 10303 C 1010P X21 2C C 4 61,P X30 3C C 4 61. 3 C 1023 C 106故 X 的分布列为0 1 2 3 1311301026 设随机选取 3 件产品都不能通过检测的大事为 B大事 B 等于大事“ 随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测”所以,P B 1 1 330 314. 某市公租房的房源位于1 . 810A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,名师归纳总结 且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4 位申请人中：C222第 11 页,共 12 页（）恰有2 人申请 A 片区房源的概率；（）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望【解析】：这是等可能性大事的概率运算问题. （I ）解法一：全部可能的申请方式有34 种,恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式4种,从而恰有2 人申请 A 片区房源的概率为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 C 4228 . 27学习必备欢迎下载4 3解法二：设对每位申请人的观看为一次试验,这是 4 次独立重复试验 . 1P A .记“ 申请 A片区房源” 为大事 A,就 3从而,由独立重复试验中大事 A 恰发生 k 次的概率运算公式知,恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为P 422 C 41 2 3228.2.C224214327P （II ） 的全部可能值为1, 2,3. 又131,342722 C 31 C C3 42 C C214或PP 234 34 32727P 31 2C C C14或P32 3C A 3423494 39综上知, 有分布列 1 2 3 4P 11427279从而有名师归纳总结 E112143465.第 12 页,共 12 页2727927- - - - - - -