2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：1.3空间几何体的表面积与体积 第1课时 .docx

第1课时柱体、锥体、台体的表面积学习目标1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积思考1正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？答案相等思考2棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？答案是梳理图形表面积多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积知识点二圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1圆柱OO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案S侧2rl，S表2r(rl)思考2圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案底面周长是2r，利用扇形面积公式得S侧2rlrl，S表r2rlr(rl)思考3圆台OO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案如图，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，如图，解得xl.S扇环S大扇形S小扇形(xl)2Rx2r(Rr)xRl(rR)l，所以S圆台侧(rR)l，S圆台表(r2rlRlR2)梳理图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底2r2侧面积：S侧2rl表面积：S2r(rl)圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧rl表面积：Sr(rl)圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧(rlrl)表面积：S(r2r2rlrl)类型一棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积例1(1)如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACa，AA1B1AA1C160，BB1C190.侧棱长为b，则其侧面积为()A.ab B.abC()abD.ab 答案C解析斜棱柱的侧面积等于各个侧面面积之和，斜棱柱的每个侧面都是平行四边形由题意知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形ABACa，BCa.AA1B1AA1C160，ABACa，AA1b，absin 60ab.又BB1C190，侧面BB1C1C为矩形，ab，S斜三棱柱侧ababab()ab.故选C.(2)已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积解如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O12.连接OE、O1E1，则OEAB126，O1E1A1B13.过E1作E1HOE，垂足为H，则E1HO1O12，OHO1E13，HEOEO1E1633.在RtE1HE中，E1E2E1H2HE212232153，所以E1E3.所以S侧4(B1C1BC)E1E2(612)3108.引申探究本例(2)中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求出棱台的侧面积吗？解如图，将正四棱台的侧棱延长交于一点P.取B1C1、BC的中点E1、E，则EE1的延长线必过P点O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，且有O1E1A1B13，OEAB6，则有，即，所以PO1O1O12.在RtPO1E1中，PEPOO1E12232153，在RtPOE中，PE2PO2OE224262612，所以E1EPEPE1633.所以S侧4(BCB1C1)E1E2(126)3108.反思与感悟棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解跟踪训练1已知正三棱锥VABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA4，AC2，求该三棱锥的表面积解由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，且VAVBVC4，ABBCAC2，取BC的中点D，连接VD，则VDBC，所以VD，则SVBCVDBC2，SABC(2)23，所以三棱锥VABC的表面积为3SVBCSABC333()类型二圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积例2(1)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等若圆柱的底面半径为r，圆柱的侧面积为S，则圆锥的侧面积为_答案解析设圆柱的高为h，则2rhS，h.设圆锥的母线为l，l.圆锥的侧面积为rlr.(2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180，那么圆台的表面积是_(结果中保留)答案1 100 cm2解析如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180，故cSA210，所以SA20，同理可得SB40，所以ABSBSA20，所以S表面积S侧S上S下(r1r2)ABrr(1020)201022021 100(cm2)故圆台的表面积为1 100 cm2.反思与感悟解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长跟踪训练2(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是()A. B.C. D.答案A解析设圆柱的母线长为l，l2r，r，则圆柱的表面积为2r2l22l2l2，侧面积为l2，圆柱的表面积与侧面积的比是l2l2.故选A.(2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A4倍 B3倍 C.倍 D2倍答案D解析设圆锥底面半径为r，由题意知母线长l2r，则S侧r2r2r2，2.类型三简单组合体的表面积例3如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20 B24 C28 D32答案C解析由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4，圆锥的母线长l4，所以圆锥的侧面积为S锥侧448，圆柱的侧面积S柱侧4416，所以组合体的表面积S816428，故选C.反思与感悟求组合体的表面积，首先弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求面积，然后根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减跟踪训练3某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是_ cm2.答案7解析其直观图如图由直观图可知，该几何体为一个正方体和一个三棱柱的组合体，其表面积S6(11)21117.1圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是()A. BS C2S D4S答案B解析圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，圆柱的母线长为，底面圆的直径为，圆柱的侧面积SS.故选B.2如图，已知ABCDA1B1C1D1为正方体，则正四面体DA1BC1的表面积与正方体的表面积之比是()A. B. C. D.答案B解析设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体DA1BC1的棱长为，表面积为4sin 602，正四面体DA1BC1的表面积与正方体的表面积之比是，故选B.3圆台的上、下底面半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的侧面积为()A100 B81 C169 D14答案A解析圆台的上、下底面半径和高的比为144，母线长为10，设圆台上底面的半径为r，则下底面半径和高分别为4r和4r，由100(4r)2(4rr)2，得r2，故圆台的侧面积等于(r4r)l(28)10100，故选A.4表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_答案2解析设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则l2r23，l2r，r1，即圆锥的底面直径为2.5直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面积解设此直角三角形为ABC，AC20，BC15，ACBC，则AB25.过C作COAB于点O，直角三角形绕AB所在直线旋转生成的旋转体，它的上部是圆锥(1)，它的下部是圆锥(2)，两圆锥底面圆相同，其半径是OC，且OC12，圆锥(1)的侧面积S11220240，圆锥(2)的侧面积S21215180.旋转体的表面积应为两个圆锥侧面积之和，即SS1S2420.1多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和2有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解3S圆柱表2r(rl)；S圆锥表r(rl)；S圆台表(r2rlRlR2)课时作业一、选择题1如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为()A B2C3 D4答案C解析设圆锥的母线长为l，则l2，圆锥的表面积为S1(12)3.2一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为()A2 B2 C4 D8答案C解析圆台的轴截面如图所示，由题意知，l(rR)，S圆台侧(rR)l2ll32，l4.3正四棱台的两底边长分别为1 cm,2 cm，高是1 cm，它的侧面积为()A6 cm2 B. cm2 C. cm2 D3 cm2答案D解析四棱台的两底边长分别为1 cm,2 cm，高是1 cm，上底边到上底中心的距离是 cm，下底边到下底中心的距离是1 cm，那么梯形的高，就是斜高为 (cm)，一个梯形的面积就是(12)(cm2)，棱台的侧面积S3(cm2)故选D.4某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为()A80 B2488C2440 D118答案B解析根据题意，可得该几何体是底面是边长分别为6和8的矩形且侧棱长均相等的四棱锥，高为SO4，如图所示，因此，等腰三角形SAB的高SE5，等腰三角形SCB的高SF4，SSABSSCDABSE20，SSCBSSADCBSF12，矩形ABCD的面积为6848，该几何体的表面积为S表SSABSSCDSSCBSSADSABCD220212482488.故选B.5一个直角三角形的直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为()A15 B20 C12 D15或20答案D解析以直角三角形的直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥，有以下两种情况：根据圆锥的侧面积计算公式S侧面积rl母线长以直角边3为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S4520；以直角边4为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S3515.故选D.6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A372 B360 C292 D280答案B解析由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体下面长方体的表面积为81022821022232，上面长方体的表面积为862282262152，又长方体表面积重叠一部分，几何体的表面积为232152262360.7如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9，则该几何体的正视图中实数a的值为()A1 B2 C3 D4答案C解析设几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，其表面积为S21a1122a39，a3.二、填空题8若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是_答案12解析设该圆锥体的底面半径为r，母线长为l，根据题意得2rl，所以l2r，所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是r2l2r2(2r)212.故答案为12.9一个几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是_答案12解析由三视图知该几何体是一个圆台，其上、下底面的半径分别为2,1，母线长为4，则该几何体的侧面积S(2414)12.10如图所示，一个正四棱锥(底面是正方形，从顶点向底面引垂线，垂足是底面中心的四棱锥)的正方形底面的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30，则正四棱锥的表面积为_ cm2.答案48解析该四棱锥的侧面是底边长为4 cm的全等的等腰三角形，要求侧面积，只需求等腰三角形底边上的高即可，可构造直角三角形求解如题图所示，正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成RtPOE.OE2 cm，OPE30，斜高PE4(cm)S棱锥侧4BCPE44432(cm2)，S表S侧S底324448(cm2)11如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为_答案966解析由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S64242212966.三、解答题12如图所示是某几何体的三视图，它的正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形(长度单位：cm)(1)该几何体是什么图形？(2)画出该几何体的直观图(坐标轴如图所示)，并求它的表面积.(只需作出图形，不要求写作法)解(1)由三视图可知该几何体是三棱柱(2)直观图如图所示因为该几何体的底面是边长为4 cm的等边三角形，高为2 cm，所以它的表面积S三棱柱2S底S侧242342(248)(cm2)13如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO3，求此正三棱锥的表面积解如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h.过点O作OEAB，与AB交于点E，连接SE，则SEAB，SEh.S侧2S底，3aha22，ah.SOOE，SO2OE2SE2，32(h)2h2，h2，ah6.S底a2629，S侧2S底18，S表S侧S底18927.四、探究与拓展14已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则该圆台较小底面的半径为()A7 B6 C5 D3答案A解析设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧3(r3r)84，解得r7.15如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱(1)试用x表示圆柱的高；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？解(1)设所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图，BO1，PO3，圆柱的高为h，由图，得，即h33x.(2)S圆柱侧2hx2(33x)x6(xx2)，当x时，圆柱的侧面积取得最大值为.当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大为.