2022年概率论与数理统计试卷合集附答案.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计期末试题一一、填空题（每道题4 分,共 40 分）A0,就PA|BP0 ；1、 设 A 与 B 为互不相容的两个大事,PBBB0.5 2、 大事 A 与 B 相互独立,PA0.4,P0.7,就3、 设离散型随机变量X 的分布函数为5；4_；0x1Fxa1x12a1x23abx2且P X2 1,就 a1,b2664、 某人投篮命中率为4 ,直到投中为止,所用投球数为 54 的概率为 _6255、 设随机变量 X 与 Y 相互独立,X 听从“0-1” 分布,p 0 . 4；Y 听从 2 的泊松分布 2 ,就 E X Y _ 2 . 4 _, D X Y _ 2 . 24 _ .6、 已知 D X 16 , D Y 9 , X Y 1 , 就 D X 2 Y _ 36 _ .327、 设总体 X 听从正态分布 N 0 , , 从总体中抽取样本 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , 就统计2 2量 X 12 X 22 听从 _ F 2 , 2 _分布；X 3 X 48、 设总体 X 听从正态分布 N , 1 , 其中 为未知参数, 从总体 X 中抽取容量为16 的样本,样本均值 X 5 , 就总体均值 的 95 % 的置信区间为 _（4.51, 5.49）_；（u 0 . 975 1 . 96）1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9、 如XN1,12,YN2,22, 且X与Y相 互 独 立 , 就ZXY服 从_N12,22_分布；12二、运算题（每道题10 分,共 60 分）1、 10 分 已知 8 只晶体管中有2 只次品,从其中取两次,每次任取一只,做不放回抽样；求以下大事的概率：（1）一只是正品,一只是次品；（2）其次次才取得次品；（3）其次次取出的是次品；解： （1）一只是正品一只是次品的概率为：C1C13 62C2 87（2）其次次才取得次品的概率为：6 8273 14（3）令A 表示 “ 第一次取出的是正品”,A 表示“ 第一次取出的是次品”B 表示“ 其次次取出的是次品”其次次取出的是次品的概率为：P BP B|A1P A1P B|A2P A22612178784 2、 （10 分） 设随机变量 X 的概率密度f x Ax1x0x2；（3）其它5x2 .5 .0 求：（1） A 的值；（2） X 的分布函数FP 1.解：（1）由fxdx1可得,2Ax1 dx1A1 02所以,f x 1x10x220 其它2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2）Fx0 ,x01 2x x,0 x 2 . 41 x 2（3）P 1 5. x 2 5. 1 25. 12 x 1 dx16 1 . 3、 （10 分） 甲、乙两人独立地进行两次射击,假设甲的命中率为 0.2,乙的命中率为0.5,以 X 和 Y 分别表示甲和乙的命中次数,试求：X 和 Y 的边缘分布律；解：（1） X 和 Y 的联合分布律为：（1） X 和 Y 的联合分布律； （ 2）PXm,Y0nCm0 .2 m08.2mCn05.n0.52n1CmCn41m222225m,n 分别为1,2； （2） X 和 Y 的边缘分布律；由于 X 与 Y 相互独立,所以X 和 Y 的边缘分布律分别为：PYPXmCm0.2m0 8.2m,m01,2,；. , 0xi12nCn05.n0.52n,n01, ,2； 2 4、 （10 分） 设总体 X 的概率密度为x1,0 x1fx0,其它1（1）求的最大似然估量量； （2）求的矩估量量；解：（1）似然函数为：Lx1,x2,.,xn;inxi1ninxi11 取对数为：lnLnlninx1inlnxi . 由dlnL0得,nlni1n0d1nlnxii1 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就的最大似然估量量为：.nnXi； lni 1（ 2）EX 0 1x x 1 dx1 由 EX X 得,的矩估量量为：. X 1 X5、 （10 分） 某炼铁厂的铁水含碳量听从正态分布 N 4 . 55 , 0 . 108 2 ,现测得 9 炉铁水的平均含碳量为 4.484,如已知方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量 仍 为 4.55 （0 . 05） ？ （ 注 ：u 0 . 95 1 . 645 , u 0 . 975 1 . 96 ,t 0 . 975 8 2 . 3060 , t .0 95 8 1 . 8595）解：H 0 : 4 . 55 , H 1 : 4 . 55 X 4 . 55在原假设成立的条件下, N 0 1, 0 . 108 / n已知 0 . 05 , 就 u .1 96,由 n 9 得拒绝域为：12X 4 . 55| | 1 . 96 0 . 108 / 3X 4 . 55 11当 X 4 . 484 时,| | 1 . 83 1 . 96 0 . 108 / 3 6所以拒绝原假设,即认为现在生产的铁水平均含碳量仍为 4.55；1、设 A 与 B 为互斥大事,P B 0,就 P A | B 0 8、已知总体XN,n2,2均未知, 现从总体 X 中抽取样本X1,X2,Xn,就的矩估量量.X ；2 的矩估量量.21n1xkxk；n10、设随机变量kXB ,p且EX2 . 4,DX1 . 44,就n6 ,p0.4 ；4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、（ 10 分）一人从外地到北京来参与一个会议,他乘火车的概率为 3 , 乘飞机的概率为52,假如乘火车来,迟到的概率为 1 , 乘飞机来,迟到的概率为 1 , 求：5 4 6（ 1）此人迟到的概率；（2）假如他迟到了,那么他是乘飞机来的概率为多大？解：设 C=“ 此人迟到”,A= “ 乘火车” ,B=“ 乘飞机”1BB312113就PA3,PB2,PCA1,PCB5546（ 1）由全概率公式：PCPAPCAPBPC545660（ 2）由贝叶斯公式：21PBCPAPPBPCB45 613CAPBPC13602、（ 10 分）某汽车总站每隔 3 分钟发一趟车,乘客在 3 分钟内的任一时刻到达是等可能的,如以 X 表示乘客的候车时间,求：（1）乘客候车时间 X的概率分布；（ 2）乘客候车时间不超过 2 分钟的概率；解：（1）f x 13 0, x 30, 其它（ 2）P X 2 0 2 13 dx 236、（10 分）为了比较甲、乙两件品牌灯泡的寿命,随机抽取了 10 只甲种灯泡和 8 只乙种灯泡,测得平均寿命分别为x 甲 =1400（小时）和 x 乙 =1250（小时）,样本标准差分别为s甲=52（小时）和 s 乙=64（小时）,设两种灯泡的寿命分别听从正态分布,且方差相等,试运算两种灯泡的平均寿命之差 甲 乙 的 95 00 置信区间；（注：0t . 975 16 2 . 1199 , .0t 95 16 1 . 7459）解：由于两种灯泡的寿命分别听从正态分布,且方差相等采纳 T 统计量,TX1SX2112tn 1n221又知x 甲 =1400 wn 1n2x乙 =1250, s甲=52, s乙=64 n 110,n28,0 . 05,0t. 975 162 .11995 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - Swn 112 S 1n2n2212 S 2952216764257. 56n 1两种灯泡的平均寿命之差1甲乙的 9500置信区间的下限为：X1X2.0t975 16Sw1 n 2=1400-1250-2.1199 × 57.56× 0.474342=92.12 n 1置信区间的上限为：X 1 X 2 0t . 975 16 Sw 1 1=1400-1250+2.1199 × 57.56× 0.474342=207.88 n 1 n 2两种灯泡的平均寿命之差 甲 乙 的 95 00 置信区间（ 92.12,207.88）1、设 A 与 B 为相互独立的两个大事,P B 0,就 P A | B P A ；3、已知 X N 1 5. 4, ,就 P X 3 . 5 1 ；P | X-3 | 3 5. 2 2. 5 1 ；（请采纳 的形式表示运算结果）210、设总体 X 听从正态分布 N , ,从总体 X 中抽取样本 X 1 , X 2 , , X n , 样本均值为 X ,样本方差为 S 2,如 2 未知,检验假设 H 0 : 0 ; H 1 : 0,就使用的统计 量 为 X 0, 在 显 著 性 水 平 下 关 于 H 0 的 拒 绝 域 为S / n | X 0 | t n 1 ；S / n 121、 已知一群人中,男人的色盲患者为 5 %,女人的色盲患者为 0.25% ,又知这群人中男女人数相等,现从其中随机抽取一人,求：（1）这个人是色盲的概率？（ 2）如这个人恰好是色盲,求其是男性的概率？解：（1）令 A 表示“ 这个人是色盲”, B 表示“ 这个人是男的”；PAPA|BPBPA|BPB5%0. 50. 25%0. 52 .625%6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - PB|APA|BPA|BPBPB5 %0.520PBPA|B2. 625%21七、（15 分）设X1,X2,Xn是来自几何分布. 0p1,P Xkp1pk1,k1,2,的样本,试求未知参数p 的极大似然估量n解L x 1,xnpinp 1x i1 pn1i1x in-5 分1nlnLnlnpi1Xinln1p ,ndlnLniXipn0,-10分1dpp1解似然方程nnn1i1Xi,pp得 p 的极大似然估量p1；-15分至少有一个不发X一、填空题（每道题3 分,共 15 分）1 设大事A,B仅发生一个的概率为0.3,且PA PB0.5,就A,B生的概率为 _. 2 设随机变量 X 听从泊松分布,且PX1 4PX2,就PX3 _. 3 设随机变量 X 在区间0 ,2 上听从匀称分布, 就随机变量YX2内的概率在区间,04 P Xe2,就密度为f Y y_. 1 4 设随机变量X ,Y相互独立,且均听从参数为的指数分布,_,PminX,Y1=_. 5 设总体 X 的概率密度为X1,fx1x,0x,11. _. 0 ,其它X2,Xn是来自 X 的样本,就未知参数的极大似然估量量为2PAB解： 1PABAB0 .3即03.PA BPABP A PAB P BPAB 0 .5所以P AB0.1PABP AB1PAB0 .9. 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 22P X1 PX0PX1 ee,PX2fX2e y由PX14PX2知ee22e x 就即2210解得1,故PX3 1e1. 6X 的分布函数为FX x ,密度为3设 Y 的分布函数为F Y ,F Yy P Yy 2 P XyPyX y XF yF由于XU0, 2,所以F Xy0,即F Y F Xy故另解fY F Y 21yfXy41y,0y4,其它.0 ,在 0, 2 上函数y2 x 严格单调,反函数为h y y所以fY fXy21y41y,0y4,10 ,其它.4P X11P X1ee2,故2P minX Y11P minX Y11P X1 P Y1e4. nn 1 x 1,x n5似然函数为L x 1,x n; 1x ilnLnln1i1nlnx idlnLnni1lnxi0d1i1解似然方程得的极大似然估量为1i1xi1 . nlnn1三、（7 分）已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02,求（ 1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率； （2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率 . 解： 设 A任取一产品,经检验认为是合格品B任取一产品确是合格品就（ 1）P A P B P A B P B P A B 0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）P B A P AB0.90.950.9977. P A0.857七、（11 分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）X N , 2,今抽取容量为 16 的样本,测得样本均值 x 10,样本方差 s 20.16 . （ 1）求 的置信度为 0.95 的置信2区间；（ 2）检验假设 H 0: 0.1（显著性水平为 0.05）. （附注）t 0.05 16 1.746, t 0.05 15 1.753, t 0.025 15 2.132,2 2 20.05 16 26.296, 0.05 15 24.996, 0.025 15 27.488.解：（1）的置信度为 1 下的置信区间为s s X t /2 n 1 , X t /2 n 1 n nX 10, s 0.4, n 16, 0.05, t 0.025 15 2.132所以 的置信度为 0.95 的置信区间为（9.7868,10.2132）（2）H 0: 20.1 的拒绝域为 2 2 n 1 . 22 15 S15 1.6 24,0.0515 224.9960.12 2由于 24 24.996 0.05 15 ,所以接受 H 0 . （1） 设 大事 A 与 B 相 互独 立,大事B 与 C 互不 相容, 大事 A 与 C 互 不相容 ,且P AP B0.5,P C0.2,就大事 A 、 B 、 C 中仅 C 发生或仅 C 不发生的概率为 _. （2） 甲盒中有 2 个白球和 3 个黑球,乙盒中有 3 个白球和 2 个黑球,今从每个盒中各取 2个球,发觉它们是同一颜色的,就这颜色是黑色的概率为 _. 2 , 0 x 1,（3） 设随机变量 X 的概率密度为 f x 现对 X 进行四次独立重复观0 , 其它 ,察,用 Y 表示观看值不大于 0.5 的次数,就 EY 2_. 2 2（4） 设 X 1 , X 2 , , X 17 是总体 N , 4 的样本,S 是样本方差, 如 P S a 0.01,就a _. 2 2 2 2（注：0.0117 33.4, 0.00517 35.7 , 0.0116 32.0 , 0.00516 34.2 ）解（ 1）P ABC ABC P ABC P ABC 由于 A与 C 不相容, B 与 C 不相容,所以 A C B C ,故 ABC C同理 A B C A BP A B C A B C P C P A B 0. 2 0. 5 0. 5 . 0. 4 5（2）设 A四个球是同一颜色的,B 1四个球都是白球,B 2四个球都是黑球就 A B 1 B . 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所求概率为P B 2|A P AB 2P B 2P A P B 1P B 2P B 1C 2 2C 3 23,P B 2C 3 2C 2 23P1X3.2 C 52 C 51002 C 52 C 5100所以P B2|A1. 2（3）YB4,p,其中pP X0. 5 0 . 52 x d x1 2 20 x1,04E Y411,D Y4133,4444EY2DYEY2115. 44（5）P S2aP 16S24 0.01a8. 4即2 0 . 0 1 1 6 a ,亦即4a32（10 分）设随机变量X的概率密度为f x ax1,0x2,0,其它.求（ 1）常数 a ；（2） X 的分布函数F x ；（3）解：（1）1f x dx2ax1 dxax2x22a2002a12（2） X 的分布函数为F xxf u du30,u 12dux0 ,. 2 ,x,x 00（3）P10,1,2,2 11x2.x0,x2,x0xxdx141x2.,x3f x dx12410 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页
