2022年江苏高考数学试题及答案.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -绝密启用前2022 年一般高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效考试终止后,将本试卷和答题卡一并交回留意事项：1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,仔细核对条形码上的 准考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上2.挑选题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦洁净后,再选涂其他答案标号；非挑选 题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清晰3.请依据题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答,超出答题区域书写的答案无效4.保持卡面清洁,不折叠,不破旧5.作选考题时, 考生依据题目要求作答,参考公式 : 并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑样本数据1x ,x ,2,nx 的标准差xnx2锥体体积公式s1 nx 1xx2x21 V Sh3其中 S 为底面积, h 为高其中 x 为样本平均数柱体体积公式球的表面积、体积公式3 RS42 R ,V4VSh3其中 S 为底面积, h 为高其中 R 为球的半径一、填空题：本大题共1 小题,每道题5 分,共 70 分1.fxcosx6的最小正周期为5,其中0,就= 2一个骰子连续投2 次,点数和为4 的概率3.1 1i表示为 abia bR ,就 ab= i4.A=xx123x7,就 A Z 的元素的个数5. a , b 的夹角为 120 ,a1,b3就 5ab第 1 页 共 12 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -6.在平面直角坐标系xoy中,设 D 是横坐标与纵坐标的肯定值均不大于2 的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域, 向 D 中随机投一点, 就所投的点落入 E 中的概率是7.某地区为明白 70-80 岁老人的日平均睡眠时间（单位：h）,立即挑选了 50 为老人进行调查,下表是这 50 为老人日睡眠时间的频率分布表；序号分组组中值频数频率（Fi）0.12 0.20 0.40 0.20 0.08 ；,点 P（0,p）在（i ）（睡眠时间）（Gi）（人数）1 4,5 4.5 6 2 5,6 5.5 10 3 6,7 6.5 20 4 7,8 7.5 10 5 8,9 8.5 4 在上述统计数据的分析中,一部分运算见算法流程图,就输出的S 的值是8.设直线y1xb 是曲线ylnx x0的一条切线,就实数b29 在平面直角坐标系xOy 中,设三角形ABC 的顶点分别为A0,a,Bb,0,C c,0 线段 AO 上的一点 （异于端点） ,设 a,b,c, p 均为非零实数, 直线 BP,CP 分别与边 AC , AB 交于点E、 F ,某同学已正确求得yOE 的方程：11x11y0,请你完成直线OF 的方程：bcpa（）x110. pa10将全体正整数排成一个三角形数阵：1 11 4 2 3 15 5 6 7 8 9 10 12 13 14 依据以上排列的规律,数阵中第 n 行（ n 3）从左向右的第 3 个数为211.已知 x y z R ,满意 x 2 y 3 z 0,就 y 的最小值是xz2 2x y12.在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 2 2 1 a b 0的焦距为 2c,以点 O 为圆心, a 为a b2半径作圆 M ,如过点 P a ,0 所作圆 M 的两条切线相互垂直,就该椭圆的离心率为 e = c第 2 页 共 12 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -13满意条件AB=2, AC=2 BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是14.设函数fx3 ax3 x1（xR）,如对于任意x1,1,都有 fx 0 成立,就实数 a = 6 小题, 共计 90 分；请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、二、解答题： 本大题共证明过程或演算步骤15如图,在平面直角坐标系xOy 中,以 Ox 轴为始边做两个锐角F 分,它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点, 已知 A、B 的横坐标分别为2 2 5 ,10 5（）求tan的值；（）求2的值16如图,在四周体ABCD 中, CB= CD, AD BD,点 E 、别是 AB 、BD 的中点,求证：（）直线 EF 平面 ACD ；（）平面 EFC平面 BCD 17如图,某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A 、B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km, CB =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形ABCD 的区域上（含边界）,且与 A、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,OP ,设排污管道的总长为y km（）按以下要求写出函数关系式：设 BAO= rad,将 y 表示成 的函数关系式；设 OP x km ,将 y 表示成 x 的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短18设平面直角坐标系xoy中,设二次函数fx2 x2xb xR 的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C（）求实数b 的取值范畴；（）求圆C 的方程；第 3 页 共 12 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论19.（）设a a 2,a 是各项均不为零的等差数列（n4）,且公差d0,如将此数列删去某一项得到的数列（按原先的次序）是等比数列：当 n =4 时,求a 1的数值；求d（）求证：对于一个给定的正整数n 的全部可能值；nn 4,存在一个各项及公差都不为零的等差数列b b 2,f 1x,b ,其中任意三项（按原先次序）都不能组成等比数列f x定义为：对每个给定的20.如x 3p1,f2x23xp 2,xR p 1,p 为常数,函数实数 x,fxf1x,f 1xf2xx 在区间a bf2x,f1xf2x（）求fxf 1x 对全部实数x 成立的充要条件（用p 1,p 表示）；（）设a b 为两实数, 满意 ab ,且p 1,p ,a b ,如 f afb ,求证： f上的单调增区间的长度之和为b2a （闭区间m n 的长度定义为nm ）第 4 页 共 12 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2022 年一般高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题：本大题共1 小题,每道题5 分,共 70 分1. 【答案】 10 【解析】本小题考查三角函数的周期公式.T21052【答案】1 124 的有 1,3、2,2、3,1共 3 个,6× 6 个,点数和为【解析】本小题考查古典概型基本领件共故P6361123. 【答案】 1 【解析】本小题考查复数的除法运算1i1i2i, a 0, b 1,因此ab121i4. 【答案】 0 【解析】 本小题考查集合的运算和解一元二次不等式由x2 13x7得x25x80,0,集合 A 为,因此 A Z 的元素不存在5. 【答案】 7 【解析】本小题考查向量的线性运算5ab25ab225 a210a bb2=252 110 1 313249, 5ab7 4 的正方形的内部 （含边界）,区域 E 表26. 【答案】16【解析】 本小题考查古典概型如图：区域 D 表示边长为示单位圆及其内部,因此P4211647. 【答案】 6.42 8. 【答案】 ln21 第 5 页 共 12 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【解析】 本小题考查导数的几何意义、切线的求法y'1,令1 x1得x2,故切点（2,ln2）,x2代入直线方程,得,所以 bln2 19【答案】1 1c b【解析】本小题考查直线方程的求法画草图,由对称性可猜想填 1 1事实上,由截距式可得c b直线 AB ：x y 1,直线 CP：x y1,两式相减得 1 1 x 1 1 y 0,明显直线b a c p b c p aAB 与 CP 的交点 F 满意此方程,又原点 O 也满意此方程,故为所求直线 OF 的方程2n n 610【答案】2【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前 n1 行共有正整数 1 2 （ n 1）2 2 2个,即 n n 个,因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 n n 3 个,即为 n n 62 2 211. 【答案】 3 【解析】本小题考查二元基本不等式的运用由x2y3z0得yx3z,代入y2得2xzx29z26xz6xz6xz3,当且仅当x 3 z时取“ ” 4xz4xzOAP 是等腰直角三角形,故12. 【答案】2 2OA 垂直于 PA,所以【解析】设切线PA、 PB 相互垂直,又半径a22a,解得ec2ca213【答案】 2 2【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想设BC x ,就 AC2x ,依据面积公式得SABC=1AB BCsinBx1cos2B ,依据余弦定理得2第 6 页 共 12 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -cosBAB22BC2AC24x2x2x244x2,代入上式得AB BC4xSABC=x144x221282 x122x222,x16由三角形三边关系有x2xx2解得 2 222x故当x2 2时取得SABC最大值 2 214. 【答案】 4 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用如 x 0,就不论 a 取何值, f x 0 明显成立；当x0 即 x 1,1 时,f x ax 33 x 10 可化为,a 32 13x x设 g x 32 13,就 g 'x 31 2 x4, 所以 g x 在区间 0, 1 上单调递增, 在区间 1,1x x x 2 2上单调递减,因此 g x max g 14,从而 a 4；2当 x0 即 1,0 时,f x ax 33 x 1 0 可化为 a 32 13,g 'x 3 14 2x0x x xg x 在区间 1,0 上单调递增,因此 g x ma n g 1 4,从而 a 4,综上 a 4 二、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式解：由已知条件及三角函数的定义可知,sincos52,cos2 5,105由于,为锐角,所以 sin=7 2 105因此tan7, tan132（） tan= tantan1tantan第 7 页 共 12 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（）tan 212 tan24,所以tan2tantan 21tan31tantan 2,为锐角,023,2=3 4216【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定解：（）E,F 分别是 AB,BD 的中点,EF 是 ABD 的中位线, EF AD ,EF 面 ACD ,AD 面 ACD ,直线 EF 面 ACD （）AD BD ,EF AD ,EFBD. CB=CD, F 是 BD 的中点, CFBD. 又 EFCF=F, BD面 EFC BD面 BCD ,面 EFC面 BCD 17【解析】本小题主要考查函数最值的应用解：（）延长 PO 交 AB 于点 Q ,由条件知 PQ 垂直平分 AB ,如 BAO= rad ,就AQ 10OA , 故cos cos10OB,又 OP 10 10tan 1010ta,cos所以 y OA OB OP 10 10 10 10 tan,cos cos所求函数关系式为 y 20 10sin10 0cos 4如 OP= x km ,就 OQ10 x ,所以 OA =OB= 10 x 210 2x 220 x 2002所求函数关系式为 y x 2 x 20 x 200 0 x 10' 10cos cos 20 10 sin sin 10 2sin 1（）挑选函数模型,y 2 2cos cos令 'y 0 得 sin 1,由于 0,所以 =,2 4 6当 0, 时,y '0, y 是 的减函数；当 , 时,y '0, y 是 的增函数,所6 6 4第 8 页 共 12 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -以当=6时,y min10 10 3；这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,且距离AB 边10 3 3km 处；18【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法解：（）令 x 0,得抛物线与 y 轴交点是（ 0,b）；令 f x x 2 2 x b 0,由题意 b 0 且 0,解得 b1 且 b 0（）设所求圆的一般方程为 x 2y 2Dx Ey F 0令 y 0 得 x 2Dx F 0 这与 x 22 x b 0 是同一个方程,故 D2,F b 令 x 0 得 y 2Ey 0,此方程有一个根为 b,代入得出 E b12 2所以圆 C 的方程为 x y 2 x b 1 y b 0 . （）圆 C 必过定点（ 0,1）和（ 2,1）证明如下：将（0,1）代入圆 C 的方程,得左边02 12 2× 0（ b1） b0,右边 0,所以圆 C 必过定点（ 0,1）同理可证圆 C 必过定点（ 2, 1）19.【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关学问,考查运用分类争论的思想方法进行探究分析及论证的才能,满分 16 分；解： 第一证明一个“ 基本领实”：一个等差数列中,如有连续三项成等比数列,就这个数列的公差 d0=0 事实上,设这个数列中的连续三项 a 2=d-d 0a+d 0 由此得 d0=0 a-d0,a,d+d0 成等比数列,就（1） i 当 n=4 时, 由于数列的公差 d 0,故由“ 基本领实” 推知,删去的项只可能为 a2 或 a3如删去 a ,就由 a1,a3,a4 成等比数列,得 a1+2d 2=a 1a1+3d 因 d 0,故由上式得 a1= 4d,即 a1 =4,此时数列为 4d, 3d, 2d, d,满意题设；d如删去 a3,就由 a1,a2,a4 成等比数列,得 a1+d 2=a1a1+3d 第 9 页 共 12 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -因 d 0,故由上式得a1=d,即a1 =1,此时数列为 dd, 2d, 3d, 4d,满意题设；综上可知,a1 的值为 4 或 1；dii 如 n6,就从满意题设的数列 a1,a2, ,an 中删去一项后得到的数列,必有原数列中的连续三项,从而这三项既成等差数列又成等比数列,故由“ 基本领实” 知,数列 a1,a2, ,an 的公差必为 0,这与题设冲突,所以满意题设的数列的项数 n5,又因题设 n4,故 n=4 或 5. 当 n=4 时,由（ i）中的争论知存在满意题设的数列；当 n=5 时,如存在满意题设的数列a1,a2,a3,a4,a5,就由“ 基本领实” 知,删去的项只能是a3,从而 a1,a2,a4,a5 成等比数列,故a1+d 2=a1a1+3d 及分别化简上述两个等式,得a1d=da1+3d2=a1+da 1+4d 52 及 a1d=5d,故 d=0,冲突；因此,不存在满意题设的项数为的等差数列；综上可知, n 只能为 4. （2）假设对于某个正整数 n,存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 b1,b1+ d, , b1+n-1 db1 d 0 ,其中三项 b1+m1 d,b1+m2 d,b1+m3 d 成等比数列,这里 0m1<m2<m3n-1 ,就有b 1+m2 d 2=b 1+m1 db 1+m3 d 化简得m1+m3-2m2b1 d= m -m1m3 d2 2 * 2由 b1 d 0 知, m1+m3-2m2 与 m -m1m3或同时为零,或均不为零；如 m1+m3-2m2=0 且 m -m1m3=0,就有 2 m 1 m 3 2-m1m3=0,2即m1-m3 2=0,得 m1=m3,从而 m1=m2=m3,冲突；2因此, m1+m3-2m2 与 m -m1m3都不为零,故由（* ）得2b 1 m 2 m 1 m 3'd m 1 m 3 2 m 2由于 m1,m2,m3 均为非负整数,所以上式右边为有理数,从而b 是一个有理数；' d于是,对于任意的正整数n4, 只要取b 为无理数,就相应的数列 ' db1,b2, ,bn就是满意要求的数第 10 页 共 12 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -列,例如 ,取 b1=1, d=2 ,那么, n项数列 1,1+2 ,1+22 , , 1 n1 2满意要求；20.【解析】本小题考查充要条件、指数函数与肯定值函数、不等式的综合运用（）fxf 1x恒成立f 1xf2x3xp 12 3x p23xp 1xp2log 2 3 3b ,所以区间p bxp 1xp 2log32（* ）由于xp 1xp 2xp 1xp 2p 1p 2所以,故只需p 1p 2log32（*）恒成立综上所述,fxf 1x 对全部实数成立的充要条件是：p 1p 2log32（） 1°假如p 1p 2log32,就的图像关于直线xp 对称由于fafa b 关于直线xp 1对称由于减区间为a p 1,增区间为p b ,所以单调增区间的长度和为b2a2°假如p 1p 2log32. （1）当p 1p2log32时.f1x3xp 1,xp b,f2x3x2p 2log 2 3,x3p 1x,xa p 13pxlog 2 3,xa p2当xp b ,f 1x3p 2p 1log320 31,由于f 1x0,f2x0,所以f 1xf2x ,f2x故fxf 1x =3xp 1xf2x当xa p 2,f1x3p 1p2log320 31,由于f 1x0,f2x0,所以f 1f2x故fxf2x =3p 2xlog 2 3由于 fafb ,所以3bp 13p2alog 2 3,所以bp 1p 2alog 2,即abp 1p2log 2第 11 页 共 12 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当xp 2,p 1时,令f 1xf2x ,就3p 1x3xp 2log 2 3,所以xp 1p22log 2,当xp 2,p 1p2log 2时,f 1xf2x ,所以fxf2x =3xp 2log 2 3f2x ,2xp 1p22log 2 ,p 1时,f 1xf2x ,所以fxf 1x =3p 1xfx 在区间a b 上的单调增区间的长度和bp 1p 1p22log 2 3p 2=bp 1p22log 2ba2bb2a（2）当p2p 1log32时.f1x3xp 1,xp b,f2x3x2p 2log 2 3,xp b 23p 1x,xa p 13pxlog 2 3,xa p2当xp b ,f 1x3p2p 1log 2 30 31,由于f 1x0,f2x0,所以f 1xf2x故fxf2x =3xp 2log 2 3f2x当xa p 1,f 1x3p 1p2log 2 30 31,由于f 1x0,f2x0,所以f 1xf2x故fxf 1x =3p 1x,由于 fafb ,所以3p 1ab 3p2log 2 3,所以abp 1p 2log 2当xp 1,p 2时,令f 1xf2x ,就x 3p 13p 2xlog 2 3,所以xp 1p22log 2当xp 1,p 1p 22log 2时,f 1xf2x ,所以fxf 1x=3xp 1xp 1p22log 2 ,p 1时,f 1xf2x ,所以fxf2x =3p2xlog 2 3fx 在区间a b 上的单调增区间的长度和bp2p 1p22log 2p 1=bp 1p22log 2ba2bb2a综上得 fx 在区间a b 上的单调增区间的长度和为b2a第 12 页 共 12 页细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 12 页 - - - - - - - - -