2022年数列高考知识点归纳.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列高考学问点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重争论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质,依据这些性质将数列分类：依定义域分为 ：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摇摆数列；数列的表示方法 ：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；数列通项：a n f n 2、等差数列1、定义 当 n N ,且 n 2 时,总有 a n 1 a n d , d常 , d 叫公差；2、通项公式 a n a 1 n 1 d1）、从函数角度看 a n dn a 1 d 是 n 的一次函数,其图象是以点 1, a 1 为端点 , 斜率为 d 斜线上一些孤立点；2）、从变形角度看 a n a n n 1 d , 即可从两个不同方向熟悉同一数列,公差为相反数；又 a n a 1 n 1 , d a m a 1 m 1 d , 相减得 a n a m n m d ,即 a n a m n m d . 如 n>m,就以 a m 为第一项,a 是第 n-m+1 项,公差为 d；如 n<m ,就 a m 以为第一项时,a n 是第 m-n+1 项,公差为 -d. 3）、从进展的角度看 如 a n 是等差数列, 就 a p a q 2 a 1 p q 2 d,a m a n 2 a 1 m n 2 d, 因此有如下命题：在等差数列中,如 m n p q 2 r , 就 a m a n a p a q 2 a . 3、前 n 项和公式由S na 1a2an,S nana n1a ,1d,d0,是 n 的二次函数；相加得S na 1a nn ,可得仍可表示为S nna 1n n22特殊的,由a 12 anS 2n12n1 a ；a2 n13、等比数列名师归纳总结 1、 定义当 nN ,且n2时,总有an1q q0, q 叫公比；第 1 页,共 22 页a n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、通项公式：a na qn1a qn m学习必备mn欢迎下载, 就a ma napa qa r2. , 在等比数列中,如pq2r3、前 n 项和公式 : 由S n1a 1a2a 11an,qS na 2a 3qanan1, 两式相减,na1；当q时,Sn qa 1a q q,1；当q1时 ,ns1q1关于此公式可以从以下几方面熟悉：不能忽视 S a 11 q n a 1 a q n 成立的条件：q 1；特殊是公比用字母表示时,要分类争论；公式推导过程中,1 q 1 q所使用的“ 错位相消法”,可以用在相减后所得式子能够求和的情形；如,公差为 d 的等差数列 a n ,S n a x a x 2a x n,就 xS n a x 2a x 3a n 1 x na x n 1,2 n n 1相减得 S n 1 x a x dx dx a x,当 x 1 时,S n 1 x a x dx 1 x n 1a x n 1,S n a x 1 a x n n 1dx 21 x2 n 11 x 1 x 1 x 当 x 1 时 ,S n a 1 a 2 a n na 1 n n 1 d；23）从函数角度看 S 是 n 的函数,此时 q 和 1a 是常数；4、等差与等比数列概念及性质对比表名师归纳总结 名称等差数列N*等比数列a nn1nN*第 2 页,共 22 页定义an1and,d常an1q,q 常,an2anana1an2a n1a n1ann通项a na 1n1 d.a na q 1n12 .1增；a mnm da q mn m.公式变式：a 1a nn1 dmnpq2r性质mnpq2 ra ma napa q2 a ra ma napa qa rd0 可逆q1可逆 中项mn2rmn2 rqaman2ar.a ma n a r2 .a 10,q1或a 10,0单调性d0时增d0时常数列a 10,q1或a 10,0q1时减；d0时减- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 前学习必备欢迎下载第 3 页,共 22 页S na 12annq1经常数列,q0时摇摆数列Sa 11qn1qn na1n n1d,d0a 1a q,q1项21q和结论 1、（推导方法：倒加法）（推导方法：错位相消法）nsna d0nsna q1a n等差 ,公差 d , 就ka nb 等差公差an等比 , 公比 q,就 ka n等比, 公比 q ;a n22、kd ；子数列等 比, 公 比q2;a n等 比 ,公 比q ；子 数 列ak,akm,a k2m,a k nm,mN*等 差 ,a2,a 4,a4,a2n等比,公比q2; 如kn等差 ,公差 md; 如kn等差 ,公差d ,就 ank等公差 d, 就ak n等比 , 公比为qd；差,公差d1d ；a n等差 ,公差 d 就a nan1等差,公差an等 比 , 公 比 q , 就1等比,公比1; 3、2d; an1anan1等差 , 公差 3d. a nqan1ana n1等比,公比q3；S k,S 2kS k,S 3kS 2k等差 , 公差2 k d ,an1ana n1等比,公比q; 且S 3k3S 2kS k.即连续相同个数的和成S k,S 2kS k,S 3 kS 2k等比,公比qk,（当k等差数列；为偶数时,qk0）；a n等差 .公差dana m.4、nman等比,公比qn ma n.S mS nS m n0.a mS nm S mnSmn.等差 a n共 2n 项,就Q 偶Q 奇a 1a 3a2n1q1Q 偶Q奇nd,Q 偶a n1=a 112 qnQ 奇a n1q等差 a n,共 2n+1 项,就Q 偶a 2a 4a 2nq .5、Q 奇Q 偶a n1 中 ,Q 偶nn; 1Q 奇a 1a 3a 2n1Q 奇a n等差a na n1dan等比 , 公比 qa na qn1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 联系 1、2、3、4、5、6、5、递推数列学习必备欢迎下载S na 1anna nknbS na 11qna 1a q n2S nBn1q1qAn2S nan1,a0,a1.S 2n1 . 1an2 n各项不为 0 常数列,即是等差,又是等比；通项公式a nS 1,n1n2. S n1,S na n等差,公差d,c0,c1, 就ca 1,ca 2can,即ca n等比,公比cd. a n等比,公比 q,an0a0,a1, logaa 1,logaa 2,logaa n,即 logaan等差 ,公差 logq a. a n等差 , b n等比 , 就 anb n前 n 项和求法,利用错位相消法求和方法：公式法,倒加法,错位相消法,裂项法,累加法,累积法,等价转化法等；表示数列中相邻的如干项之间关系的式子叫数列递推公式；作为特殊的函数,数列可用递推式表示；求递推数列通项公式常用方法：公式法、归纳法、累加法、累乘法；特殊的,累加法是求形如a n1anf n 递推数列的基本方法,其中数列f n 可求前 n 项和,即ana 1a 2a 1ana n1；累乘法是求形如an1g n an递推数列通项公式的基本方法,其中数列g n 可求前 n 项积,即ana 1a 2a 3an1,a0. a 1a 2a n2 0,第一节等差数列的概念、性质及前n 项和题根一等差数列 a n中,a6a 9a 12a 1520,求 S20思路 等差数列前n 项和公式S na 1a nnna1n n1d：,得2 a 1a2 0221、 由已知直接求a1 ,公差 d. 2、 利用性质mnpqamanapaq解题 由a6a 9a 12a 1520,a6a 15a9a 12a 1a 20a 1a 2010,S na 1a2020100；2收成 敏捷应用通项性质可使运算过程简化；名师归纳总结 1、 等差数列 a n 满意a 1请你试试1 1 ,就有（）9 90D、a5151第 4 页,共 22 页a 2a 1010A、a 1a 1010B、a 2a1 0 00C、a3a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2、 等差数列中 , a3+a7- a10=8, a11- a4=4, 求 S 13；第 1 变 求和方法倒序相加法变题 1 等差数列 a n共 10 项,a 1 a 2 a 3 a 4 20,a n a n 1 a n 2 a n 3 60, 求 Sn.思路 已知数列前四项和与后四项和,结合通项性质,联想 Sn公式推导方法；解题 已知 a 1 a 2 a 3 a 4 20,a n a n 1 a n 2 a n 3 60,又 4 a 1 a n 80,得 a 1 a n 20,S n a 1 a n n 2010 100,2 2收成 1、重视倒加法的应用,恰当运用通项性质：m n p q a m a n a p a q,快捷精确；3、 求出 a 1 a n 后运用“ 整体代换” 手段奇妙解决问题；请你试试 1 2 1、 等差数列 an共 2k+1 项,全部奇数项和为 S奇,全部偶数项和为 S偶,求 S奇：S偶 的值；2、 等差数列 an前 n 项和为 18 ,如 S3 1 , a n a n 1 a n 2 3 , 求项数 n . 3、 求由 1,2,3,4 四个数字组成的无重复数字的全部三位数的和；4、 求和S nC1 n2 C2n Cn；n+m 项和nn第 2 变已知前 n 项和及前 m 项和,如何求前变题 2 在等差数列 a n 中, Sn=a,Sm=b,m>n ,求 Sn+m的值；思路 S n,S m,S m n下标存在关系：m+n=m+n, 这与通项性质mnpqamanapaq是否有关？第 5 页,共 22 页解题 由 Sn=a,Sm=Sn+a n+1+an+2+ +am=b 得 a n+1+an+2+ +am=b-a, 即an12a mmnba,得an12ambamn由n+1+m=1+n+m, 得 an+1+am=a1+am+n故S mna 1a mnmna n12a mmnbamn.2mn请你试试1 3 1、在等差数列 a n 中,S615,S955,求S15；2、在等差数列 a n 中,S31,S93,求S12；第 3 变已知已知前n 项和及前2n 项和,如何求前3n 项和变题 3 在等差数列 a n 中,S1020,S2040,求 S30思路 由S 10,S 20,S 30查找S 10,S 20S 10,S 30S 20之间的关系；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载21a22a30, 解题 设数列 a n 公差为 d ,S 10a 1a2a 10,S 20S 10a 11a 12a20,S 30S 20aS 20S 10S 101010d, S 30S 20S 20S 1010 10d,S 30S 20,得所 以S 10,S 20S 10,S 30S 20成等 差数 列,公 差100d , 于 是2S 20S 10S 10S 303S 20S1032060；a 12a20, 收 获 1、 在 等 差 数 列 a n 中 ,S 1 0 ,S2 0S 10,S3 0S 20成 等 差 数 列 , 即a 1a 2a 10,a 11a21a22a 30, ,成等差数列,且S 303S 20S10；3、 可推广为S 5 n5S 3 nS2n,S 7n7S 4nS3n, ,S 2k1n2k1S knSk-1n 请你试试1 41、在等差数列 a n 中,a 1a23,a 3a46, 求a 7a82、在等差数列 a n 中,a 1a2a 1010,a 11a 12a 2020, 求a 31a32a403、在等差数列 a n 中,S1020,S2030,求S50 及 S100 ；4、数列 a n 中, S na, S 2nb,求S3n ；5、等差数列 a n 共有 3k 项,前 2k 项和S2k25,后 2k 项和S2k75,求中间 k 项和 S中 ；第 4 变 迁移变换重视 Sx=Ax2+Bx 的应用变题 4 在等差数列 a n 中, Sn=m, ,Sm=n,m>n ,求 Sn+m的值；思路 等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数,如所求问题与a d无关时,常设为S=An2+Bn 形式；解题 由已知可设Sn=An2+Bn=m Sm=Am2+Bm=n , 两式相减,得An+mn-m+Bn-m=m-n , 又 m>n , 所以A nm B1,得S m nA mn2 B mnmnA mnBm n；收成 “ 整体代换” 设而不求,可以使解题过程优化；请你试试1 5 第 6 页,共 22 页1、 在等差数列 a n 中,S1284,S20460,求S322、 在等差数列 a n 中,S mS n,mn,求Sm+n3、 在等差数列 a n 中,a10,S 10S 15,求 当 n 为何值时, Sn 有最大值第 5 变归纳总结,进展提高题目 在等差数列 a n 中, Sn=a,Sm=b,m>n ,求 Sn+m的值；（仍以变题2 为例）除上面利用通项性质mnpqamanapaq求法外,仍有多种方法；现列举例如下：名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1、 基本量求解：由Snna1nn1 da,Smma1m m1 db,n1 dna,22相减得nm a 1mn1dab, S mnmna1mnm22代入得S mnmnab；abnm2、利用等差数列前x 项和公式 Sx=Ax2+Bx 求解Bmnnm由 Sx=Ax2+Bx,得Sn=An2+Bn, Sm=Am2+Bm 两式相减,得An+mn-m+Bn-m=a-b 即A nm Bab故S mnAmn2nmnm3、利用关系式SnAnB求解Sn 中的点共线,即 nn, Sn , nn由SnAnB知Sn 与 n 成线性关系,从而点集 nn, ns ns ms mns nabs mm, Sm ,m+n, mS mn共线,就有nmmnn, 即nmmnnmnnmmnnnmm化简 , 得mnns mnmanbananb,即s mnnmab. nmnmnm4、利用定比分点坐标公式求解由An, Sn, Bm, Sm, Pm+n, S mn 三 点 共 线 , 将 点P看 作 有 向 线 段 AB 的 定 比 分 点 , 就nnmm即APmnnm,可得s mmns n1m s mn mm nabnnn mab, mmn nnnmPB1nnmab. s mnnm1 6 请你试试如 Sn 是等差数列 a n 的前 n 项和, S2=3, S6=4 ,就 S12_. 题根二其次节a等比数列的概念、性质及前n 项和等比数列 a n ,54,a76, 求 a9；思路 1、由已知条件联立,求,从而得2、由等比数列性质,知成等比数列；解题 1 由a 57a q44,a 7a q69, 两式相除,得q23,a 9a q2639；22解题 2 由a a,a9成等比,得a 9a 72629；a 54收成 1、敏捷应用性质,是简便解题的基础；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2、等比数列中,序号成等差的项,成等比数列； 请你试试 2 1 等比数列 a n ,a 10,q2,如a 1a 2a3a 30230,就a 3a 6a 9a 12a 30_；变题 2 等比数列 a n ,a 1第 1 变连续如干项之和构成的数列仍成等比数列；a2a 32,a4a5a 66,求a 10a 11思路 等比数列中,连续如干项的和成等比数列；解题 设b 1a 1a2a b 2a 4a5,a6, ,b 4a 10a 11a 12,；S 3kS 2kS 2kS k2；就 bn是等比数列,b 12,q3,b 4b q32 3354,即a 10a 11a 1254收成 等比数列 a n ,q1时,S kS 2kS k,S 3kS 2k, 成等比数列,但总有S k当 k 为偶数时,qk0恒成立；请你试试 2 2 1、等比数列 a n ,q1时,S 22,S 46,求S ；a 62a ；*,dZ）成等差第 8 页,共 22 页2、等比数列 a n ,q1时,S 21,S 621,求S ；第 2 变S 3,S S 成等差,就a 3,a 9,a 成等差变题 3 等比数列 a n 中,S 3,S 9,S 成等差,就a a9,a 成等差；思路 S 3,S S 成等差,得S 3S 62 S ,要证a 3,a 9,a 等差,只需证a 3解题 由S 3,S S 成等差,得S 3S 62S ,q1；当 q=1 时,S 33 a S 66a S 99 a 1, 由a 10得S 3S 62S,由S 3S 62S ,得a 113 qa1q6 q219 q,1q11qd kdN整理得3 qq629 q ,q0,得13 q26 q ,两边同乘以a , 得a 3a62a ,即a 3,a a6成等差；收成 1、等比数列 a n 中,S 3,S 9,S 成等差,就a 2,a8,a 成等差；2、等比数列 a n 中,S n,S m,S 成等差,就and,a m d,akd（其中md n3、等比数列 a n 中,an,am,a 成等差,就an d,am d,a kd（其中md nd kdN*,dZ ）成等差；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载请你试试 2 3 1、 等比数列 an ,q 1,a 3 , a a 6 成等差,求 a 11 a 9 a 10 的值；2、等比数列 a n ,a a 7 , a 成等差,求证 2 S 3 , S S 12 S 成等比；第 3 变 S n 是等比, a n 也是等比数列变题 4数列 a n 中,a 1 0 且 S S 2 , , S n ,是等比数列,公比 q q 1 ,求证 a n n 2 也是等比数列；思路 a n S n S n 1 ,欲证 a n 为等比数列,只需证 a n 为常数；a n 1 解题 a n S n S n 1,a n 1 S n 1 S n,（n 2） , 得 a n 1 S n 1 S n,而 S n S n 1 q,S n 1 S n 1 q 2,a n S n S n 1a n 1 S n 1 q q 1q,（n 2）, 故 a n 从其次项起,构成等比数列,公比为 q ；a n S n 1 q 1第 4 变 等比数列在分期付款问题中应用问题 顾客购买一售价为 5000 元的商品时,采纳分期付款方法,每期付款数相同,购买后 1 个月付款一次,到第 12 次付款后全部付清；假如月利润为 0.8%,每月利息按复利运算,那么每期应对款多少？（精确到 1 元）分析 一： 设每期应对款 x 元,就第 1 次付款后,仍欠 50001+0.8%-x （元）第 2 次付款后,仍欠 50001+0.8%2-x1+0.8%-x=50001+0.8% 2-x1+0.8%-x （元）第 3 次付款后,仍欠 50001+0.8%2-x1+0.8%-x1+0.8%-x=50001+0.8% 3-x1+0.8% 2-x1+0.8%-x （元） 最终一次付款后,款已全部仍清,就 50001+0.8%12-x1+0.8% 11-x （1+0.8%）10- -x1+0.8%-x=0 ,12移项 50001+0.8%12=x1+0.8% 11+x（1+0.8%）10+ +x1+0.8%+x, 即 x 1 1.0085000 1.008 121 1.00812算得 x 5000 1.00812 1.008 1438.6（元）1.008 1一般地,购买一件售价为 a 元的商品,采纳分期付款时,要求在 m 个月内将款仍至 b 元,月利润为 p,分 n（n 是 m 的约数）次m付款,那么每次付款数运算公式为 x 1 p mb 1m p n 1 . 1 p 1分析 二： 设每月仍款 x 元,将商家的 5000 元折算成 12 个月后的钱要运算 12 个月的利息,而顾客第一次仍的钱也应运算 11 个月的利息,其次次仍的钱应运算 10 月的利息 ,于是得方程50001+0.8% 12=x1+0.8% 11+x（ 1+0.8% ）10+ +x1+0.8%+x ,解得 x 438.6（元）分析 三： 设每次仍款 x 元,把仍款折成现在的钱,可得5000 x x2 x11, 解得 x 43 8. 6（元）；1 0.8% 1 0.8% 1 0.8%将上述方法应用到其他实际问题中,如木材砍伐,人口增长等；请你试试 2 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载某地现有居民住房的总面积为 a m 2,其中需要拆除的旧住房面积占了一半；当地有关部门打算在每年拆除肯定数量旧住房的情形下,仍以 10%的住房增长率建设新住房； 假如 10 年后该地的住房总面积正好比目前翻一番,那么每年应拆除的旧住房总面积 x 是多少？（取 1.110为 2.6）第三节 常见数列的通项及前 n 项和题根 3 求分数数列 1, 1, 1, 的前 n 项和 S n1 2 2 3 3 4思路 写出数列通项公式,分析数列特点：分母中两因数之差为常数 1；解题 数列通项公式 a n 1,亦可表示为 a n 1 1,n n 1 n n 1所以 S n 1 1 1 1 1 11 1 n；2 2 3 n n 1 n 1 n 1收成 将数列每一项裂为两项的差,再相加,使得正负抵消；第 1 变 分母中两因数之差由常数 1 由到 d 变题 1 求分数数列 1, 1, 1, 的前 n 项和 S ；1 3 3 5 5 7思路