2022年版新北师大八年级数学下.等腰三角形知识点及典型习题.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -老师张銮同学姓名上课日期学科数学年级考题讲解 :教材版本浙教版）课时类型学问讲解 ：本人课时统计本月第（本年度共（）课时教学案主等腰三角形课时数量直角三角形的斜边中线授课时段题（全程或详细时间）把握三角形的性质教学目标把握三角形的判定教学重点、三角形的性质度的直角三角形性质三角形的判定难点三角形的性质中位线 30考点分析三角形的判定同学探究求知增智活动三角形学问回忆考点一、三角形（38 分）1、三角形的概念由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；组成三角形的线段叫做三角形的边； 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；简称三角形的角；2、三角形中的主要线段相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三 角形的 角平分线；教学过程（2）在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线；教（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 （简称三角形的高） ；3、三角形的稳固性师三角形的外形是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳固性；需要稳固的东西一般都制引成三角形的外形；导4、三角形的特性与表示启三角形有下面三个特性：发（1）三角形有三条线段过（2）三条线段不在同始终线上三角形是封闭图形程（3）首尾顺次相接三角形的分类 三角形按边的关系分类如下：不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -把边和角联系在一起,有一种特别的三角形：等腰直角三角形；它是两条直角边相等的直角三角形；6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边；推论：三角形的两边之差小于第三边；（2）三角形三边关系定理及推论的作用：判定三条已知线段能否组成三角形 当已知两边时,可确定第三边的范畴；证明线段不等关系；7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180° ；推论：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；注： 在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角；8、三角形的面积三角形的面积 =1 × 底× 高 22 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -新知：等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边；即等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高重合；推论 2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于 60° ；（2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°,但顶角可为钝角（或直角）；等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角（或直角）等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,就b 2<a 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为B=C=1802A2、等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推论：A ,底角为 B、 C,就 A=180 ° 2B,定理： 假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称： 等角对等边） ；这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等；推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形；推论 3：在直角三角形中,假如一个锐角等于 30° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半；等腰三角形的性质与判定中线等腰三角形性质并等腰三角形判定1、等腰三角形底边上的中线垂直底1、两边上中线相等的三角形是等腰边,平分顶角；三角形；2、等腰三角形两腰上的中线相等,2、假如一个三角形的一边中线垂直角平且它们的交点与底边两端点距离并这条边（平分这个边的对角）,相等；那么这个三角形是等腰三角形1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底1、假如三角形的顶角平分线垂直于分线边；这个角的对边（平分对边）,那2、等腰三角形两底角平分线相等,么这个三角形是等腰三角形；且它们的交点究竟边两端点的距2、三角形中两个角的平分线相等,高线离相等；那么这个三角形是等腰三角形；,1、等腰三角形底边上的高平分顶角、1、假如一个三角形一边上的高平分平分底边；这条边（平分这条边的对角）2、等腰三角形两腰上的高相等,并且那么这个三角形是等腰三角形；它们的交点和底边两端点距离相2、有两条高相等的三角形是等腰三角等；角形；等边对等角等角对等边边底的一半 <腰长 <周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形4、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；3 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1）三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形；（2）要会区分三角形中线与中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半；三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行；数量关系：可以证明线段的倍分关系；常用结论：任一个三角形都有三条中位线,由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半；结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形；结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线相互平分；结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等等腰三角形学问点一 : 等腰三角形的性质等边对等角等腰三角形的两个底角 . 例 1：（2022 年贵州黔东南州）如图,在ABC中, ABAC,点 D在 AC上,且 BDBCAD,就 A 等于（）A30o B40o C45o D 36o同步检测一：1. 在 ABC中, ABAC,如 A70° ,就 B° , C° 如 B40° ,就 A°2. ）已知等腰三角形的一个内角为 50° ,就这个等腰三角形的顶角为（） 50° 80° 50° 或 80° 40° 或 65°学问点二：等腰三角形的性质三线合一等腰三角形的、相互重合；A E C 例 2：如图,在 ABC中, ADAE, BDCE,求证： ABACB D F 同步检测二：1. 在 ABC中,ABAC,D为 BC的中点,B 70° ,BC10 ,就 BD,BAD°4 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学问点三：等腰三角形的判定等角对等边在 ABC中,假如 A B,就有E A D 例 3：如图,已知BD是 ABC的角平分线, DE BC交 AB于 E,求证： BED是等腰三角形1. 在 ABC中 A50° , B80° , BC10 ,就 ABB C 学问点四：等边三角形的性质与判定等边三角形的三条边都相等,三个角都相等且都等于°有一个都相等的三角形是等边三角形；都相等的三角形是等边三角形；角是的等腰三角形是等边三角形例 4: 如图, C 为线段 AB上一点,ACD, CBE是等边三角形,AE与 CD交于点 M, BD与 CE交于点 N,AE交 BD于点 O求证：ADMONEBAEBD AOB120°C CMN是等边三角形同步检测四：1如 ABC是等边三角形,D为 AC的中点,就 DBC°2以下三角形：有两个角等于60° 的三角形；有一个角为60° 的等腰三角形；三个外角（每个顶点处各C取一个外角）均相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形；其中可以确定是等边三角形的是；A学问点五：含30° 的直角三角形的性质E在 Rt 中, 30° 的角所对的直角边等于斜边的D例 5：如图,有一块外形为等边ABC的空地, DE、 EF为地块中的两条BF5 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -路,且 D为 AB的中点, DEAC,EF AB,现已知 AE5m,你能求出地块EFC的周长吗？同步检测五：B在 Rt ABC中, CD是斜边 AB 上的高,如 A30° , BC2 ,就 BDCDA, AD随堂检测：1等边三角形ABC中, D为 AC的中点,延长BC到 E,使 CECD,如 AB10,就 BEC CAAADDCEB第1题图CEO第2题图BBF第6题图2如图,已知OC平分 AOB,CD OB,如 OD 3 ,就 CD3等腰三角形的一个外角为140° ,就这个三角形的顶角为° 4等腰三角形的两边长分别为9 和 4,它的周长为5ABC 中, A B C 1 2 3,AB 10 ,就BCA 6如图,ABC中, ABAC, B30° , EF垂直平分 AB如 CFE 8,就 BFA90o,AB=AC 86 ,点 E 为 AC的B 图F 7如图,在Rt ABC中,中点,点 F在底边 BC上,且 FEBE,就 CEF 的面积是（）A 16 B 18 C6 6 D7 68等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o,腰长为 4 cm,就其腰上的高为 cm. 9如图,在梯形ABCD中, AD BC,ABADDC,B60o. 1 求证： ABAC；AD2 如 DC6, 求梯形 ABCD的面积 . B C第 9 题图6 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -10. 已知：如图, AF 平分 BAC,BCAF, 垂足为 E,点 D与点 A 关于点 E 对称, PB分别与线段 CF, AF 相交于 P,M1 求证： AB=CD；2 如 BAC=2MPC,请你判定 F 与 MCD的数量关系,并说明理由CPAE DMFB同步练习：1如图,已知BADADCB ABC 是等边三角形, AD BC,CD AD, 就 ACD,如 AD 2 ,就ABC的周长为第 1题图C第3题图7 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A顶角 B顶角的一半 C顶角的两倍 D底角的一半3如图,在ABC中 , C90° , ABC60° , BD平分 ABC,如 AD6,就 CD4如等腰三角形的一个内角为 50° ,就其底角为5（09 青海）方程 x 29 x 18 0 的两个根是等腰三角形的底和腰,就这个三角形的周长为（）A12 B12 或 15 C15 D不能确定6在等腰ABC中, AB AC,中线 BD将这个三角形的周长分为 15 和 12 两个部分,就这个等腰三角形的底边长为（）A7 B11 C 7 或 11 D7 或 10 A 7如图,在等边ABC 中, D、E 分别是 AB、AC 的中点,DE 3,D E 就ABC 的周长是（）B C A6 B9 C18 D 24 8如下列图,ABC 是等边三角形,D 点是 AC 的中点, 延长 BC A 到 E ,使 CE CD ,D （1）用尺规作图的方法,过 D 点作 DM BE ,垂足是 M （不写作法,保留作图痕迹） ；B C E 第 8 图（2）求证： BM EM 9已知：在ABC中, ABAC1 设 ABC的周长为 7, BCy,ABx2 x3 写出 y 关于x 的函数关系式,并在直角坐标系中画出此函数的图象；B D A 2 如图, D是线段 BC上一点,连接AD如 B BAD,求证：ABC DBA8 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -随堂检测参考答案：115；23；340° 或 100° ；417 或 22；5. ； 6： 7； 8 ；9证明：1 AD BC,AB=DC B=60°DCB B60°DAC ACB 又AD=DC DAC DCA DCA=ACB B+ACB90° ABAC （2）过点 A作 AEBC于 E B 60° BAE30° 又 AB=DC6 BE=3 ACB30° , ABACBC=2AB=1210解： 1 证明： AF平分 BAC, CAD=DAB= BACD与 A 关于 E 对称, E 为 AD中点BCAD, BC为 AD的中垂线, AC=CDAC=CD）在 Rt ACE和 Rt ABE中,（注：证全等也可得到CAD+ACE=DAB+ABE=90° , CAD=DABACE=ABE, AC=AB（注：证全等也可得到AC=AB）AB=CD 2 BAC=2MPC, 又 BAC=2CAD, MPC=CADAC=CD CAD=CDA MPC=CDA MPF=CDM AC=AB,AEBC,CE=BE（ 注：证全等也可得到 证全等也可得到 CM=BMCE=BE）AM为 BC的中垂线, CM=BM （ 注：EMBC, EM平分 CMB, 等腰三角形三线合一 CME=BME（注：证全等也可得到CME=BME ）BME=PMF,PMF=CME, MCD=F三角形内角和 注：证三角形相 似也可得到 MCD= F 同步练习参考答案：112；2B；33；450° 或 65° ；5C；6 ；6C；718；8（ 1）作图见答案图,（2）是等边三角形,是 的中点,平分 （三线合一）,9 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -又 ,又 , ,又 , 91 解：y72x2 x3 画图象略 2 证明： ABAC, BC. B BAD, BADC. 又 B B, BAC BDA. 11证 ABD BCESAS； BAP EBC, APE ABE+BAPABE+EBCABC60°运用 30° 角所对的直角边等于斜边的一半可得 PE2PF 12（ 1）CD=BE理由如下 : ABC和 ADE为等边三角形AB=AC,AE=AD, BAC=EAD=60o BAE =BACEAC =60o EAC,DAC =DAE EAC =60oEAC,BAE=DAC, ABE ACD CD=BE （2） AMN是等边三角形理由如下： ABE ACD, ABE=ACDM、N分别是 BE、CD的中点,BM= AB=AC, ABE=ACD, ABM ACNAM=AN, MAB=NACNAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60o AMN是等边三角形设 AD=a,就 AB=2aAD=AE=DE,AB=AC,CE=DEADE=60o, ADE为等边三角形,DEC=120 o,EDC=ECD=30o , ADC=90o10 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -在 Rt ADC中, AD=a, ACD=30 o , CD= N为 DC中点, , ADE, ABC, AMN为等边三角形,S ADES ABC S AMN 解法二： AMN是等边三角形理由如下： ABE ACD,M、N分别是 BE、CN的中点, AM=AN,NC=MBAB=AC, ABM ACN, MAB=NAC ,NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60o AMN是等边三角形 设 AD=a,就 AD=AE=DE= a,AB=BC=AC=2a 易证 BEAC,BE= , ADE, ABC, AMN为等边三角形S ADES ABC S AMN 教教学过程师 活动11 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -题目虽然简 单,也要 认真呦！课堂练习课后作业学 生 成本节课教学方案完成情形按时完成提前完成 延后完成 _ 同学的接受程度： 5 4 3 2 1 _ 同学的课堂表现：很积极比较积极 一般积极 不积极 _ 同学上次作业完成情形：优良中差存在问题 _ 学管师 （ 班主任） _ 长记老 师 寄 语班主任审批教学主任审批录签字时间12 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 12 页 - - - - - - - - -