2022年数值计算方法试题及答案解析.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 数值运算方法试题一一、填空题（每空1 分,共 17 分）；1、假如用二分法求方程x3x40在区间,12 内的根精确到三位小数,需对分（）次；2、迭代格式x k1xkx22 局部收敛的充分条件是取值在（）；k3、已知S x 3 x1 2x1 3ax1 2bx1c0x1是三次样条函数,就1x3a = ,b=（）,c=（）；4、l0x ,l 1x ,lnx是以整数点x 0,x 1,x n为节点的 Lagrange 插值基函数,就kn0lkx ,kn0xkljxk ,当n2时kn0x4x23 lkx kk5、设 和 7 ffx 6x72 x4；3 x21和节点xkk/2 ,k,1,0 ,2,就fx0,x 1,x n06、5 个节点的牛顿 -柯特斯求积公式的代数精度为 精度为；,5 个节点的求积公式最高代数7、kx k0是区间0 1,上权函数xx的最高项系数为1 的正交多项式族,其中1x4x dx；,且02时,SOR0x1,就0x 1ax2b 1ax 1x 2b 2,a为实数, 当a满意8、给定方程组迭代法收敛；yf x y , 的改进欧拉法yn1yy0fynhfxn,ynn1 hxn,ynfxn1,y0是y x 0y09、解初值问题nn12阶方法；1 0 aA 0 1 a10、设 a a 1,当a（）时,必有分解式 A LL T,其中L为下三角阵,当其对角线元素 l ii i ,1 2 3, 满意（）条件时,这种分解是唯独的；二、二、挑选题（每题 2 分） k 1 k 1、解方程组 Ax b 的简洁迭代格式 x Bx g 收敛的充要条件是（）；（1） A 1 , 2 B 1 , 3 A 1 , 4 B 1b n n 2、在牛顿 -柯特斯求积公式：a f x dx b a i 0 C i f x i 中,当系数 C i n 是负值时,公式的稳固性不能保证,所以实际应用中,当（）时的牛顿 -柯特斯求积公式不使用；（1）n 8,（ 2）n 7,（3）n 10,（4）n 6,3、有以下数表名师归纳总结 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 第 1 页,共 17 页fx -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所确定的插值多项式的次数是（）；（1）二次；（ 2）三次；（ 3）四次；（ 4）五次h hy n 1 y n hf x n , y n f x n , y n 4 、 如 用 二 阶 中 点 公 式 2 4 求 解 初 值 问 题y 2 y , y 0 1,试问为保证该公式肯定稳固,步长 h 的取值范畴为（）；1 0 h 2 , 2 0 h 2 , 3 0 h 2 , 4 0 h 22三、 1、（8 分）用最小二乘法求形如 y a bx 的体会公式拟合以下数据：ix 19 25 30 38 iy 19.0 32.3 49.0 73.3 1 x2、（ 15 分）用 n 8 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）运算 0 e dx时,1 1 试用余项估量其误差；（2）用 n 8 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）运算出该积分的近似值；3四、1、（15 分）方程 x x 1 0 在 x 1 5. 邻近有根, 把方程写成三种不同的等价形式（ 1）x 3 x 1 对应迭代格式 x n 1 3 x n 1；2 x 1 1x 对应迭代格式 x n 1 1x 1n；（3）x x 31 对应迭代格式 x n 1 x n 31；判定迭代格式在 x 0 1 . 5 的收敛性, 选一种收敛格式运算 x 1 5. 邻近的根,精确到小数点后第三位；选一种迭代格式建立 Steffensen 迭代法,并进行运算与前一种结果比较,说明是否有加速成效；名师归纳总结 2、（ 8 分）已知方程组AXf,其中的第 2 页,共 17 页4324A341f3014,24（1）（1）列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的重量形式；（2）（2）求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径,写出SOR 迭代法；五、 1、（15 分）取步长h0.1,求解初值问题dy0y11用改进的欧拉法求y 0 .1 dx y值；用经典的四阶龙格库塔法求y0.1的值；2、（ 8 分）求一次数不高于4 次的多项式px使它满意p x0fx0,p x 1fx 1,px 0fx 0,px 1fx 1,p x 2fx 2六、（以下 2 题任选一题, 4 分）1、 1、数值积分公式形如1xfx dxS x Af0 Bf 1C f 0 Df 10（1）（1）试确定参数A ,B,C,D使公式代数精度尽量高；（2）设fx C40 1,推导余项公式R x 1xfxdxS x ,并估量误差；02、 2、用二步法- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yn10yn1y n1h fx n,y n1fx n1,yn1求解常微分方程的初值问题yfx ,y 时,如何挑选参数0,1,使方法阶数尽可能yx 0y 0高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的；数值运算方法试题二一、判定题： （共 16 分,每道题分）、 如 A 是nn阶非奇特阵, 就必存在单位下三角阵L 和上三角阵 U ,使ALU唯独）成立；（）、当n8时, Newton cotes 型求积公式会产生数值不稳固性；（）3、形如bfx dxin1A ifx i的高斯（ Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次a数为2n1； （）210A111、矩阵012的范数A2；（）2 aa0A0a05、设00a,就对任意实数a0,方程组Axb都是病态的； （用（）6、设ARnn,QRnn,且有QTQI（单位阵）,就有A2QA2（7、区间a,b上关于权函数Wx的直交多项式是存在的,且唯独；（）8、对矩阵 A 作如下的 Doolittle 分解：2 2 3 1 0 0 2 2 3A 4 7 7 2 1 0 0 b 12 4 5 1 a 1 0 0 6,就 a, b 的值分别为 a 2,b 2；（）二、填空题： （共 20 分,每道题 2 分）8 4 21、设 f x 9 x 3 x 21 x 10,就均差0 1 8 0 1 9f 2 , 2 , 2, _,f 3 , 3 , 3, _；2、设函数 f x 于区间 a, b 上有足够阶连续导数,p a , b 为 f x 的一个 m重零点,Newton 迭代公式 x k 1 x k mf f' xx kk 的收敛阶至少是 _阶；、区间 a, b 上的三次样条插值函数 S x 在 a, b 上具有直到 _阶的连续导数；名师归纳总结 4、向量X,12 T,矩阵A72第 3 页,共 17 页31,就AX1_,condA _；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5、为使两点的数值求积公式：1fx dxfx 0fx 1具有最高的代数精确度,就1其求积基点应为x 1_,x 2_；A2；（此处填小于、大于、6、设ARnn,ATA,就A （谱半径） _等于）7、设A10,就lim kAk_；2 1142*, 如 用 迭 代 公 式 ：三、简答题： （9 分）1、 1、方 程x42x在 区 间,1 2内 有 唯 一 根xx k1ln4x k/ln2k0,1,2,就其产生的序列xk是否收敛于* x ？说明理由；2、 2、使用高斯消去法解线性代数方程组,一般为什么要用选主元的技术？,使3、 3、设x0. 001,试挑选较好的算法运算函数值fx1cosx；x2四、（10 分）已知数值积分公式为：hfxdxhf0fhh2f'0f'h,试确定积分公式中的参数02其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数；五、（8 分）已知求aa0 的迭代公式为：,1,02xk11xkax00k2xk证明：对一切k,1 ,2,x ka,且序列kx是单调递减的,从而迭代过程收敛；六、（9 分）数值求积公式3fxdx3f 1 f2 是否为插值型求积公式？为什么？其02代数精度是多少？名师归纳总结 七、（9 分）设线性代数方程组AXb中系数矩阵A 非奇特, X 为精确解,b0,如向第 4 页,共 17 页量 X是AXb的 一 个 近 似 解 , 残 向 量rbA X, 证 明 估 计 式 ：XX Xc o n dr（假定所用矩阵范数与向量范数相容）；b八、 10 分 设函数fx在区间3,0上具有四阶连续导数,试求满意以下插值条件的一个次数不超过3 的插值多项式H x ,并导出其余项；i0 1 2 ix0 1 2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f ix-1 1 3 f ' ix 3 九 、 9 分 设 n x 是 区 间 a , b 上 关 于 权 函 数 w x 的 直 交 多 项 式 序 列 ,xi i 2,1 , , n , n 1 为 n 1x 的零点,l i x i ,1 ,2 , n , n 1 是 以 ix 为 基 点 的 拉 格 朗 日 Lagrange 插 值 基 函 数 ,b n 1a f x w x dx A k f x k k 1 为高斯型求积公式,证明：n 1A i k x i j x i 0（1）（ 1）当 0 k , j n , k j 时,i 1b（2）a l k x l j x w x dx 0 k j n 1 b b2a l k x w x dx a w x dx（3）k 1十、（选做题 8 分）如 f x n 1 x x x 0 x x 1 x x n ,xi i 0 ,1, , n 互异,求 f x 0 , x 1 , , x p 的值,其中 p n 1；数值运算方法试题三一、（24 分）填空题11 2 分转变函数f x1x x1的形式,使运算结果较精确；名师归纳总结 22 2 分如用二分法求方程fx0在区间 1,2 内的根, 要求精确到第3 位小第 5 页,共 17 页数,就需要对分次；3 2 分设fxx2xx2,就f 'x312x 124 3 分设Sx2x3,0x1c ,1x2是 3 次样条函数,就4x3ax2bx5a= , b= , c= ；5 3 分如用复化梯形公式运算1exdx,要求误差不超过106,利用余项公06式估量,至少用个求积节点；x 11 6.x216 6 分写出求解方程组0 4.x 1x 22的 Gauss-Seidel 迭代公式,迭代矩阵为,此迭代法是否收敛；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 77 4 分设A54,CondA；43 ,就 A88 2 分如用 Euler 法求解初值问题y '10 y,y01,为保证算法的肯定稳固,就步长h 的取值范畴为二. 64 分 11 6 分写出求方程4xcosx1在区间 0,1 的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性；22 12 分 以 100,121,144 为插值节点,用插值法运算115 的近似值,并利用余项估量误差；名师归纳总结 33 10 分求fxxe在区间 0,1 上的 1 次正确平方靠近多项式；第 6 页,共 17 页44 10 分用复化 Simpson 公式运算积分I1sinxdx的近似值,要求误0x差限为0 .5105；55 10 分用 Gauss列主元消去法解方程组：x 14x22x 3243x 1x25x 3342x 16x2x 32766 8 分 求方程组13x 15的最小二乘解；122x 211177 8 分 已知常微分方程的初值问题：dydxxy,1x1 . 2y 12用改进的 Euler 方法运算y . 的近似值,取步长h0.2；三 12 分,在以下5 个题中至多项做3 个题 11 6 分求一次数不超过4 次的多项式px 满意：p115,'p120,p''130,p257,'p27222 6 分 构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度：1xfxdxA 0f1A 1f102- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 33 6 分用幂法求矩阵A101的模最大的特点值及其相应的单位特点向114量,迭代至特点值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05,取特点向量的初始近似值T为 ,1 0；4 6 分 推导求解常微分方程初值问题y ' x f x , y x , a x b , y a y 0的形式为 y i 1 y i h 0 f i 1 f i 1 ,i=1,2, ,N 的公式,使其精度尽量高,其中 f i f x i , y i , xi a ih , i=0,1, ,N, h b a N5 5 6 分求出用差分方法求解常微分方程的边值问题y '' p x y ' q x y r x ,0 a x by ' a ,0 y b 0 所得到的三对角线性方程组；数值运算方法试题三一、（24 分）填空题91 2 分转变函数f x1x x1的形式,使运算结果较精确；名师归纳总结 102 2 分如用二分法求方程fx0在区间 1,2 内的根, 要求精确到第3 位小第 7 页,共 17 页数,就需要对分次；3 2 分设fxx2xx2,就f 'x1112x 124 3 分设Sx2x3,0x1c ,1x2是 3 次样条函数,就12x3ax2bx13a= , b= , c= ；5 3 分如用复化梯形公式运算1exdx,要求误差不超过106,利用余项公014式估量,至少用个求积节点；x 11 6.x216 6 分写出求解方程组0 4.x 1x 22的 Gauss-Seidel 迭代公式,迭代矩阵为,此迭代法是否收敛；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 157 4 分设A54,CondA；43 ,就 A168 2 分如用 Euler 法求解初值问题y '10 y,y01,为保证算法的肯定稳固,就步长h 的取值范畴为二. 64 分 81 6 分写出求方程4xcosx1在区间 0,1 的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性；92 12 分 以 100,121,144 为插值节点,用插值法运算115 的近似值,并利用余项估量误差；名师归纳总结 103 10 分求fxxe在区间 0,1 上的 1 次正确平方靠近多项式；第 8 页,共 17 页114 10 分用复化 Simpson 公式运算积分I1sinxdx的近似值,要求误0x差限为0 .5105；125 10 分用 Gauss列主元消去法解方程组：x 14x22x 3243x 1x25x 3342x 16x2x 327136 8 分 求方程组13x 15的最小二乘解；122x 2111147 8 分 已知常微分方程的初值问题：dydxxy,1x1 . 2y 12用改进的 Euler 方法运算y . 的近似值,取步长h0.2；三 12 分,在以下5 个题中至多项做3 个题 61 6 分求一次数不超过4 次的多项式px 满意：p115,'p120,p''130,p257,'p27272 6 分 构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度：1xfxdxA 0f1A 1f102- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 83 6 分用幂法求矩阵A101的模最大的特点值及其相应的单位特点向119量,迭代至特点值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05,取特点向量的初始近似值T为 ,1 0；4 6 分 推导求解常微分方程初值问题y ' x f x , y x , a x b , y a y 0的形式为 y i 1 y i h 0 f i 1 f i 1 ,i=1,2, ,N 的公式,使其精度尽量高,其中 f i f x i , y i , xi a ih , i=0,1, ,N, h b a N10 5 6 分求出用差分方法求解常微分方程的边值问题y '' p x y ' q x y r x ,0 a x by ' a ,0 y b 0 所得到的三对角线性方程组；数值运算方法试题一答案名师归纳总结 一、一、填空题（每空1 分,共 17 分）第 9 页,共 17 页1、（ 10 ）2、（2,0 0,2）3、 a = 3 ,b=（ 3 ）,c=（ 1 224、 1 、 jx、 x4x23 5、6 、7 .769454236.256、9 27、0 8、a19、2 10、（2,2）、（iil022）二、二、挑选题（每题2 分）1、（ 2）2、（1）3、（1）4、（3）三、 1、（8 分）解：span ,1x2T A112112yT19 . 032 . 349 .073 . 32 19252 3138解方程组T AACT Ay其中T AA43391T Ay173 6.33913529603179980 . 7解得：C.09255577所以a0.9255577,b0. 0501025.005010252、（ 15 分）解：RTfbah2f11e010. 001302121282768T8 hfa2k71fxkfb2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 120 . 88249690 . 7788008.060653066.0 36787947 16.053526140 . 47236655.0 41686207 名师归纳总结 0. 6329434第 10 页,共 17 页四、 1、（15 分）解：（1）x1x1）2,（.1 ）0 . 181,故收敛；33（2）x 2x211,（1 ）.0171,故收敛；1x（3）x 3x2,（1 5.）31 5.21,故发散；挑选（ 1）：x 0.1 5,1x1 . 3572,x21 . 3309,x 3.13259,4x1 . 3249,x 5.132476,6x1 . 32472Steffensen 迭代：xk1xkx kxk2xkx k2x kxk3 3x k 3xk11xk21112 3xk运算结果：x 0.1 5,1x1 . 324899,x 21 . 324718有加速成效；2、（ 8 分）解： Jacobi 迭代法： x 2k x 1k11243xkk1241 30 3 x 1k x 34xk1 2442,1,0 ,3,xk1 3k2Gauss-Seidel 迭代法：xk x 1k1 124 3 x 2kk41 11 x 3303 x 1k1 24 x 3k1 2440 ,1, ,2 ,3 x 2k1 kBJD1LU04340,BJ58或100. 790569334003404- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 1k1 1 x 1k4243 kx 2名师归纳总结 x 2k1 1xk4303 x 1k1 kx 3第 11 页,共 17 页2SOR 迭代法：x 3 k1 1kx 3 k4 ,2 ,324x 2 k1 0 ,1,五、 1、（15 分）解：改进的欧拉法：yn1yn 0y nh2ynynhfx fn,yny0 .9yn0.0 91.yn0 .0951fxn,xn1,0n1所以y 0 1. 1y1；经典的四阶龙格库塔法：y n1k 2ynk 1h 6k 12k22 k3k 4f x nh , 2h , 2,y nh 2 h 2k 1k 2fxnynk 3fx nynk4fxnh ,y nhk 3k 1k2k3k 40,所以y .0 1y 11；H3x ifx i2、（ 8 分）解：设H3x 为满意条件H3x ifx ii0 1,的 Hermite 插值多项式,就pxH3x kxx02xx12代入条件p x 2fx 2得：kfx 22H3x 22x 2x0x2x 1六、（以下 2 题任选一题, 4 分）1、解：将fx ,1x ,x2,3 x分布代入公式得：A3,B7,B1,D120203020H3x ifx i构造 Hermite 插值多项式H3x 满意H3x ifx ii1,0其中x 0,0x 11就有：1xH3x dxS x,fxH3xf4 x2x1 20.4Rx1x fxSx dx1f4x3x12dx00.42、解：f41x3x12