2022年数学公式蛋疼大全.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系xAxC A,xC AxA.2. 德摩根公式C UAB C AC B C UABC AC B . 3. 包含关系ABAABBABC BC AAC BC ABR4. 容斥原理名师归纳总结 card ABcardAcardBcard AB第 1 页,共 28 页card ABCcardAcardBcardCcard ABcard ABcard BCcard CA card ABC . 5集合a a 1 2, a n 的子集个数共有2 n 2 个. 2n个；真子集有 2 n 1 个；非空子集有 2n 1个；非空的真子集有6. 二次函数的解析式的三种形式1 一般式f x 2 axbxc a0; 2 顶点式f x a xh 2k a0; 3 零点式f x a xx 1xx 2a0. 7.解连不等式Nf x M 常有以下转化形式Nf x Mf x Mf x N0|f x M2N|M2Nf N0Mf x 1NM1N. f x 8. 方程f x 0在k 1k2上有且只有一个实根, 与f k 1f k20不等价 , 前者是后者的一个必要而不是充分条件. 特殊地 , 方程2 axbxc0 a0 有且只有一个实根在k 1k 2内 , 等价于fk 1f k20, 或f1k0且k 1bk12k2, 或fk 20且2ak 1k 2 bk 2 . 2 2 a9. 闭区间上的二次函数的最值二次函数fx 2 axbxc a0 在闭区间p,q上的最值只能在xb处及区2a间的两端点处取得,详细如下：1 当 a>0 时,如xbp,q,就f x n mif, b f x2 ax mx m , f p f q；2axbp,q,f x maxmaxf ,f q ,f x minminf p ,f q . 2a2当a<0时 , 如xbp,q, 就fx m i nm i n fp , 如 q 2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x名师精编优秀资料. bp,q,就f x maxmaxf p ,f q ,f x minminf p ,f q 2 a10. 一元二次方程的实根分布0在区间 m n 内至少有一个实根 . 依据：如f m f n 0,就方程f x 设 f x x 2 px q,就p 2 4 q 0（1）方程 f x 0 在区间 m , 内有根的充要条件为 f m 0 或 p；m2f m 0f n 0（2）方程 f x 0 在区间 m n 内有根的充要条件为 f m f n 0 或 p 24 q 0m p n2f m 0 f n 0或 或；af n 0 af m 02p 4 q 0（3）方程 f x 0 在区间 , n 内有根的充要条件为 f m 0 或 p . m211. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据1 在给定区间 , 的子区间 L （形如 , 不同） 上含参数的二次不等式 f x t , 0 t 为参数 恒成立的充要条件是 f x t , min 0 x L . 2 在给定区间 , 的子区间上含参数的二次不等式 f x t , 0 t 为参数 恒成立的充要条件是 f x t , man 0 x L . a 04 2 a 03 f x ax bx c 0 恒成立的充要条件是 b 0 或2 . b 4 ac 0c 012. 真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假 13. 常见结论的否定形式名师归纳总结 原结论反设词原结论反设词1）个第 2 页,共 28 页是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个至多有 （n小于不小于至多有 n 个至少有 （n1）个对全部 x ,存在某 x ,成立不成立p 或 qp 且q对任何 x ,存在某 x ,p 或qp 且 q不成立成立- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料14. 四种命题的相互关系原命题互逆逆命题. 如就如就互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题如非就非互逆如非就非15.充要条件（1）充分条件：如pq ,就 p 是 q 充分条件 . （2）必要条件：如qp ,就 p 是 q 必要条件 . （3）充要条件：如pq ,且 qp ,就 p 是 q 充要条件 . 注：假如甲是乙的充分条件,就乙是甲的必要条件；反之亦然16. 函数的单调性1 设 x 1 x 2 a , b , x 1 x 2 那么 x 1 x 2 f x 1 f x 2 0 f x 1 f x 2 0 f x 在 a , b 上是增函数；x 1 x 2 x 1 x 2 f x 1 f x 2 0 f x 1 f x 2 0 f x 在 a , b 上是减函数 . x 1 x 22 设函数 y f x 在某个区间内可导,假如 f x 0,就 f x 为增函数；假如f x 0,就 f x 为减函数 . 17. 假如函数 f x 和 g x 都是减函数 , 就在公共定义域内 , 和函数 f x g x 也是减函数 ; 假如函数 y f u 和 u g x 在其对应的定义域上都是减函数 , 就复合函数y f g x 是增函数 . 18奇偶函数的图象特点奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来,假如一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数；假如一个函数的图象关于y 轴对称, 那么这个函数是偶函数名师归纳总结 19. 如函数yf x 是偶函数, 就fxafxa；如函数yfxa是偶函第 3 页,共 28 页数,就fxafxa. 的对称轴是20. 对于函数yfxxR,fxafbx恒成立 , 就函数fx函数xa2b; 两个函数yfxa与yfbx 的图象关于直线xa2b对称 . 21. 如fx fxa, 就 函 数yfx的 图 象 关 于 点a 2,0对 称 ; 如fxfxa, 就函数yfx 为周期为2 a的周期函数 . 22多项式函数P x n a xa n1xn1a 的奇偶性多项式函数P x 是奇函数P x 的偶次项 即奇数项 的系数全为零 . 多项式函数P x 是偶函数P x 的奇次项 即偶数项 的系数全为零 . 23. 函数yf x 的图象的对称性1 函数yf x 的图象关于直线xa对称f axf ax - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f2axf x . 名师精编优秀资料2 函数ybf x 的图象关于直线xa2b对称f amxf bmxf amxf mx . 24. 两个函数图象的对称性1 函数yf x 与函数yfx 的图象关于直线x0 即 y 轴 对称 . b的图2 函数yf mxa 与函数yf bmx 的图象关于直线xab对称 . 2m3 函数yfx和yf1 x 的图象关于直线y=x 对称 . 25. 如将函数yf x 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数yfxa象；如将曲线fx ,y 0的图象右移 a 、上移 b 个单位, 得到曲线fxa,yb0的图象. 26互为反函数的两个函数的关系名师归纳总结 fa bf1b a. b, 并 不 是第 4 页,共 28 页27. 如 函 数yfkxb 存 在 反 函 数 , 就 其 反 函 数 为y1f1xkyf1kxb , 而函数yf1 kxb 是y1fxb 的反函数 . g x g y ,k28. 几个常见的函数方程 1正比例函数f x cx ,fxyf x f y ,f1c . 2 指数函数f x x a ,f xyf x f ,f1a0. 3 对数函数f x logax ,f xyf x f ,f a 1 a0,a1. 4 幂函数f x x ,f xy f x f y ,f'1. 5 余弦函数f x cosx , 正弦函数g x sinx ,f xy f x f yfg x 0 1,lim x 0 x 1 . 29. 几个函数方程的周期商定 a>0 | 2 a ,就（1）fxfxa,就fx的周期 T=a；（2）fxfxa0,或fxaf1fx0,x或f xa 1 0 , f x 或1f x f2 f xa,f x 0,1 , 就fx的周期 T=2a；23fx1f1afx 0,就fx的周期 T=3a；x4fx 1x2fx 1x 1fx2且f a 1 f x 1f x 21,0|x 1x 21ffx2fx的周期 T=4a；5f x f x a f x2 a f x3 f x4 f x f x a f x2 a f x3 a f x4 a , 就fx的周期 T=5a；6fxa fxfxa,就fx 的周期 T=6a. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料30. 分数指数幂1amn1m（a0,m nN ,且n1）. na2am1（a0,m nN ,且n1） . nma n31根式的性质（1） n a na . na na ；（2）当 n 为奇数时,当 n 为偶数时,nn aa a00. |a|a a32有理指数幂的运算性质1 r as aarsa0, , r sQ . 上述有理指数幂的运算性2 arsars a0, , r sQ . 3 ab rr ra b a0,b0,rQ . 注： 如 a 0,p 是一个无理数,就ap表示一个确定的实数质,对于无理数指数幂都适用. 33. 指数式与对数式的互化式logaNbabN a0,a1,N0.34. 对数的换底公式logaNlogmN aa0, 且a01,m0, 且m1,N0. n1,N0. logma推论logambnnlogba, 且a1,m n0, 且m1,m35对数的四就运算法就如 a0,a 1,M 0,N0,就1 log MNlogaMlogaN ; , 记,且b24 ac. 如fx的定义域为2 logaMlogaMlogaN; N3 logaMnnlogaM nR . 36. 设函数fx logm ax2bxc a0 R , 就a0,且0 ; 如fx的值域为 R , 就a00 . 对于a0的情形 , 需要单独检验 . 名师归纳总结 ,37.对数换底不等式及其推广log bx 第 5 页,共 28 页如a0,b0,x0,x1, 就函数ya 1当 ab 时, 在0,1和1 a,上ylogax bx 为增函数 . a2 当 ab 时, 在0,1和1 a,上ylogax bx 为减函数 . a推论 :设nm1,p0,a0,且a1,就（1） logmpnp logmn .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）logamloganloga2名师精编优秀资料x 的总产值y ,有m2n.38.平均增长率的问题N,平均增长率为p ,就对于时间假如原先产值的基础数为yN1x p . s na 1a 2a . 39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系a ns 1,s nn12 数列 a n的前 n 项的和为s n1,n40. 等差数列的通项公式a na 1n1 ddna 1d nN*；其前 n 项和公式为s nn a 12a nna 1n n1d2d n 22a 11d n . N*；241. 等比数列的通项公式a na qn1a 1qnnq其前 n 项的和公式为s na 11qn ,q1qa nd a 1b q0的通项公式为1qna q1或s na 1a q q q1. 1na q142. 等比差数列na:a n1bn1 , d q1d q1；a nbqndb qn1q1其前 n 项和公式为s nnbn n1 ,q1qn,q1. bd1qnd1qq1143.分期付款 按揭贷款 每次仍款xab 1bn 元贷款 a 元, n 次仍清 ,每期利率为 b . 1b n144常见三角不等式名师归纳总结 （1）如x0,2,就 sinxxtanx . 第 6 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 如xx0,2,就 1. sinx名师精编优秀资料cosx2. 3 |sin| cosx| 145. 同角三角函数的基本关系式sin2cos21 , tan=sin, tancot1. cos46. 正弦、余弦的诱导公式ncosinn 1 sin,n 为偶数 n1s ,n 为奇数 2 12cos n2n,n 为偶数 1cosn 为奇数 n1,12si n47. 和角与差角公式sinsincoscossin; 的 象 限 决; coscoscossinsintantantan. 1tantan 平方正弦公式 ; sinsinsin2sin22. coscos2 cossinasinbcos=a2b 2 sin 辅 助 角所 在 象 限 由 点 , 定, tan b .a48. 二倍角公式112sin2. sin 22sincos. cos2cos2sin22cos2tan 212 tan2. tan49. 三倍角公式sin 33sin4sin34sinsin33sin33. .cos34cos33cos4coscoscos. 3tantan3tan 3tantan3 tan313tan250. 三角函数的周期公式名师归纳总结 函数ysinx,xR及函数ycosxk,xRA, ,为常数, 且 A 0,第 7 页,共 28 页2,kZ A, ,为常数,且A 0 的周期T2；函数ytanx,x 0, 0 的周期 T. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料51. 正弦定理a b c2 R . sin A sin B sin C52. 余弦定理2 2 2a b c 2 bc cos A; 2 2 2b c a 2 ca cos B ; 2 2 2c a b 2 ab cos C . 53. 面积定理（1）S 1 ah a 1 bh b 1 ch （h a、h b、h c 分别表示 a、b、c 边上的高） . 2 2 2（2）S 1ab sin C 1bc sin A 1ca sin B . 2 2 23 S OAB 1| OA | | OB | 2 OA OB 2. 254. 三角形内角和定理在 ABC中,有 A B C C A B C A B2 C 2 2 A B . 2 2 255. 简洁的三角方程的通解sin x a x k 1 arcsin a k Z ,| a | 1 . co s x a x 2 k arccos a k Z ,| a | 1 . tan x a x k arctan a k Z a R . 特殊地 , 有sinsinkkk 1k kZ. coscos2Z . tantankkZ . 56. 最简洁的三角不等式及其解集sinxa a| 1x2karcsina,2karcsina,kZ . sinxa|a| 1x2karcsina,2karcsina kZ . cosxa|a| 1x2karccos ,2karccos ,kZ . cosxa a| 1x2karccos ,2k2arccos ,kZ . tanxa aR xkarctan , a k2,kZ . tanxa aRxk2,karctan ,kZ . 57. 实数与向量的积的运算律设 、 为实数,那么1 结合律： a= a; 2 第一安排律： + a= a+ a;3 其次安排律： a+b= a+ b. 58. 向量的数量积的运算律：1 a ·b= b ·a （交换律） ; a· b= a · （b）; 2 （a）·b= （a· b）=3 （a+b）·c= a· c +b ·c.59. 平面对量基本定理假如 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 只有一对实数 1、2,使得 a=名师精编优秀资料1e1+2e2不共线的向量e1、e2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底 60向量平行的坐标表示设 a=x y 1 1, b=x 2,y 2,且 b0,就 abb0x y 1 2x y 2 10.53. a 与 b 的数量积 或内积 |b|cos 的乘积a·b=| a| b|cos 61. a·b 的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影62. 平面对量的坐标运算1 设 a=x y 1, b=x 2,y2,就 a+b=x 1x 2,y 1y 2. y 1. 2 设 a=x y 1, b=x 2,y2,就 a-b=x 1x 2,y 1y 2. 3 设 Ax 1,y 1,Bx 2,y2, 就ABOBOAx 2x y 24 设 a= , x y,R ,就a=x ,y . y y 2. 5 设 a=x y 1, b=x 2,y2,就 a· b=x x 263. 两向量的夹角 公式cos2 x 1x x 2y y 22 y 2 a=x y 1 1, b=x 2,y 2. 2 y 12 x 264. 平面两点间的距离公式dA B=|AB|AB AB2Ax y 1,Bx 2,y 2. x2x 12y2y 165. 向量的平行与垂直设 a=x y 1, b=x 2,y 2,且 b0,就0. A| bb= a x y 2x y 10. aba0a·b=0x x 2y y 266. 线段的定比分公式设 P x 1 , y 1 ,P x 2 , y 2 ,P x y 是线段 PP 的分点 , 是实数,且 PP 1 PP ,就 2x x 1 x 21 OP OP 1 OP 2y y 1 y 2 11OP tOP 1 1 t OP （t 1）. 167. 三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为 Ax ,y 、Bx ,y 、Cx ,y , 就 ABC的重心的坐标是 G x 1 x 2 x 3 , y 1 y 2 y 3 . 3 368. 点的平移公式' 'x x h x x h ' '' ' OP OP PP . y y k y y k注: 图形 F 上的任意一点 Px ,y 在平移后图形 F 上的对应点为 'P x y ' ' ',且 PP 的 '坐标为 , h k . 69. “ 按向量平移” 的几个结论名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）点名师精编优秀资料h yk . P x y 按向量 a= , h k 平移后得到点P x2 函数 y f x 的图象 C 按向量 a= , 平移后得到图象 C , 就 'C 的函数解析式 '为 y f x h k . 3 图象 C 按向量 'a= , h k 平移后得到图象 C , 如 C 的解析式 y f x , 就 C 的函数 '解析式为 y f x h k . 4 曲 线 C : f x y , 0 按 向 量 a= , 平 移 后 得 到 图 象 C , 就 'C 的 方 程 为 'f x h y k 0 . 5 向量 m= , x y 按向量 a= , h k 平移后得到的向量仍旧为 m= , x y . 70. 三角形五“ 心” 向量形式的充要条件设 O 为 ABC 所在平面上一点,角 A B C 所对边长分别为 a b c ,就2 2 2（1） O 为 ABC 的外心 OA OB OC . （2） O 为 ABC 的重心 OA OB OC 0 . （3） O 为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA . （4） O 为 ABC 的内心 aOA bOB cOC 0 . （5） O 为 ABC 的 A 的旁心 aOA bOB cOC . 71. 常用不等式：（1）a b R a 2b 22 ab 当且仅当 ab 时取“=” 号 （2）a b R a b ab 当且仅当 ab 时取“=” 号 2（3）a 3b 3c 33 abc a 0, b 0, c 0.（4）柯西不等式2 2 2 2 2 a b c d ac bd , , , , a b c d R .（5）a b a b a b .72. 极值定理已知 x, y 都是正数,就有（1）如积 xy是定值 p ,就当 x y 时和 x y 有最小值 2 p；（2）如和 x y 是定值 s ,就当 x y 时积 xy 有最大值 1 s . 4推广 已知 x, y R,就有 x y 2 x y 22 xy（1）如积 xy是定值 , 就当 | x y | 最大时 , | x y | 最大；当 | x y | 最小时 , | x y | 最小 . （2）如和 | x y | 是定值 , 就当 | x y | 最大时 , | xy 最小；当 | x y | 最小时 , | xy 最大 . 2 273. 一 元 二 次 不 等 式 ax bx c 0 或 0 a 0,