2022年数学史复习资料.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思20XX级数本数学史复习提纲（要点）一、历史人物或历史大事（线索）古希腊第一个数学家：泰勒斯0 符号由哪国家制造：印度哪个学派信仰“ 万物皆数”: 毕达哥拉斯学派表达中国古代数学成熟的著作 : 九章算术流数是指什么 : 微商数学符号系统化归功于哪个数学家 第一个中译本几何原本是谁翻译: 法国数学家韦达 : 徐光启、利玛窦三角形内角和小于 180 度是哪种几何 : 罗巴切夫斯基几何二次互反律谁证明 : 高斯中国古代数学三次进展高潮：东西汉、魏晋南北朝、宋元时期通过哪两本纸草书争论古埃及的：莱茵德纸草书、莫斯科纸草书费尔马大定理及谁攻破：方程 xnynzn 对任意大于 2 的自然数 n 无整数解哪年希尔伯特发表 23 个问题： 1900 年 8 月笛卡尔万能方法：任何问题 数学问题 代数问题 方法求解中国第一位获得数学博士 : 胡明复国际数学进展中心的转移 : 意大利 英国 法国 德国 美国“ 后继数” 谁提出 : 皮亚诺谁创立信息论 : 香农谁创立四元数 : 哈密顿阿波罗尼奥斯关于曲线著作 : 圆锥曲线论第一个证明一般五次及五次以上方程没有根式解的数学家 : 阿贝尔代数学一词来源于谁著作 ; 花拉子米,缉古算经作者 : 王孝通用现存什么争论美索不达米亚数学成就 : 泥版文书中文“ 代数” “ 法线” 一词谁制造 : 李善兰古希腊作图只用什么工具 历史上最宏大的数学家: 圆规和不带刻度的直尺 : 阿基米德、牛顿、高斯数学最高奖 : 菲尔兹奖和沃尔夫奖欧拉创立哪些符号：函数符号fx、求和符号、自然对数底数e、虚数符号 i 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思我思故我在是谁的名言：笛卡尔数理统计奠基人：费希尔托勒玫定理是什么：圆内接四边形中,两对角线之积等于两对对边之积的和掌握论谁创立：美国维纳谁制造对数：苏格兰贵族数学家纳皮尔中国最早的经书：周髀算经物不知其数在哪本著作显现：孙子算经斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,.（T=Tn-1+Tn-2 ）毕达哥拉斯如何说明数学：数学为学到的学问20 世纪纯数学特点：更高的抽象性,更强的统一性,更深化的探讨性公理化三个原就：相容性、独立性、完备性历史上最宏大女数学家：爱米. 诺特二、简答题1、试述欧几里得的宏大奉献及其原本的缺陷；欧几里得的宏大奉献：1）开创性地引进公理化方法,建立了数学的演绎体系；2）总结古希腊数学成就,使数学学问特殊是几何学问成为一门学科体系,开创了数学教材的先河；几何原本的缺陷：1）某些定义借助于直观描述,或措辞模糊不清；有的概念本可以定义,却没有定义；有的定义在以后推理或定义中并没有再使用,等等；2）公理系统不完备,有些公理不独立；3）公理系统的三个基本条件：相容性、独立性和完备性；2、19 世纪初数学家们面临 是什么？18 世纪遗留下来的三个最突出的数学问题1）高于四次的代数方程的求解问题；2）欧几里德几何中平行公理的证明问题；3）牛顿 . 莱布尼茨微积分算法的规律基础问题；3、从传统数学到近代数学,经受了哪几个重要的转折点？1）数学争论的基本思想从以常量观念为中心转移到以变量观念为中心；2）数学争论的基本方法从希腊传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3）新的观点和新的方法使数学具有更强大的生命力；4、九章算术中的九章是什么？简述九章算术的特点；九章是什么：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股；九章算术的特点：1）内容丰富,涉及算术、代数、几何各方面学问,且有用性强；2）以运算为主,重视算法的总结概括,并且有数形结合的特点；3）以题解为中心,在题解中给出算法；4）没有以概念和命题为核心的演绎体系的痕迹,有用性及以算为主是其基本特点；5、试述近代数学进展的几个重要特点；1）算术、代数与几何相结合并共同进展；2）纯粹数学与应用数学亲密结合,相互促进,并产生新的结合进展的趋势；3）数学争论走向社会化和专业化；6、试述非欧几何的基本思想以及罗巴切夫斯基创立非欧几何地历史 意义；要点：非欧几何的基本思想：用与欧氏第五公设相反的命题作为替代公设,由此动身进行规律推导而得出一连串新几何学的定理,这些定理并不包含冲突,因而在总体上形成了一个规律上可能的、无冲突的理论,即新的几何学非欧几何学；罗氏非欧几何创立的历史意义：1）罗氏面对传统的数学观,敢于抗争和批判,勇于坚持真理,为后人树立了良好的榜样；2）这是一次数学思想上的庞大 突破,它扩大了人们对空间的熟悉,从今几何学将从欧氏几何的狭窄天地里转 到争论各种不同的几何空间,如欧氏空间、罗氏空间、黎氏空间、放射空间等；7、概述数学史上的三次数学危机及其影响；要点：第一次数学危机是不行通约量即无理数的发觉,它导致希腊数学家在数 的概念面前止步了,结果阻碍了代数学的进展,但却促进了综合几何学的形成 和进展；其次次数学危机是微积分的基础问题,特殊是无穷小量概念问题,它 导致数学陷入自相冲突的境地,结果显现了一场针对微积分基础的大论战；微 积分基础问题的解决导致众多数学分支的创立,如数学分析、微分方程、复变 函数、变分法、微分几何等；第三次数学危机是集合论的基础问题,它使很多 数学家卷入了关于数学基础的大辩论,结果导致数学三高校派的形成；8、简述 20 世纪应用数学的特点；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1）数学的应用突破了传统的范畴而向人类几乎全部的学问领域渗透；2）纯粹数学几乎全部的分支都获得了应用,其中最抽象的一些分支也参加了渗 透,如数论在密码学中的应用；3）现代数学在生产技术中的应用变得越来越直接,如现代大规模生产的治理决 策、产品质量掌握等直接依靠于线性规划算法与统计方法；4）现代数学在向外渗透的过程中,产生了一些相对独立的应用学科,如数理统 计、运筹学、掌握论等；9、牛顿创立微积分,必需解决哪几个基本问题？1）纯洁概念特殊是建立变化率的概念；2）提炼方法提炼各种解决详细问题的方法,使其具有普遍意义；3）转变形式把概念和方法的几何形式变成解析形式,使之应用更广；10、简述 20 世纪数学的特点；1）以集合论、数理规律为基础,开创了数学元认知的争论,显现了针对数学基 础的三高校派；2）数学理论更加抽象,显现代数化、拓扑化的趋势,如代数几何、代数数论、代数拓扑等；3）电子运算机进入数学运算,开创了新的数学分支运算数学,并开头机器 证明；4）应用数学显现众多的新分支,数学向生物学、经济学、社会学、语言学等几 乎全部的领域进军；11、简述笛卡尔创立解析几何的思想 P137 解析几何的思想是在平面几何上引进所谓“ 坐标” 的概念,并借助这种坐 标在平面上的点和有序实数对 （x,y 之间建立一一对应的关系； 每一对实数（x,y 对应于平面上的一个点；每一个点都对应于它的坐标（x,y. 以这种方式可以将 一个代数方程 fx,y=0 与平面上一条曲线对应起来；12、简述元末明中学国数学停滞不前的缘由 P104 1）皇朝更迭,在晚期显现日趋严峻的停滞性和腐朽性；2）数学家社会位置低下, 争论数学者没有出路, 自由探讨受到束缚甚至遭禁锢；3）筹算存在很多局限性,筹式运算笨拙累赘,对五个以上未知数的方程组无能 为力；4）算法制造是数学进步的必要因素；但缺乏演绎论证的算法倾向与缺乏算法创 造的演绎倾向同样难以升华为现代数学；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思13、与 19 世纪相比,二十世纪数学进展有什么特点？P271 1）更更高的抽象性 2）强的统一性 3）更深化的基础探讨 14、古希腊三大作图难题 P41 1 画圆为方,即做一个与给定的圆面积相等的正方形；2 倍立方体,即求做一立方体,使其体积等于已知立方体的两倍；3 三等分角,即分任意角为三等分；15、对数学基础有不同懂得的三高校派是什么？P304 1）以罗素为代表的规律主义 2）以布劳威尔为代表的直觉主义 3）以希尔伯特为代表的形式主义 P137 16、在文艺复兴时期,变量数学产生主要背景是什么？1）机械的一般的使用引起了对机械运动的争论；2）世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达,而测定船舶位置问题,要求精确 地争论天体运动的规律；3）武器的攻进刺激了弹道问题的探究等等；4）对运动与变化的争论已变成自然科学的中心问题,这就迫切需要一种新的数 学工具,从而导致了变量数学即近代数学的产生；三、论述题（要点仅供参考）1试述早期古希腊数学的特点,并分析其局限性；早期古希腊数学的特点：1）既继承了前一时期巴比伦数学和古埃及数的丰硕成果,又进行了制造性的研 究活动,提出了关于数学的观点、理论和方法；2）与他们的数学观相联系,希腊数学家把数学争论的领域大大扩充了,数学的 范畴涉及几何、算术、数论、天文学和音乐等；3）希腊数学家把规律证明系统地引入数学中,强调规律证明是确立数学命题的 真理性的一个基本方法,从而建立了数学的演绎体系,使数学从体会学问上升 为理论学问, 真正意义的数学科学从今产生 （其标志是欧几里得 几何原本 ）；早期古希腊数学的缺陷：1）只接受有理数,不承认无理数,结果限制了数的概念的进展,阻碍了代数学 的争论；这种状况使古希腊的几何学是理论的、演绎的,而它的算术就主要是名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思体会的、运算的,因而导致几何学与算术,数与形之间的长期分裂；2）即使在他们最善于的几何学里,也只是局限于争论那些能用直尺、圆规构造出来的那些图形；这种做法极大限制了几何学的争论范畴；2函数概念的进展经受了哪几个阶段？试给出最终两个阶段的函数 定义,并分析其异同；要点：函数概念进展经受了几何定义、解析定义、变量定义、对应定义和集合定义等五个阶段；其中对应定义是黎曼给出的,即：在某个变化过程中,有两 个变量 x 和 y,假如对于 x 在某一范畴内的每一个确定的值, 依据某个对应关系,y 都有唯独确定的值与它对应,那么就把y 称为 x 的函数, x 称为自变量；集合定义是康托尔给出的,即： A和 B是两个集合,假如依据某种对应关系,使 A的 任何一个元素在 B中都有唯独的元素和它对应, 这样的对应关系称为集合 A 到 B 的函数；对应定义与集合定义的共同点是：二者都明确了函数的“ 对应关系” ,并强调“ 唯独对应” ；不同点是：前者只有变量概念,没有集合概念,并将变 量 y 称为自变量 x 的函数；后者用集合及其元素代替变量概念,并将对应关系 称为集合到集合的函数；3为什么中国古代数学没有形成严密的规律演绎体系？试从社会制 度、文化观念、筹算系统、争论风格等因素进行分析；1）元代以后,科举考试制度中的明算科被完全废止,唯以八股取士,数学 社会位置低下；2）中国古代文化强调有用性, 务实之风在数学争论中盛行, 尽管有算法的总结,但缺乏深化的思辨和规律论证的处理,因而数学学问难于形成抽象性的演绎体 系；3）筹算系统有很大的局限性,它无法演进为完全的符号代数,同时也使复杂的 演算无能为力；4）中国古代数学家一般以九章算术为争论起点,尽管以后编撰了很多数学 著作,但都没有摆脱九章算术的风格,即始终以详细问题的解决为核心内 容,缺乏整个理论的争论与制造；4论述欧氏几何的意义和非欧几何产生的过程意义 P51,过程 P226 P231：意义：是数学史上的一座理论丰碑,它最大的功绩,是在于数学史中演绎范式名师归纳总结 的确立,这种范式要求的每个命题必需是在它之前已经建立的一些命题和逻第 6 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思辑结论,而全部这样的推理链的共同的动身点,是一 不证自明的基本原理；过程：些基本定义和被认为是1 ）最先熟悉到非欧几何是一种规律上相容并且可以描述物质空间、像欧式几 何一样正确的新几何 学的是高斯,但他除了在给伴侣的一些信件中对其非欧几何的思想有所透露外,高斯生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著,这主要是由于他感到自己的发觉与当时流行的康德空间哲学相抵触,担忧世俗 的 攻击；2 ）波约期望通过高斯的评判而将自己关于非欧几何的争论公诸于世；3）、在非欧几何的三位创造人中,只有罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的争论成果,并且也是最坚决地宣扬和捍卫自己的新思 想的一位；5什么是赌注安排问题？并论述概率论产生的过程；（1）合理赌注问题是：甲乙两人同掷一枚硬币,规定：正面朝上,甲得一点,如反面朝上,乙得一点,先满 S点者赢全部赌注,现假定甲乙各得 aa<s,bb<s 点时,赌局中止了,问应当怎样安排赌注问题才算合理；（2）概率论产生的背景：概率论起源于赌博问题的争论；十六世纪的意大利学 者卡丹与塔塔利亚等人已从数学角度争论过赌博问题；卡丹等人的思想并未引 起重视,概率概念要旨也不明确,很快就被人遗忘 a. 概率概念的要旨只是在帕斯卡与费尔玛的争论中才比较明确；他们争论 的问题“ 合理安排赌注问题” 实际上是一特定场合下“ 数学期望” 问题；费尔 玛和帕斯卡虽然在通信中没有明确定义概率的概念,但是他们定义了使某某赌 徒取胜的机遇,也就是赢的情形数与全部可能情形数的比,这实际上就是概率；所以概率的进展被认为是从帕斯卡与费尔玛开头的 b. 第一个提出“ 数学期望” 这一概念的是荷兰数学家惠更斯；他在 1657 年发表论赌博中的推理,文中提出：“ 在赌局开头之前,对每一个赌徒来 说已有了关于结局的一种期望 ” ；在数学史上,次序是这样产生的,先有“ 期望” 概念,而古典概型的概率定义,完成可以从期望概念中导出来；c. 雅各. 伯努利将概率论这门科学坚固地建立在数学的基础上,提出来了 大数律；他认为：从前人们对概率概念,多半从主观方面来说明,即说成一种“ 期望” ,这种期望是先验的等可能性的假设,是以古典型为依据的；这种方 法有极大的局限性,或许在赌博中可用,但在更多的场合,这种方法就不行行；需要从主观的“ 期望” 说明转到了客观的“ 频率” 来说明；伯努利是现代概率 论真正的奠基人；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思6试述非欧几何的基本思想以及罗巴切夫斯基创立非欧几何地历史意义,并说明数学进展的曲折性；同简答题6,曲折性：数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录,数学的进展决不是一帆风顺,在更多的情形下是 布满徘徊、徘徊、要经受艰巨曲折,甚至会面临危机；数学史也是数学家克服困难和战胜危机的斗争,无理量的发觉,微积分和非欧几何的创立,乃至费马 大定理的证明 无不充分说明白这一点；四、运算题 ：主要是九章算术中的题目,如；1.（九章算术）今有共买物,人出八,盈三钱P72,P73,仍有百鸡问题;人出七,不足四,问人数,物价各几何,并说明这个问题属于九章算术中的什么类型,相当于现在的 什么数学问题；解：设人数为 x,物价为 y,由已知得两个方程,8x-3=7,7x+4=y 联立方程组并解得, x=7,y=53 答：人数共有 7 人,物价为 53 钱；盈亏类,盈不足术,相当与现在一种线性插值法；2.白鸡问题： 张邱健算经）今有鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏 三,值钱一,凡百钱买白鸡,问鸡翁母雏各几何（正整数解）？并说明相当与 现在的什么数学问题；解：设鸡翁为 x,母鸡为 y,鸡雏为 z,由已知得两个方程,X+y+z=100 5x+3y+1/3*z=100 并解得,x1=4,y1=18,z1=78 X2=8,y2=11,z2=81 X3=12,y3=4,z3=84,“ 白鸡问题” 是世界闻名的不定方程问题；五、 说明题 ：1、P85 关于祖冲之运算圆周率表达；“ 祖冲之更开密法,以圆径一亿为一丈,圆周盈数三丈一尺,四寸一分五厘九名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思毫二秒七忽, . 数三丈一尺四寸一分五里=厘九毫二秒六忽,正数在盈 . 二数之间”这就是说祖冲之算出了圆周率的值的上下限,3.1415926（ ）< <3.1415927（盈数）, 史料上并没有关于祖冲之推算圆周率的记载,一般认为是依据刘徽的割圆术,事实上依据刘徽的方法从正大边形连续割到24576 边形时,恰好得到结果,史料上仍记载了祖冲之在运算圆周率的另一项重要结果,” 密率” 也称“ 祖率” ,16 世纪德国人奥托和荷兰人按托尼兹曾重新推算出圆周率的这个分数的近似 值；2、P44 四个悖论的说明；1）两分法：运动不存在,由于位移事物在到达目的地之前必先抵达抵达一半处；在抵达一半之前又必需四分之一处,.,以此类推可至无穷；2）阿基里德：阿基里德永久追不上一只乌龟,由于如乌龟的起跑点领先一段距 离,阿基里德必需第一跑到乌龟的动身点,而在这段时间里乌龟又向前爬行一 段距离；3）飞箭：飞着的箭是静止的,由于任何的事物当它是一个和自己大小相同的空 间里,它是静止的,而飞箭在飞行的过程中的每一“ 瞬时” 都是如此；4）运动场：空间和时间不能由不行分割的单元组成；假设不然,运动场跑道上 三排队列 A,B,C, 令 C往右移动, A 往左移动,其速度相对于 B 而言都是每瞬时移动一个点；这样一来, A上的点就在每瞬时离开 一更小的时间单元；C两个点的距离,因而必存在3、P186 大教主伯克莱攻击牛顿微积分的缘由及后人的解决；伯克莱攻击微积分：伯克莱认为当时的数学家们以归纳代替演绎,没有为他们 的算法提出合理的证明,他集中攻击了牛顿流数中关于无限小量的纷乱假设,他指出 0 的消逝的假设前后的冲突,他发表的个人小册子分析数学家的矛 头指向牛顿的流数术；伯克莱对微积分学说的攻击主要出于宗教的动机,目的 是要证明流数原理并不比基督教义“ 构思更清楚” ,“ 推理更明白” ；但他批 判刺激了数学家们为建立微积分的严格基础而努力,英国的麦克劳林的流数论最为典型,但仍未能巩固微积分基础,到了18 世纪,达朗贝尔用极限的概念代替了牛顿的模糊的最大化及最终化,欧拉提出“ 无限小就是零,但却存 在着” 不同阶的零“ ,也就是不同阶的无限小；后人（欧洲大陆的数学家们）力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难；在 达朗贝尔,欧拉和拉格朗日；18 世纪,这方的代表人物是名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思4、P79 刘徵的话及其意义；割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不割,就与圆周合体而无所失矣；意义：圆内正多边形的边数越来越多时,正多边形的面积,周长与圆的面积,周长相差不大,当边数无大限时,他们相等；5、P298 罗素悖论的说明及其对数学进展的意义；以 M表示其自身成员的集合（如一切概念的集合是一个概念）的集合,N表 示不是其自身成员的集合（如所以人的集合不是一个人）的集合；意义：1）形成第一个集合论的公理系统,达到了防止罗素悖论的目的；2）为了进一步解决集合悖论,导致关于数学基础的三高校派的形成,即规律主 义,直觉主义和形成主义；3）罗素的悖论打破了人们对集合论相容性得以证明的期望,引起了关于数学基 础的争论,对数学基础的更深化探讨及由此及彼引起的数理规律的进展,是 20 世纪纯粹数学的又一重要趋势；六、分析题 ：1、哈密顿四元数及其意义；哈 密 顿 四 元 数 形 如 ： a+bi+cj+dk,其 中 , a,b,c,d为 实 数 , i,j,k满 足 于ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j.i,j,k的平方和为 -1. 意义 : 四元数也是历史上第一次构造的不满意乘法交换律的数系,它本身虽无广 泛的使用,但它对近代数学的进展来说是革命性的,从今,数学家们可以更加 自由地构造新的数系, 通过减弱,舍弃或替换一般代数中的不同定律和公理（如 交换律,结合律等）就为众多代数系统的争论开创了道路；2、哥尼斯堡七桥问题及欧拉的解决方法；欧拉解决七桥问题时,依据陆地,桥和人走过的关系特点运用,学的方法,巧 妙的构造了一个网络图,把七桥问题归为网络图的一笔画问题,经过求解,欧 拉证明白该图一笔画成是不行能的,并且得出重要结论：任何一笔图形或者没 有奇点,或者只有两个奇点,没有奇点的不仅能一笔画成,而且能回到起点；所以人不能一次连续重复地走完七座桥；3、举例说明费马是如何解决函数极值问题的,其方法相当于现今的 什么数学方法；费马是这样解答的：设线段长为B,一部分为 A,就另一部分为B-A,就矩形面积 S1=A*B-A*A,用 A+E代替 A,另一部分为 B-A-E,得新矩形面积 S2=A+EB-A-E,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思如 E很少时, S1=S2,即,A*B-A*A=A+EB-A-E 故, BE-2AE-E*E=0,约去 E,得 B=2A+E,令 E=0,可得, B=2A,即正方形面积最大；他的方法相当于现在用导数求函数极值的方法；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页