2022年新课标高中数学基础知识宝典.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 新课标高中数学基础学问宝典在备考的过程中,熟知这些解题的小结论,防止解题易误点的产生,对提升数学成果将会起到很大的作用；请同学们每次考试前不妨一试,成果可以提高 5 10 分哦！第一部分 集合1. 懂得集合中元素的意义 是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？仍是因变量的取值？仍是曲线上的点？2 . 数形结合 是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决3. 1 元素与集合的关系：x A x C A , x C A x A. （2）德摩根公式：C U A B C A C B C U A B C A C B . （3） A B A A B B A B C B C A A C B C A B R留意：争论的时候不要遗忘了 A 的情形 . （4）集合 a a 2 , , a n 的子集个数共有 2 n个；真子集有 2 n 1 个；非空子集有 2 n 1 个；非空真子集有 2 n 2 个. 4是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 . 其次部分 函数1映射： 留意 : 第一个集合中的元素必需有象；一对一或多对一 . 2函数值域的求法：分析法；配方法；判别式法；利用函数单调性；换元法；2 2利用均值不等式 ab a b a b； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、2 2x肯定值的意义等） ；利用函数有界性（a 、sin x、cos 等）；平方法； 导数法3复合函数的有关问题 : （1）复合函数定义域求法：如 fx 的定义域为 a,b , 就复合函数 fgx 的定义域由不等式 a gx b 解出如 fgx 的定义域为 a,b, 求 fx 的定义域,相当于 xa,b 时,求 gx 的值域 . （2）复合函数单调性的判定：第一将原函数yfgx分解为基本函数：内函数ugx与外函数yfu分别争论内、外函数在各自定义域内的单调性依据“ 同性就增,异性就减” 来判定原函数在其定义域内的单调性 . 4分段函数： 值域（最值） 、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论；5函数的奇偶性: xfx. 第 1 页,共 12 页函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件fx是奇函数fxfx；fx是偶函数f奇函数fx 在 0 处有定义,就f00名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性如所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判定其奇偶性6函数的单调性 : 单调性的定义：fx在区间 M 上是增函数x 1,x2M, 当x 1fx2时有f x 1f x 2；, 当fx在区间 M 上是减函数x 1,x2Mx 1x2时有f x 1f x 2；x 1单调性的判定：定义法： 一般要将式子fx 2化为几个因式作积或作商的形式,以利于判定符号；复合函数法图像法注：证明单调性主要用定义法；7函数的周期性：1 周期性的定义：对定义域内的任意x ,如有fxTfx（其中 T 为非零常数）,就称函数fx 为周期函数, T 为它的一个周期；全部正周期中最小的称为函数的最小正周期；如没有特殊说明,遇到的周期都指最小正周期；（2）三角函数的周期：yyAsinx:T2T；ycosx:T2x:；y|tanx:T；yAsinx,2Tcosx:；ytan|3 与周期有关的结论：fxafxa或fx2afxa0fx的周期为2a8基本初等函数的图像与性质：. 指数函数：yaxa0 ,a1 ；对数函数 :ylogax a,0a1 ；幂函数：yx（R ；正弦函数 :ysinx；余弦函数：ycosx；（6）正切函数：ytanx；一元二次函数：ax2bxc0（ a 0）；其它常用函数：正比例函数：ykx k0；反比例函数：ykk0；函数yxaa0 xx. 分数指数幂：amnam；am1（以上ann0,m nN ,且n1） . manlogaMlogaN；. abNlogaNb；logaMNlogaMlogaMlogaN； loga mbnnlogab. Nm. 对数的换底公式:logaNlogmN. 对数恒等式 :alog a NN . logma9二次函数：解析式：一般式：fx ax2bxc；顶点式：fxa xh 2k,h,k为顶点；零点式：faxx 1xx x2（a 0）. 二次函数问题解决需考虑的因素：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号；二次函数yax2bxc的图象的对称轴方程是xb,顶点坐标是b,4 ac4ab2；2 a2 a10函数图象：图象作法：描点法（特殊留意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换：平移变换： yfx yfxa,a0左“+” 右“ ” ；yfxyfx k,k0上“+” 下“ ” ；对称变换： yfx0,0yf x； yfxy0yfx； yf x x0yf x ； yfxyxxf y ；翻折变换：yfxyf|x|（去左翻右）y 轴右不动,右向左翻（fx在 y 左侧图象去掉） ；yfxy|fx|（留上翻下）x 轴上不动,下向上翻（|fx| 在 x 下面无图象） ；12函数零点的求法：直接法（求fx0的根）；图象法；二分法. y x；4 零点定理：如y=fx在a,b上满意 fa ·fb<0 , 就 y=fx在（ a,b 内至少有一个零点；第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形1角度制与弧度制的互化：弧度180 ,1180弧度, 1弧度1805718'弧长公式：lR；扇形面积公式：S1lR1R2；222三角函数定义: 角终边上任一点（非原点）Px,y, 设|OP |r就：siny,cosx,tanrr3三角函数符号规律：一全正,二正弦,三正切,四余弦；（简记为“ 全s t c” ）4诱导公式记忆规律：“ 奇变偶不变,符号看象限”5yAsinx对称轴：令xk2,得x;对称中心：k0, kZ；yAcos x对称轴：令xk,得xk；对称中心：k20, kZ周期公式 : 函数yAsinx及yAcosx的周期T2 A 、 、为常数,且 A 0. 函数yAtanx的周期 T A 、 、为常数,且A 0. 6同角三角函数的基本关系：sin2xcos2x;1sinxtanxcosx7三角函数的单调区间及对称性：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - ysinx 的单调递增区间为2 k2,2kk2kZ, 单调递减区间为k,0kkZZ. 2k2,2k3kZ,对称轴为xk2kZ, 对称中心为2Z , 单调递减区间为2 k,2kkZ ,ycosx 的单调递增区间为2 k,2k对称轴为xkkZ, 对称中心为k2,0kZ . , 0. kZ,对称中心为kytanx 的单调递增区间为k2,k228两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin sin cos cos sin； cos cos cos sin sin；tan tantan . 1 tan tan2 2 2 2 sin sin sin sin；cos cos cos sin . a sin b cos = a 2b 2 sin 其中 , 帮助角 所在象限由点 , a b 所在的象限打算 , tan b .a29二倍角公式： sin 2 2 sin cos . sin cos 1 2sin cos 1 sin2 cos 2 cos 2sin 22cos 21 1 2sin 2（升幂公式） . 2 1 cos2 2 1 cos2cos ,sin（降幂公式） . 2 210正、余弦定理：正弦定理：aAbBcC2R（2R是ABC 外接圆直径）第 4 页,共 12 页sinsinsin注：a:b:csinA:sinB:sinC；a2RsinA ,b2 RsinB,c2RsinC；aAbBcCsinAabBcsinC；sinsinsinsin余弦定理：a2b2c22bccosA等三个；cosAb2c2a2等三个；2 bc11. 几个公式 : 三角形面积公式：S1aha1bhb1ch （h a、h b、h c分别表示 a、b、c 边上的高）；222S1absinC1bcsinA1casinB . SOAB1|OA| |OB|2OA OB22222内切圆半径r=2SABCc； 外接圆直径2R=abc;sin Asin Bsin Cab名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第七部分平面对量2,其中 Ax y 1,Bx 2,y 2. 1. 平面上两点间的距离公式:dA Bx2x 12y2y 12. 向量的平行与垂直：设 a =x 1,y 1, b =x 2,y 2,且 b0,就： a bb = ax y2x y 10； ab a0a·b=0x x 2y y 20. 3. a· b=| a| b|cos< a,b >= x 1x 2+y1y2；注：| a|cos< a,b >叫做 a 在 b 方向上的投影；| b|cos< a,b >叫做 b 在 a 方向上的投影；a· b 的几何意义： a· b 等于 | a| 与| b| 在 a 方向上的投影 | b|cos< a,b >的乘积；4. cos<a,b >=|ab|；P,A, B 三点共线OPxOAyOB且xy1；a|b5. 三点共线的充要条件：第八部分数列1定义：1 等差数列ana n1andd 为常数,nN）ana n1d n2 2 anan1a n1n2 ,nN*a nknbS nAn2Bna n等比数列an1q q0 an2aan1n2,nNn-1a n2等差、等比数列性质：通项公式等差数列nn1 d等比数列n1n第 5 页,共 12 页ana 1n1dana 1q前 n 项和S nn a 12anna1.1q1 时,Snna1;q.2q1 时,Sna112性质1qa1anq1qan=am+ n md, an=amqn-m; 名师归纳总结 m+n=p+q时 am+an=ap+aq m+n=p+q时 aman=apaq - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S k,S 2km,S k,S 3kS 2k,成 AP S k,S 2km,S k,S 3kS 2k,成 GP ,d'mdq'qmakaka k2m,成 AP,ak,a kak2m,成 GP,3常见数列通项的求法：定义法（利用AP,GP的定义）；累加法（an1a ncn型）；公式法：an= S1n=1累乘法（an1cn型）；待定系数法（an 1ka nb型）转化为an1SnSn-1 k a n x n2 xan（6）间接法（例如：an1an4 anan1114）；（7）（理科） 数学归纳法；a nan14前 n 项和的求法： 分组求和法；错位相减法；裂项法；5等差数列前n 项和最值的求法：, 对应的S 最大值an100或S n最小值an100；利用二次函数的图象与性质；anan第九部分不等式1均值不等式：aba2ba22b2 a ,b0 留意：一正二定三相等；变形：aba2b2a22b2a,bR ；2极值定理： 已知x,y都是正数,就有：1 假如积 xy 是定值 p ,那么当xy时和xy有最小值2p；2 假如和xy是定值 s,那么当xy时积 xy 有最大值1 s . 43. 解一元二次不等式ax2bxc0 或0: 如a0, 就对于解集不是全集或空集时解集为“ 大两边,小中间”. 如: 当x 1x 2,xx 1xx20x 1xx 2；xx 1xx 20xx2或xx 1. 4. 含有肯定值的不等式：当a0时,有：xa2 xa2axa；xax2a2xa 或 xa . 5*. 分式不等式：（1）fx0fxxgxx0；（2）fx0fxxgx0；gxgx（3）fx0fg0（4）fx0fgx0. gx0gx0gxgx6*. 指数不等式与对数不等式 1 当a1时 ,af ag x f x g x ；logaf x logag x f x 0. 第 6 页,共 12 页g x 0名师归纳总结 f x g x - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 当 0a1时,afxg x af x g x ；logaf x logag x f x 0g x 0f x g x 3不等式的性质：abba；ab,bncbnac；abacbnc；abb,cdd0acbd；ab,c0acbd；ab,c00acbc；ab,0c; abacbd ; ab0a0 nNannN第十一部分概率1大事的关系：大事 B 包含大事 A：大事 A 发生,大事 B 肯定发生,记作 A B；大事 A 与大事 B 相等：如 A B , B A,就大事 A 与 B相等,记作 A=B；并（和）大事：某大事发生,当且仅当大事 A 发生或 B 发生,记作 A B（或 A B）；并（积）大事：某大事发生,当且仅当大事 A 发生且 B 发生,记作 A B（或 AB ）；大事 A 与大事 B 互斥：如 A B 为不行能大事（A B）,就大事 A 与互斥；对立大事：A B 为不行能大事,A B 为必定大事,就 A与 B 互为对立大事；2概率公式：古典概型：PA A包含的基本领件的个数；等）；基本领件的总数几何概型：PA 构成大事 A的区域长度（面积或体积等）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积第十二部分统计与统计案例1抽样方法：简洁随机抽样：一般地,设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简洁随机抽样；注：每个个体被抽到的概率为n ；N常用的简洁随机抽样方法有：抽签法；随机数表法；系统抽样：当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后依据预先制定的规章,从 每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样；注：步骤：编号；分段；在第一段采纳简洁随机抽样方法确定起始的个体编号；按预 先制定的规章抽取样本；分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情形,将总体分成几部分,然后依据各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数nN注: 以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等2频率分布直方图与茎叶图：用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图；当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即其次个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边像植物茎上长出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图；3总体特点数的估量：样本平均数2x11x 1x22x2xn1in1x i；x 21inx ix 2；样本方差Snnx 1x2x2x nnn样本标准差S1 nx 1xx2x2x n12x2=1inx ixn1第十三部分算法初步1程序框图：图形符号：终端框（起止框）；输入、输出框； 处理框（执行框） ； 判定框； 流程线；程序框图分类 : 次序结构：条件结构：循环结构： r =0. 否 求 n 除以 i 的余数输入 n 是 n 不是质数 n 是质数 i=i+1 i=2 i n 或 r=0. 否是名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 注：循环结构分为：当型（while 型） 先判定条件,再执行循环体；2基本算法语句：直到型（ until 型）先执行一次循环体,再判定条件；输入语句INPUT “ 提示内容” ；变量；输出语句： PRINT “ 提示内容” ；表达式赋值语句：变量 =表达式条件语句： IF 条件 THEN 条件 THEN IF语句体语句体 1 END IF ELSE 语句体 2 END IF 循环语句：当型：直到型 : WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件新课标数学部分公式及结论2. 从集合Aa 1,a 2,a 3,a n到集合Bb 1,b 2,b 3,b m的映射有n m 个. 3. 函数的的单调性：1 设x 1,x 2a ,b,x 1x 2那么fx在a,b上是增函数；0,第 9 页,共 12 页x 1x 2f x 1f x 20fx 1fx20x 1x2x 1x 2f x 1f x 20fx 1fx20fx在a,b上是减函数 . x 1x 22 设函数yfx 在某个区间内可导,假如fx0,就fx为增函数；假如fx 就fx为减函数 . f axf2axf x ；,4*. 函数yf x 的图象的对称性: yf x 的图象关于直线xa 对称f axyf x 的图象关于直线xa2b对称f ax f b x f a b x f x ；2axfaxfax0yf x 的图象关于点 ,0对称fxfyf x 的图象关于点 , a b 对称fx2 bf2 axfaxfax2 b. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6奇偶函数的图象特点：奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来,假如一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数；假如一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数n n 17多项式函数 P x a x a n 1 x a 的奇偶性：多项式函数 P x 是奇函数 P x 的偶次项 即奇数项 的系数全为零 . 多项式函数 P x 是偶函数 P x 的奇次项 即偶数项 的系数全为零 . 8. 如将函数 y f x 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y f x a b 的图象；9. 几个常见的函数方程： 1 正比例函数 f x cx , f x y f x f y , f 1 c . 2 指数函数 f x a , xf x y f x f , f 1 a 0 . 3 对数函数 f x log a x, f xy f x f , f a 1 a 0, a 1 . 4 幂函数 f x x , f xy f x f y , f ' 1 . 5 余弦函数 f x cos x , 正弦函数 g x sin x ,f x y f x f y g x g y ,f0=1. 10*. 几个函数方程的周期 商定 a>0 （1）f x f x a ,就 f x 的周期 T=a；（2）f x a f x ,或 f x a 1 f x 0 ,或 f x a 1 0 , f x f x 就 f x 的周期 T=2a；11. 等差数列 a n 的通项公式 : an a 1 n 1 d , 或 a n a m n m d d a n a m. n m前 n 项和公式 : s n n a 1 a n na 1 n n 1d d n 2 a 1 1d n . 2 2 2 212. 设数列 a n 是等差数列,S 奇 是奇数项的和,S 偶 是偶数项的和,S 是前 n 项的和,就前 n 项的和 Sn S 奇 S 偶；当 n 为偶数时,S 偶 S奇 n d,其中 d 为公差；2当 n 为奇数时,就 S 奇 S 偶 a 中,S 奇 n 1 a 中,S 偶 n 1 a 中,S 奇 n 1,2 2 S 偶 n 1Sn S 奇 S 偶n（其中 a 是等差数列的中间一项）S 奇 S 偶 S 奇 S 偶13. 如等差数列 a n 和 b n 的前 2n 1 项的和分别为 S 2n 1 和 T 2n 1,就 a n S 2 n 1. b n T 2 n 114. 数列 a n 是等比数列,S 是其前 n 项的和,n k N *,那么（S2 k S k）2 = S ·k S 3 k S 2 k . 15. 分期付款 按揭贷款 ：每次仍款xab 1b n元 贷款 a 元, n 次仍清 , 每期利率为 b . 第 10 页,共 12 页1b n1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16. 裂项法：n111n11；2 n12nn1.111.211；nn122 nna1ba1bab；n11n1. n.117* 常见三角不等式: tanx . 2. （1）如x0,2,就sinxxcosx2 如x0,2,就 1sinx3 | sinx| cosx| 1. 18. 正弦、余弦的诱导公式：ncosn2n. sinn 1 sins,n 为偶数； 12cos,n 为偶数. n1,n 为奇数n122 12co 12sin,n 为奇数即: “ 奇变偶不变 , 符号看象限”. 如cos2tansin,coscos. 19*. 万能公式 :sin 212tan2；cos2tan 212 tan