2022年数学分析教案第二十章曲线积分.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次十章 曲线积分教学目的 ：1.懂得第一、二型曲线积分的有关概念；运算方法,同时明确它们的联系；2.把握两种类型曲线积分的教学重点难点 ：本章的重点是曲线积分的概念、运算；难点是曲线积分的运算；教学时数 ：10 学时一. § 1 第一型曲线积分,.第一型线积分的定义 : 1.几何体的质量 : 已知密度函数, 分析线段的质量2.曲线的质量 : 3.第一型线积分的定义 : 定义及记法 . 线积分4.第一型线积分的性质 : P198 名师归纳总结 二. 第一型线积分的运算 : 回忆“ 光滑曲线” 概念 . 是定第 1 页,共 6 页1.第一型曲线积分的运算 : Th20.1 设有光滑曲线, 义在上的连续函数 . 就. 证 P199 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如曲线方程为: 学习必备欢迎下载, 就. 的方程为设时有类似的公式 . , . 的一段 . 运算例 1 是半圆周例 2 设. P200 例 1 到点是曲线上从点第一型曲线积分 . P200 例 2空间曲线 上的第一型曲线积分 : 设空间曲线上的连续函数,. 函数连续可导 , 就对, 有. 例 3运算积分, , 其中是球面 留意被平面解由对称性知截得的圆周 . P201 例 3 是大圆 , =. § 2 其次型曲线积分名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一.学习必备欢迎下载其次型曲线积分的定义 : 1. 力场 沿平面曲线 从点 A 到点 B 所作的功 : 先用微元法 , 再用定义积分的方法争论这一问题 , 得, 即 . 2. 稳流场通过曲线 从一侧到另一侧 的流量 : 说明稳流场 . 以磁场为例 . 设有流速场 . 求在单位时间内通过曲线 AB 从左侧到右侧的流量 E . 设曲线 AB 上点 处的切向量为 , 是切向量方向与 X 轴正向的夹角 . 切向量方向按如下方法确定 : 法线方向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法就确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 就食指所指为切线方向 . . 在弧段上的流量. , 因此 , . 由 , 得. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载于是通过曲线 AB 从左侧到右侧的总流量 E 为. 3. 其次型曲线积分的定义 : 闭路积分的记法 . 按这肯定义, 有力场沿平面曲线从点 A 到点 B 所作的功为. 流速场在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量 E 为 . 其次型曲线积分的鲜明特点是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有,因此,定积分是其次型曲线积分中当曲线为 X 轴上的线段时的特例 . 可类似地考虑空间力场 沿空间曲线 AB 所作的功 . 导出空间曲线上的其次型曲线积分.4. 其次型曲线积分的性质 : 其次型曲线积分可概括地懂得为向量值函数的积存问题 . 与我们以前争论过的积分相比 , 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积存问题是一样的, 仍是用 Riemma 的思想建立的积分 . 因此 , 其次型曲线积分具有 R 积分的共性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但其次型曲线积分一般不具有关名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 于函数的单调性学习必备欢迎下载, 另一方面对量值, 这是由于一方面对量值函数不能比较大小函数在小弧段上的积分仍与弧段方向与向量方向之间的夹角有关 .二. 其次型曲线积分的运算 : 曲线的自然方向 : 设曲线 L 由参数式给出 . 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向 .A设 L 为光滑或按段光滑曲线, L : 和. 就沿 L, B; 函数在 L 上连续 , 的自然方向 即从点 A 到点 B 的方向 有. 证略 例 1 运算积分 , L 的两个端点为 A 1, 1 , B 2 , 3 . 积分从点 A 到点 B 或闭合 , 路径为> 直线段 AB> 抛物线 ; > A 1, 1 D 2 , 1 B 2 , 3 A 1, 1 , 折线闭合路径 . P205 例 1 例 2 运算积分 , 这里 L : > 沿抛物线 从点 O 0 , 0 到点 B 1 , 2 ; 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - > 沿直线学习必备欢迎下载从点 O 0 , 0 到点 B 1 , 2 ; > 沿折线闭合路径 O0,0 A1,0 B1,2 O0,0. P205 例 1 例 3 运算其次型曲线积分 I = , 其中 L 是螺旋线 , 从 到 的一段 . P207 例 3 例 4 求在力场 作用下 ,> 质点由点 A 沿螺旋线到点 B 所作的功 , 其中L : , . > 质点由点 A 沿直线 L 到点 B 所作的功 P207 例 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
