2022年数学分析习题及教案.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数学分析复习资料（11021102班专用）一、单项挑选题（每道题 3 分,3× 618 分）1、 以下级数中条件收敛的是（）n n nA 1 nB 1C 12 D1 1 n 1 n 1 n n 1 n n 1 n2、 如 f 是 , 内以 2 为周期的按段光滑的函数 , 就 f 的傅里叶（ Fourier）级数在它的间断点 x 处 （）A 收敛于 f x B收敛于1 f x 0 f x 02C 发散 D可能收敛也可能发散3、函数 f x 在 a , b 上可积的必要条件是（）A 有界 B连续 C单调 D存在原函数D4、设f x 的一个原函数为ln x ,就f （ ）DexA1BxlnxC1xx25、已知反常积分01dx2 k0收敛于 1,就 k（）2kx2A 2B2C2D46、lnxlnx 2lnx3n 11lnxn收敛,就（x为 任 意 实 数A xeB xeC e1xe二、填空题（每道题3 分, 3× 6 18 分）1、已知幂级数a xn在x2处条件收敛,就它的收敛半径为名师归纳总结 n1第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、如数项级数n1un学习必备欢迎下载,就其通项u n,和的第 n 个部分和S n2 nn1S3、曲线y1与直线x1,x2及 x 轴所围成的曲边梯形面积为x4、已知由定积分的换元积分法可得,1x xe f e dxbf x dx,就 a,0ab5、数集n 1nn1n1, 2 , 3,的聚点为6、函数f x x e2的麦克劳林 （Maclaurin ）绽开式为1、xdxx2、x2 lnx dx 13、aa2x2dx a04、lim x 0xcos2t dt 0 0sinx5、 021sin 2x dx四、解答题（第1 小题 6 分,第 2、3 小题各 8 分,共 22 分）1、争论函数项级数n1sinnx在区间 , 上的一样收敛性n22、求幂级数n1xn的收敛域以及收敛区间内的和函数n3、设f x x , 将 f 在 , 上展为傅里叶（Fourier ）级数五、证明题（每道题6 分, 6× 2 12 分）1、已知级数a 与c 都收敛,且anb nc n, n1, 2, 3,n1n1名师归纳总结 证明：级数b也收敛x dx第 2 页,共 6 页n1 2 、证明：2n sinx dx 02n cos 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载答案名师归纳总结 n0一、x单项挑选题（每道题3 分, 3× 618 分）第 3 页,共 6 页二、 B B A C D D 填空题（每道题3 分, 3× 618 分）1x2n,2un2, 1S= 2l n 2n na1,be1,n.三、运算题（每道题6 分, 6× 530 分）1.解2.111x1x x1x1xdxx 1111xdxxlnxln 1xC .解由分部积分公式得2 xlnxdx1ln3 xdx13 xlnx13 x dlnx33313 xlnx1x3 x1dx1x3lnx12 x dx3.3 13 1x333 xlnx3C39解令xasin , t t0,2由定积分的换元积分公式,得aa22 x dxa22 0costdta201cos2 t dt02a2t1sin 2 2a2.4.0422解由洛必达 LHospital 法就得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lim x 0x学习必备欢迎下载xlimcos x 0x1cos2tdtlim x 0cos20sinxcosx5.x解x2 cos x dx21 sin2xdx2sin0sin00cosxdx四、04cosxsin x dx2sinxcos x dx4sinxcos 4sinxcos 22 22.04解答题（第1 小题 6 分,第 2、3 小题各 8 分,共 22 分）1.解x,+ ,n（正整数）sinnx1n22 n而级数n11收敛,故由M 判别法知,n2n1sinnx在区间 , 上一样收敛n22.解幂级数n1xn的收敛半径Rlim n111,nnn收敛区间为 1,1易知n x在x1处收敛,而在x1发散,nn1故n1xn的收敛域为 1,1n1xn,x 1, 11xn0逐项求积分可得名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - x11tdtn0x学习必备欢迎下载n t dt,x 1,1003.即ln1xn0xn1n1n x,x 1,1.n1n解 函数 f 及其周期延拓后的图形如下函数 f 明显是按段光滑的,故由收敛性定理知它可以绽开为 Fourier 级数；由于 f x 在 , 为奇函数,故 a n 0, n 0, 1, 2, ,而b n1xsinnxdx1cosnxdx1xcosnxnnn 112n五、所以在区间 , 上,f x x2n 11sinnx.nn1证明题（每道题5 分, 5× 210 分）1.证明由a 与c 都收敛知,级数c na n也收敛；n1n1n1又由a nbncn, n1, 2, 3,可知,0b na nc nan,n1,2,3,从而由正项级数的比较判别法知名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - n1b nan收敛,学习必备欢迎下载2.于是由b nb na na n,n1,2,3,t dtn costdt知级数b收敛n1证明令x2t ,就t2x. 由定积分的换元积分公式,得2sinnxdx0n sin 2022n sin 2t dt2000cos n xdx（由于总结的定理和答案要打出来太长,总共有七八十页,要打出来的话有点太多,得不名师归纳总结 偿失,所以大家仍是多看看书吧,顺便做两套题,大家加油哦！）第 6 页,共 6 页- - - - - - -
