2022年数学优秀教案：平面与空间直线.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理 仅供参考学习第七章 直线、平面、简洁几何体考试内容：9（A） 平面及其基本性质平面图形直观图地画法平行直线对应边分别平行地角异面直线所成地角异面直线地公垂线异面直线地 距离直线和平面平行地判定与性质直线和平面垂直地判定与性质点到平面地距离斜线 在平面上地射影直线和平面所成地角三垂线定理及其逆定理平行平面地判定与性质平行平面间地距离二面角及其平面角两个平面垂直地判定 与性质多面体正多面体棱柱棱锥球9（B） 平面及其基本性质平面图形直观图地画法平行直线直线和平面平行地判定与性质直线和平面垂直地判定三垂线定理及其逆定理两个平面位置置关系空间向量及其加法、减法与数乘空间向量地坐标表示空间向量地数量积直线地方向向量异面直线所成地角异面直线地公垂线异面直线地距离直线和平面垂直地性质平面地法向量点到平面地距离直线和平面所成地角向量 在平面内地射影平行平面地判定和性质平行平面间地距离二面角及其平面角两个平面垂直地判定 和性质多面体正多面体棱柱棱锥球考试要求9（A） （1）把握平面地基本性质,会用斜二测地画法画水平放置地平面图形地直观 图能够画出空间两条直线、直线和平面地各种位置关系地图形能够依据图形想像它们地 位置关系（2）把握两条直线平行与垂直地判定定理和性质定量把握两条直线所成地角和距离 地概念,对于异面直线地距离,只要求会运算已给出公垂线时地距离（3）把握直线和平面平行地判定定理和性质定理把握直线和平面垂直地判定定理和 性质定理把握斜线在平面上地射影、直线和平面所成地角、直线和平面地距离地概念掌 握三垂线定理及其逆定理（4）把握两个平面平行地判定定理和性质定理把握二面角、二面角地平面角、两个 平行平面间地距离地概念把握两个平面垂直地判定定理和性质定理（5）会用反证法证明简洁地问题（6）明白多面体、凸多面体地概念,明白正多面体地概念（7）明白棱柱地概念,把握棱柱地性质,会画直棱柱地直观图（8）明白棱锥地概念,把握正棱锥地性质,会画正棱锥地直观图（9）明白球地概念,把握球地性质,把握球地表面积、体积公式9（B） （1）把握平面地基本性质,会用斜二测地画法画水平放置地平面图形地直 观图；能够画出空间两条直线、直线和平面地各种位置关系地图形,能够依据图形想像它们 位置置关系（2）把握直线和平面平行地判定定理和性质定理；懂得直线和平面垂直地概念,把握 直线和平面垂直地判定定理；把握三垂线定理及其逆定理1 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理 仅供参考学习（3）懂得空间向量地概念,把握空间向量地加法、减法和数乘（4）明白空间向量地基本定理；懂得空间向量坐标地概念,把握空间向量地坐标运 算（5）把握空间向量地数量积地定义及其性质；把握用直角坐标运算空间向量数量积地 公式；把握空间两点间距离公式（6）懂得直线地方向向量、平面地法向量、向量在平面内地射影等概念（7）把握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成地角、距离地概念对于异面直 线地距离,只要求会运算已给出公垂线或在坐标表示下地距离把握直线和平面垂直地性质 定理把握两个平面平行、垂直地判定定理和性质定理（8）明白多面体、凸多面体地概念,明白正多面体地概念（9）明白棱柱地概念,把握棱柱地性质,会画直棱柱地直观图（10）明白棱锥地概念,把握正棱锥地性质,会画正棱锥地直观图（11）明白球地概念,把握球地性质,把握球地表面积、体积公式平面与空间直线一.学问回忆 : 一平面：1、平面地两个特点 ：无限延展平地（没有厚度）2、平面地画法 ：通常画平行四边形来表示平面3、平面地表示 ：（1）用一个小写地希腊字母、等表示,如平面、平面；（2）用表示平行四边形地两个相对顶点地字母表示,如平面AC 二三公理三推论 : 公理 1：如一条直线上有两个点在一个平面内,就该直线上全部地点都在这个平面内 . A l ,B l ,A ,B l公理 2：假如两个平面有一个公共点,那么它们仍有其他公共点,且全部这些公共点地集合是一条过这个公共点地直线 .公理 3:经过不在同始终线上地三点,有且只有一个平面 .推论一 :经过一条直线和这条直线外地一点,有且只有一个平面 . 推论二 :经过两条相交直线 ,有且只有一个平面 . 推论三 :经过两条平行直线 ,有且只有一个平面 . 三 空间直线 : 1. 空间两条直线位置置关系：（1）相交直线有且仅有一个公共点；（2）平行直线在同一平面内,没有公共点；（3）异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点. 相交直线和平行直线也称为共面直线异面直线地画法常用地有以下三种：b b baaa2 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理 仅供参考学习2. 平行直线：在平面几何中,平行于同一条直线地两条直线相互平行,这个结论在空间也 是成立地 .即公理 4：平行于同一条直线地两条直线相互平行 3. 等角定理. 等角定理：假如一个角地两边和另一个角地两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等推论：假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成 地锐角（或直角）相等4异面直线定理： 连结平面内一点与平面外一点地直线,和这个平面内不经过此 点地直线是异面直线推理模式：A,B,a,BaAB 与 a 是异面直线二基本训练：1 A、 B 、 C 表示不同地点,不正确地是a 、 l 表示不同地直线,、表示不同地平面,以下推理（）A Al,A,Bl,BlBA,A,B,BAB直线Cl,AlA且A ,B ,C不共线与重合DA ,B,C,A ,B,C选 C2一个水平放置地平面图形地斜二测直观图是一个底角为45 ,腰和上底边均为1 地等腰梯形,就这个平面图形地面积是（）A 12B12C12D22222选 D3对于空间三条直线,有以下四个条件：三条直线两两相交且不共点；三条直线两两平行；三条直线共点；有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交其中,使三条直线共面地充分条件有（）A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个选 B 4空间内五个点中地任意三点都不共线,由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥,就这五个点最多可以确定个平面答案： 7 个三例题分析：例 1如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB CD ,直线 AB,BC,AD, DC 分别与平面 相交于点 E,G,H,F求证： E,F,G,H 四点必定共线A 解： AB CD,B DAB,CD 确定一个平面 C H E F3 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又 ABE,AB个人收集整理仅供参考学习, E, E,即 E 为平面 与地一个公共点同理可证 F,G,H 均为平面 与地公共点两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点地公共直线,E,F, G, H 四点必定共线说明：在立体几何地问题中,证明如干点共线时,常运用公理 平面地公共点,而后得出这些点都在二平面地交线上地结论例 2已知： a,b,c,d 是不共点且两两相交地四条直线,求证：2,即先证明这些点都是某二a, b,c,d 共面证明 1o如当四条直线中有三条相交于一点,不妨设a, b,c 相交于一点A,Gd c但 Ad,如图 1Ab直线 d 和 A 确定一个平面 a EF又设直线 d 与 a, b,c 分别相交于E,F,G,图 1 就 A,E,F,GA,E ,A,Ea, aaHKd c同理可证 b,c图 2ba, b,c,d 在同一平面 内2 o 当四条直线中任何三条都不共点时,如图 2这四条直线两两相交,就设相交直线 a,b 确定一个平面 设直线 c 与 a,b 分别交于点 H,K,就 H, K又 H,Kc, c 同理可证 d a, b,c,d 四条直线在同一平面 内说明：证明如干条线 或如干个点 共面地一般步骤是：第一依据公理 3 或推论,由题给条件中地部分线 或点 确定一个平面,然后再依据公理1 证明其余地线 或点 均在这个平面内本题最简洁忽视“ 三线共点” 这一种情形因此,在分析题意时,应认真推敲问题中每一句话 地含义4 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3已知不共面地三条直线个人收集整理仅供参考学习a,Ba,Cb,Dc,求a 、 b 、 c 相交于点 P ,A证： AD 与 BC 是异面直线证一：（反证法）假设 AD 和 BC 共面,所确定地平面为 ,那么点 P、A、B、C、D 都在平面 内,直线 a、b、c 都在平面 内,与已知条件 a、b、c 不共面冲突,假设不成立,AD 和 BC 是异面直线 . 证二：（直接证法）ac=P,它们确定一个平面,设为 ,由已知C平面 , B平面 , AD平面 , BAD, AD 和 BC 是异面直线 .1以下四个命题：四、作业 同步练习 平面与空间直线（1）分别在两个平面内地两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直地直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交地两条直线必异面（4）如 a 与 b 是异面直线, b 与 c 是异面直线,就a 与 c 也异面P 为上底面其中真命题个数为（）A 3 B 2 C 1 D 0 2在正方体ABCDA'B'C'D'中, M 、 N 分别是棱' AA 和 AB 地中点,ABCD 地中心,就直线PB 与 MN 所成地角为（）A 300 B 450 C 600 D3AB 、CD 在平面 内, AB/CD ,且 AB 与 CD 相距 28 厘米, EF 在平面 外, EF/AB ,且EF 与 AB 相距 17 厘米, EF 与平面 相距 15 厘米,就 EF 与 CD 地距离为（） A 25 厘米 B 39 厘米 C 25 或 39 厘米 D 15 厘米4已知直线 a,假如直线 b 同时满意条件： a、b 异面 a、b 所成地角为定值 a、b 间地距离为定值,就这样地直线 b 有（） A 1 条 B 2 条 C 4 条 D 很多条5已知异面直线 a 与 b 所成地角为 50 0,P 为空间一点,就过点 P 与 a、b 所成地角都是 300地直线有且仅有（） A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条6在正三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中,如 AB 2BB 1,就 AB 与 C1 B 所成地角地大小7在棱长为 a 地正四周体中,相对两条棱间地距离为_8两条异面直线 a 、 b 间地距离是 1cm,它们所成地角为 60 0, a 、 b 上各有一点 A 、B,距公垂线地垂足都是 10cm,就 A 、 B 两点间地距离为 _5 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9 在 三 棱 台A 1B 1C1ABC个人收集整理仅供参考学习ABCAA 1C2,中 , 侧 棱BB 底 面 ABC , 且AB2A 1B 12 cm、之间, AB 与所成角为（1）求证：BCA 1B,BCA 1A,A 1AA 1B（2）求异面直线A1A和 BC 地距离10 一条长为2 cm地线段 AB 夹在相互垂直地两个平面0 45 ,与所成角为0 30 ,且l ,ACl,BDl, C 、 D 是垂足,求（1）CD 地长；（ 2） AB 与 CD 所成地角参考答案DACDB 9002a101 cm 或301 cm29、（ 1）略证,先证 BC平面 AA 1B1B,即得 BCA 1B,BCA 1A,又 A 1AA 1C（已知）,由三垂线定理地逆定理 可知, A 1AA 1B （2）略解,由（ 1）知, A 1AA 1B,A 1BBC,A 1B 就是 A1A 和 BC 地公垂线段 .但 AA 1B BB 1A 1,A 1BAB,又 AB=2cm,B 1A 1BA 16 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理 仅供参考学习10、解：（ 1）连 BC、AD ,可证 AC , BD , ABC=30 0,BAD=450,Rt ACB 中, BC=AB ·cos30 0= 3,在 Rt ADB 中, BD=AB · sin450= 2在 Rt BCD 中 , 可 求 出 CD=1cm （ 也 可 由 AB2=AC 2+BD 2+CD 2-2AC·BD·cos90 0 求得）（ 2）作 BE/l,CE/BD,BECE,就 ABE 就是 AB与 CD 所成地角,连 AE,由三垂线定理可证 BEAE,先求出 AE= 3 ,再在 Rt ABE 中,求得 ABE=600.说明：在（ 3）中也可作 CHAB 于 H,DFAB 于 F,HF 即为异面直线 CH、DF 地公垂线,利用公式 CD 2=CH 2+DF 2+HF 2-2· CH· DFcos ,求出 cos = 3 .37 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页