2022年新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点二次根式的学问点汇总学问点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式；注：在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必需留意：由于负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,等是二次根式,而,等都不是二次根式；例 1以下式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式：2 、3 3 、1 x、x （x>0 ）、0 、42 、-2 、x1y、xy （x0,y.0）” ；其次,被开方数是正数或0分析：二次根式应满意两个条件：第一,有二次根号“学问点二：取值范畴1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a0 时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可；2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a 0 时,没有意义；）；0,所以非负例 2当 x 是多少时,3x1在实数范畴内有意义？例 3当 x 是多少时,2x3+x11在实数范畴内有意义？学问点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根,也就是说,（）是一个非负数,即0（注：由于二次根式（）表示 a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0 的算术平方根是数（）的算术平方根是非负数,即 0（）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和肯定值、偶次方类似；这个性质在解答题目时应用较多,如如,就 a=0,b=0 ；如,就 a=0,b=0 ；如,就 a=0,b=0 ；名师归纳总结 例 41 已知 y=2x +x2+5,求x y的值 2如a1+b1=0,求 a 2004+b2004 的值第 1 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点四：二次根式（）的性质名师总结优秀学问点（文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；注：二次根式的性质公式,（）是逆用平方根的定义得出的结论；上面的公式也可以反过来应用：如,就,如：. 例 1 运算3（5 6）24（7）2 1（3）22（ 35 ）222例 2 在实数范畴内分解以下因式: （1）x2-3 （2）x4-4 3 2x2-3 学问点五：二次根式的性质文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值；注：1、化简时,肯定要弄明白被开方数的底数a 是正数仍是负数,如是正数或0,就等于 a 本身,即；如 a 是负数,就等于a 的相反数 -a, 即；2、中的 a 的取值范畴可以是任意实数,即不论a 取何值,肯定有意义；3、化简时,先将它化成,再依据肯定值的意义来进行化简；例 1 化简名师归纳总结 （1）9（2） 42（3）25（4）2 3第 2 页,共 4 页例 2 填空：当 a 0 时,2 a =_；当 a<0 时,2 a =_,.并依据这一性质回答以下问题（1）如2 a=a,就 a 可以是什么数？（2）如a2=-a,就 a 是什么数？（3）2 a >a,就 a 是什么数？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3 当 x>2,化简x2 2-2 1 2 名师总结优秀学问点学问点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数a 的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中,而中 a 可以是正实数,0,负实数；但与都是非负数,即,；因而它的运算的结果是有差别的,而2、相同点：当被开方数都是非负数,即时,=；时,无意义,而. 学问点七：二次根式的乘除1、 乘法 a ·b ab （a0,b 0）反过来：ab = a ·b （a0,b0）a aaa2、除法 b= b （a 0,b>0）反过来,b= b （a 0,b>0）（摸索： b 的取值与 a 相同吗？为什么？不相同,由于 b 在分母,所以不能为 0）例 1运算（1）45 ×7（2）1×9（3）9 ×27（4）1×632例 2 化简（ 2）1681（3）2 29x y（4）54（1）9 16例 3判定以下各式是否正确,不正确的请予以改正：（1） 4 94925 =412 25×25 =412 =8364（2）412×25 =4×12×2525例 4运算：（1）12（2）31（3）11（4）3284168例 5化简：（1）3 649（2）92 64 b（3）9x2（4）x5x的值第 3 页,共 4 页9 a264y169y2例 6已知xx,且 x 为偶数,求（ 1+x）2 x5x4x6x621名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点3、最简二次根式应满意的条件：（1）被开方数 不含 分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中 不含 开得尽方的因数或因式（熟记 20 以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判定是否能够分解因式,然后再观察各个因式的指数是否是 2（或 2 的倍数）,如是就说明含有能开方的因式,就不满意条件,就不是最简二次根式）例 1把以下二次根式化为最简二次根式 1 3 5; 2 x y 2 4 x y 4 2; 3 8x y 2 3124、化简最简二次根式的方法：1 把被开方数 或根号下的代数式 化成积的形式,即分解因式；2 化去根号内的分母（或分母中的根号）,即分母有理化；3 将根号内能开得尽方的因数 或因式 开出来（此步需要特殊留意的是：开到根号外的时候要带肯定值,留意符号问题）5. 有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：与与；与与；说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式；判定是否是同类二次根式时务必 将各个根式都化为最简二次根式；如8 与18学问点八：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并；（合并方法为：将系数相加减,二次根式部分不变）,不能合并的直接抄下来；例 1运算（ 1）8 + 18（2）16x + 64x分析：第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；其次步,将相同的最简二次根式进行合并解：（1）8 +18 =22 +32 =（2+3）2 =52x（2）16x +64x =4x +8x =（4+8）x =12例 2运算（1）348 -91+312 （2）（48 +20 ） +（12 -5 ）y x）的值3例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0 ,求（ 2 3x9x +y2x）-（x21-5xy3x2、二次根式的混合运算：先运算括号内,再乘方（开方）,再乘除,再加减,就有3、二次根式的比较： （1）如,就有；（2）如（ 3）将两个根式都平方,比较平方后的大小,对应平方前的大小例 4比较 312 与 45 的大小第 4 页,共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -