2022年用均值不等式求最值的类型及方法 .pdf

学习好资料欢迎下载高三理应培优（用均值不等式求最值的类型及解题技巧）均值不等式是不等式一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。一、几个重要的均值不等式，、)(222222Rbabaababba当且仅当a = b 时， “=”号成立；，、)(222Rbabaababba当且仅当a = b 时， “ =”号成立；，、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立；)(3333Rcbacbaabcabccba、,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立 . 注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“ 正” 、二 “ 定” 、三 “ 等” ；熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。二、函数( )(0)bf xaxabx、图象及性质(1)函数0)(baxbaxxf、图象如图：(2)函数0)(baxbaxxf、性质：值域：),22,(abab；单调递增区间：(,ba，,)ba；单调递减区间：(0,ba，,0)ba. 三、用均值不等式求最值的常见类型与解题技巧类型：求几个正数和的最小值。例 1、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。（技巧 1：凑项）解：21(1)2(1)yxxx21(1)1(1)2(1)xxx21111(1)222(1)xxxxxabab2ab2aboy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习好资料欢迎下载3211131222(1)xxx31252，当且仅当211(1)22(1)xxx即2x时， “ = ” 号成立，故此函数最小值是52。评析： 利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆低次的式子）等方式进行构造。类型：求几个正数积的最大值。例 2、求下列函数的最大值：23(32 )(0)2yxxx2sincos (0)2yxxx解析： 30,3202xx，23(32 )(0)(32 )2yxxxx xx3(32 )13xxx，当且仅当3 2xx即1x时， “ =” 号成立，故此函数最大值是1。（技巧 2、取平方） 0,sin0,cos02xxx，则0y，欲求 y 的最大值，可先求2y的最大值。242sincosyxx222sinsincosxxx2221(sinsin2cos )2xxx22231 sinsin2cos4()2327xxx, 当且仅当22sin2cosxx (0)2xtan2x，即tan2xarc时，不等式中的 “ = ” 号成立，故此函数最大值是2 39。技巧 3： 分离例 3. 求2710(1)1xxyxx的值域。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当, 即时,421)591yxx（当且仅当x1 时取“”号）。技巧 4：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1 +10544=5ttttytttt）当, 即 t=时,4259ytt（当 t=2 即 x1 时取“”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为( )(0,0)( )Aymg xB ABg x，g( x) 恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习好资料欢迎下载评析： 利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。类型：用均值不等式求最值等号不成立。技巧 5：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数( )af xxx的单调性。例 4、若 x、yR，求4( )fxxx) 10(x的最小值。解法一 ： （单调性法） 由函数( )(0)bf xaxabx、图象及性质知， 当(0,1x时，函数4( )fxxx是减函数。证明：任取12,(0,1xx且1201xx，则12121244()()()()fxfxxxxx211212()4xxxxx x1212124()x xxxx x，1201xx，12121240,0 x xxxx x，则1212()()0()()fxfxfxfx，即4( )fxxx在(0,1上是减函数。故当1x时，4()fxxx在(0,1上有最小值5。解法二 ： （配方法）因01x，则有4( )f xxx22()4xx，易知当01x时，20 xx且单调递减，则22( )()4f xxx在(0,1上也是减函数，即4( )f xxx在(0,1上是减函数，当1x时，4( )fxxx在(0,1上有最小值5。解法三 ： （导数法）由4( )f xxx得24( )1fxx，当(0,1x时，24( )10fxx，则函数4( )fxxx在(0,1上是减函数。故当1x时，4( )fxxx在(0,1上有最小值5。评析： 求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法也是较为简洁实用得方法。类型：条件最值问题。例 5、已知正数x、y 满足811xy，求2xy的最小值。技巧 6：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。解法一 ： （利用均值不等式）2xy8116()(2 )10 xyxyxyyx1610218xyyx, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习好资料欢迎下载当且仅当81116xyxyyx即12,3xy时 “ = ” 号成立，故此函数最小值是18。技巧 7消元.解法二 ： （消元法）由811xy得8xyx，由00088xyxxx又则2xy22(8) 1616162(8)108888xxxxxxxxxx162 (8)10 188xx。当且仅当1688xx即12,3xy此时时“ =” 号成立，故此函数最小值是18。解法三 ： （三角换元法）令228sin1cosxxxy则有228sin1cosxxyx则：22822sincosxyxx2222228csc2sec8(1 cot)2(1 tan)108cot2tanxxxxxx2210 2 (8cot) (2tan)xx18，易求得12,3xy此时时“ =” 号成立，故最小值是18。评析： 此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：818 12()(2 )228xyxyxyxyx y。原因就是等号成立的条件不一致。技巧 8：凑系数例 6.当时，求(82 )yxx的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式， 但其和不是定值。注意到2(82 )8xx为定值， 故只需将(82 )yxx凑上一个系数即可。当，即 x2 时取等号当 x2 时，(82 )yxx的最大值为8。评注： 本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。变式：设230 x，求函数)23(4xxy的最大值。解：230 x023x2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习好资料欢迎下载类型：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例 7、已知正数xy、满足3xyxy，试求xy、xy的范围。解法一 ：由0,0 xy，则3xyxy32xyxyxy，即2()230 xyxy解得13xyxy( 舍)或，当且仅当3xyxyxy且即3xy时取 “ =” 号，故xy的取值范围是9,)。又23()2xyxyxy2()4() 12 0 xyxy2()6xyxy舍 或，当且仅当3xyxyxy且即3xy时取 “ = ” 号，故xy的取值范围是6,)。解法二 ：由0,0 xy，3(1)3xyxyxyx知1x，则：31xyx，由30011xyxx，则：2233(1)5(1)44(1)51111xxxxxxyxxxxxx42 (1)591xx，当且仅当41(0)31xxxx即，并求得3y时取 “=”号，故xy的取值范围是9,)。31 44441(1)22 (1)2611111xxxyxxxxxxxxxx，当且仅当41(0)31xxxx即，并求得3y时取 “ =” 号，故xy的取值范围是9,)。评析： 解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。四、均值不等式易错例析：例 8. 求函数yxxx49的最值。错解：yxxxxxx491336213361323625xxxx当且仅当xx36即x6时取等号。所以当x6时， y 的最小值为25，此函数没有最大值。分析： 上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件，两个数都应大于零，因而导致错误。因为函数yxxx49的定义域为，00，所以必须对x的正负加以分类讨论。正解： 1）当x0时，25362133613xxxxy当且仅当xx36即6x时取等号。所以当x6时，ymin25精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习好资料欢迎下载2）当x0时，xx0360，xxxx362361211213)36()(13xxy当且仅当xx36，即x6时取等号，所以当x6时，ymax13121. 例 9. 当x0时，求yxx492的最小值。错解 ：因为xyxxxxx0492 49622，所以当且仅当492xx即x943时，yxmin621 83。分析： 用均值不等式求“ 和” 或“ 积” 的最值时，必须分别满足“ 积为定值 ” 或“ 和为定值 ” ，而上述解法中4x与92x的积不是定值，导致应用错误。正解 ：因为xyxxxxxxxx0492293 2293 3622233，当且仅当292xx，即x3623时等号成立，所以当x3623时，ymin3 363。例 10. 求yxxxR2254()的最小值。错解： 因为yxxxxxx2222225441424142，所以ymin2分析： 忽视了取最小值时须xx22414成立的条件， 而此式化解得x23，无解， 所以原函数y取不到最小值2。正解： 令txt242，则yttt12()又因为t1时，ytt1是递增的。所以当t2，即x0时，ymin52。例 11.已知Ryx,且141yx，求yxu的最小值 . 错解：44411xyxyyx,82xyyxu,u的最小值为8. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习好资料欢迎下载分析： 解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为yx41和yx，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值8. 正解：94545)41)(xyyxyxyxu当且仅当xyyx4即6,3 yx时等号成立 . u的最小值为9. 综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“ 和为定值 ” 或“ 积为定值 ” ，要凑出 “ 和为定值 ” 或“ 积为定值 ” 的式子结构，如果找不出“ 定值 ” 的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。巩固练习：1、已知：bnmayx2222,且ba，则nymx的最大值为 ( ) (A)ab(B)2ba(C)222ba(D)222ba2、若Ryxa,，且yxayx恒成立，则a 的最小值是 ( ) (A)22(B)2(C)2 (D)1 3、已知下列不等式：)(233Rxxx；),(322355Rbabababa；) 1(222baba. 其中正确的个数是( ) (A)0 个(B)1 个(C)2 个(D)3 个4、设Rba,，则下列不等式中不成立的是( ) (A)4)11)(baba(B) ababba222(C)21abab(D)abbaab25、设Rba,且2242,12baabSba的最大值是 ( ) (A)12(B)212(C)12(D)2126、若实数ba,满足2ba，则ba33的最小值是 ( ) (A)18 (B)6 (C)32(D)4327、若正数ba,满足3baab，则ab的取值范围是 . 8、若Ryx,且12yx，则yx11的最小值为 . 9、若baba且, 10 , 10，则abbaabba2,2 ,22中最大的是 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页