福建省莆田第一中学2019届高三数学下学期第四次月考试题理.doc

福建省莆田第一中学2019届高三数学下学期第四次月考试题 理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则A. B. C. D.2.设复数满足，则下列说法正确的是 A.为纯虚数 B.的虚部为 C.在复平面内，对应的点位于第一象限 D.3.空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如下表所示： 如图是某城市2018年12月全月的AQI指数变化统计图. 根据统计图判断，下列结论正确的是A.整体上看，这个月的空气质量越来越差.B.整体上看，前半月的空气质量优于后半个月的空气质量.C.从AQI数据上看，前半月的方差大于后半个月的方差.D.从AQI数据上看，前半月的平均值小于后半个月的平均值.4.下列命题中正确的是 A. 若为真命题，则为真命题. B. 在ABC中，“A<B”是“sinA<sinB”的充要条件.C. 命题“，则或”的逆否命题为“若或，则”.D. 命题：，使得，则：，使得.俯视图正视图侧视图5某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C D6.已知实数满足，则的最小值为 A 1 B 2 C 3 D 57.已知向量与的夹角为60，则= A.0 B. C.或0 D.8已知定义在R上的偶函数满足，则A.2019 B.2 C.0 D.20199.在空间直角坐标系O-xyz中，已知点都在同一个球面上，则该球的表面积是 A. B. C. D.10.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足.则下列叙述错误的是 A. B当时，点到轴的距离的最大值为6C当时，函数单调递减 D当时，11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，线段交于点，且，则的离心率为 A B C D 12.若函数和的图像有两个不同的交点，则实数的取值范围是 A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为_14在的展开式中，的系数为 15.已知椭圆E:与圆C:相交于A，B两点，点P为劣弧AB上异于A,B的动点，与x轴平行的直线PQ交E于点Q(点Q在第一象限)，则的取值范围是_16.若的面积为3，且，则的最小值为_三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答17.（本小题满分12分）设数列满足.(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；(2)设，数列的前n项和，证明：.18.（本小题满分12分）如图1，四边形PBCD是等腰梯形，BC/PD，PB=BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，将ABP沿AB折起，如图2，设M为PD的中点.(1)证明：PC平面ABM；(2)若PC=2,求二面角BCDM的余弦值.19.（本小题满分12分）某种规格的矩形瓷砖（600 mm600 mm）根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量（kg）都服从正态分布，并把质量在之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品.（1）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为(mm)、(mm)，则“尺寸误差”(mm)为，按行业生产标准，其中“优等” 、“一级” 、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是、（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0 mm的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元.现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如图. 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率.（i）记甲厂该种规格的的2片正品瓷砖卖出的钱数为（元），求的分布列.（ii）由图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率.附：若随机变量服从正态分布，则;., 20.（本小题满分12分）已知点，平面上的动点满足， (1)设点的轨迹为曲线，求的方程；(2)过点的直线交于两点，在点处的切线为,经过点的直线交于点(与不重合)，且/，求面积的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数. (1)若，证明：是定义域上的增函数； (2)是否存在，使得在处取得极小值？并说明理由.22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线，曲线.以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求的极坐标方程； (2)射线的极坐标方程为，若分别与交于异于极点的两点，求的最大值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数. 求不等式(2)已知正数满足，证明：.莆田一中2018-2019学年度高三年级第四次月考试卷 理科数学 参考答案选择题 ADCBD BABBC BD填空题13. 14.30 15.(4,5) 16.317.解(1)证明：由已知得数列的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列；数列的偶数项是以2为首项，4为公比的等比数列.1分.3分对任意正整数都有，则.5分则是等比数列,的通项公式为.6分(2).8分则.9分即.10分则,又是递增数列，则,. 11分从而.12分18. 解：取AB的中点E，连结PE，由已知PA=PB=2，则PEAB.1分连结AC，由已知PAB是等边三角形，则ABC=PAB=60，所以ABC是边长为2的正三角形，连结CE，则CEAB.2分又CEPE=E，则AB平面PCE，所以ABPC.3分取PC中点N，连结MN,BN.则2MN/CD/AB，从而A,B,N,M四点共面.4分又PB=BC=2，则BNPC.5分又ABBN=B，AB,BN平面ABM，则PC平面ABM.6分(2)连结AC，BD，设其交点为O，由已知，四边形ABCD是菱形，则ACBD,设BOCE=M，则M为ABC的中心.因为PA=PB=PC=2,则PM平面ABC，以O为原点，以为x轴，y轴，z轴正方向如图建立空间直角坐标系7分又因为则，且.8分.9分设为平面PCD的法向量，则即令，得.10分设为平面ABCD的法向量11分则由图知二面角BCDM为锐角，则二面角BCDM的余弦值为12分19.解：（1）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在之内的概率为 0.9974，则这10片质量全都在之内(即没有废品)的概率为 ；则这10片中至少有1片是废品的概率为. 3分（2）()由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、 0.1.的取值可能为15, 14， 12.5， 13， 11.5， 10元.-4分 ； 7分得到分布列如下：8分（）设乙陶瓷厂5片该规格的正品瓷砖中有片“优等”品，则有片“一级”品，由 已知，解得，取4或5. 故所求的概率为. 12分 20.解：（1）设则2分化为4分（2），点处的切线斜率为.5分设直线AB：y=kx+1，代入E:，得，6分，所以.7分又，所以直线的斜率，直线的方程为，代入得：，显然成立，8分，又点到直线的距离，10分，当且仅当，即时，取等.综上，三角形面积的最小值为.12分22.(1)故的极坐标方程为2分故的直角坐标方程为3分的极坐标方程为5分(2)直线分别与联立得，则，则6分7分8分则当时，有最大值10分23. 解：()依题意得，1分当时，满足题意，2分当时，即，3分当时，无解，4分综上所述，不等式的解集为.5分 （2）因为，所以，6分则，即，7分所以9分.10分