2019届高考数学大一轮复习讲义：第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ 第8讲　函数与方程、函数的应用.8 .doc

2.8函数与方程最新考纲考情考向分析结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1函数的零点(1)函数零点的定义函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解2二次函数yax2bxc (a>0)的图像与零点的关系>00<0二次函数yax2bxc (a>0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210知识拓展有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)f(b)<0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac<0时没有零点()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)()题组二教材改编2函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1,2) B(2,3)C.和(3,4) D(4，)答案B解析f(2)ln 21<0，f(3)ln 3>0且函数f(x)的图像连续不断，f(x)为增函数，f(x)的零点在区间(2,3)内3若函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_.答案2解析由于ln 2<ln e1，所以f(2)<0，f(3)2ln 3，由于ln 3>1，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n2.4函数f(x)x的零点个数为_答案1解析作函数y1和y2x的图像如图所示，由图像知函数f(x)有1个零点题组三易错自纠5已知函数f(x)x(x>0)，g(x)xex，h(x)xln x的零点分别为x1，x2，x3，则()Ax1<x2<x3Bx2<x1<x3Cx2<x3<x1Dx3<x1<x2答案C解析作出yx与y1，y2ex，y3ln x的图像如图所示，可知选C.6已知函数f(x)则函数f(x)有_个零点答案1解析当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x>1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x>1，所以此时方程无解综上函数f(x)只有1个零点7函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_答案解析函数f(x)的图像为直线，由题意可得f(1)f(1)<0，(3a1)(1a)<0，解得<a<1，实数a的取值范围是.题型一函数零点所在区间的判定1设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析f(1)ln 1121<0，f(2)ln 2>0，f(1)f(2)<0，函数f(x)ln xx2的图像是连续的，且为增函数，f(x)的零点所在的区间是(1,2)2若a<b<c，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)答案A解析a<b<c，f(a)(ab)(ac)>0，f(b)(bc)(ba)<0，f(c)(ca)(cb)>0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.3设函数y1x3与y2x2的图像的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_答案(1,2)解析令f(x)x3x2，则f(x0)0，易知f(x)为增函数，且f(1)<0，f(2)>0，x0所在的区间是(1,2)思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理；(2)数形结合法题型二函数零点个数的判断典例 (1)函数f(x)的零点个数是_答案2解析当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点；当x>0时，f(x)2>0恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 2<0，f(3)ln 3>0，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)exx3，则f(x)的零点个数为()A1 B2C3 D4答案C解析因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，即0是函数f(x)的一个零点，当x>0时，令f(x)exx30，则exx3，分别画出函数y1ex和y2x3的图像，如图所示，两函数图像有一个交点，所以函数f(x)有一个零点，根据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点综上所述，f(x)的零点个数为3.思维升华函数零点个数的判断方法(1)直接求零点；(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数；(3)利用函数图像的交点个数判断跟踪训练 (1)函数f(x)的零点个数为()A3 B2C7 D0答案B解析方法一由f(x)0得或解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点方法二函数f(x)的图像如图所示，由图像知函数f(x)共有2个零点(2)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为_答案2解析由f(x)0，得|log0.5x|x，作出函数y1|log0.5x|和y2x的图像，由上图知两函数图像有2个交点，故函数f(x)有2个零点题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数典例已知函数f(x)|x23x|，xR，若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是_答案(0,1)(9，)解析设y1f(x)|x23x|，y2a|x1|，在同一直角坐标系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的图像如图所示由图可知f(x)a|x1|0有4个互异的实数根等价于y1|x23x|与y2a|x1|的图像有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以有两组不同解，消去y得x2(3a)xa0有两个不等实根，所以(3a)24a>0，即a210a9>0，解得a<1或a>9.又由图像得a>0，0<a<1或a>9.引申探究本例中，若f(x)a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是_答案解析作出y1|x23x|，y2a的图像如图所示当x时，y1；当x0或x3时，y10，由图像易知，当y1|x23x|和y2a的图像有四个交点时，0<a<.命题点2根据函数有无零点求参数典例 (1)若函数f(x)3ax12a在区间(1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是()A.B(，1)C.D(，1)答案B解析当a0时，f(x)1与x轴无交点，不合题意，所以a0；函数f(x)3ax12a在区间(1,1)内是单调函数，所以f(1)f(1)<0，即(5a1)(a1)>0，解得a<1或a>.(2)已知函数f(x)则使函数g(x)f(x)xm有零点的实数m的取值范围是()A0,1) B(，1)C(，1(2，) D(，0(1，)答案D解析函数g(x)f(x)xm的零点就是方程f(x)xm的根，画出h(x)f(x)x的大致图像(图略)观察它与直线ym的交点，得知当m0或m>1时，有交点，即函数g(x)f(x)xm有零点命题点3根据零点的范围求参数典例若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_答案解析依题意，结合函数f(x)的图像分析可知m需满足即解得<m<.思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数形结合求解跟踪训练 (1)方程(a2x)2x有解，则a的最小值为_答案1解析若方程(a2x)2x有解，则2xa2x有解，即x2xa有解，因为x2x1，故a的最小值为1.(2)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_答案(0,1)解析画出函数f(x)的图像，如图所示由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图像得0<m<1，即m(0,1)利用转化思想求解函数零点问题典例 (1)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是_(2)若关于x的方程22x2xaa10有实根，则实数a的取值范围为_思想方法指导(1)函数零点个数可转化为两个函数图像的交点个数，利用数形结合求解参数范围(2)“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域解决解析(1)关于x的方程f(x)k有三个不同的实根，等价于函数y1f(x)与函数y2k的图像有三个不同的交点，作出函数的图像如图所示，由图可知实数k的取值范围是(1,0)(2)由方程，解得a，设t2x(t>0)，则a2，其中t1>1，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.答案(1)(1,0)(2)(，221设函数f(x)exx4，则f(x)的零点位于区间()A(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)答案C解析f(1)e14e3<0，f(2)e224e22>0，f(1)f(2)<0.故f(x)的零点位于区间(1,2)2已知a是函数f(x)2xx的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足()Af(x0)0 Bf(x0)>0Cf(x0)<0 Df(x0)的符号不确定答案C解析f(x)在(0，)上是增函数，若0<x0<a，则f(x0)<f(a)0.3函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)答案C解析因为f(x)在(0，)上是增函数，则由题意得f(1)f(2)(0a)(3a)<0，解得0<a<3，故选C.4已知函数f(x)则使方程xf(x)m有解的实数m的取值范围是()A(1,2) B(，2C(，1)(2，) D(，12，)答案D解析当x0时，xf(x)m，即x1m，解得m1；当x>0时，xf(x)m，即xm，解得m2，即实数m的取值范围是(，12，)故选D.5(2017山东)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图像与ym的图像有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A(0,12，) B(0,13，)C(0，2，) D(0，3，)答案B解析在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)(mx1)2m22与g(x)m的大致图像分两种情形：(1)当0m1时，1，如图，当x0,1时，f(x)与g(x)的图像有一个交点，符合题意(2)当m1时，01，如图，要使f(x)与g(x)的图像在0,1上只有一个交点，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去)综上所述，m(0,13，)故选B.6函数f(x)xln(x1)1的零点个数是_答案2解析函数f(x)xln(x1)1的零点个数，即为函数y1ln(x1)(x>1)与y2x1(x>1)图像的交点个数在同一坐标系内分别作出函数y1ln(x1)(x>1)与y2x1(x>1)的图像，如图所示，由图可知函数f(x)xln(x1)1的零点个数是2.7若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)>0的解集是_答案解析f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，由根与系数的关系知f(x)x2x6.不等式af(2x)>0，即(4x22x6)>02x2x3<0，解集为.8若函数f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_答案(0,1解析当x>0时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为0<2x201，所以0<a1，所以实数a的取值范围是0<a1.9定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)2 015xlog2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_答案3解析因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)0，当x>0时，f(x)2 015xlog2 015x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点，从而函数f(x)在R上的零点个数为3.10在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图像只有一个交点，则a的值为_答案解析函数y|xa|1的图像如图所示，因为直线y2a与函数y|xa|1的图像只有一个交点，故2a1，解得a.11关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围解显然x0不是方程x2(m1)x10的解，0<x2时，方程可变形为1mx，又yx在(0,1上是减少的，在1,2上是增加的，yx在(0,2上的取值范围是2，)，1m2，m1，故m的取值范围是(，112设函数f(x)(x>0)(1)作出函数f(x)的图像；(2)当0<a<b且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解(1)如图所示(2)f(x)故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数由0<a<b且f(a)f(b)，得0<a<1<b且11，2.(3)由函数f(x)的图像可知，当0<m<1时，方程f(x)m有两个不相等的正根13若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点有()A多于4个B4个C3个D2个答案B解析因为偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，故函数的周期为2.当x0,1时，f(x)x，故当x1,0时，f(x)x.函数yf(x)log3|x|的零点的个数等于函数yf(x)的图像与函数ylog3|x|的图像的交点个数在同一个坐标系中画出函数yf(x)的图像与函数ylog3|x|的图像，如图所示显然函数yf(x)的图像与函数ylog3|x|的图像有4个交点，故选B.14已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0,3)时，f(x).若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_答案解析函数yf(x)a在区间3,4上有互不相同的10个零点，即函数yf(x)，x3,4与ya的图像有10个不同的交点，在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图像如图所示，可知当0<a<时满足题意15(2018郑州模拟)若a>1，设函数f(x)axx4的零点为m，函数g(x)logaxx4的零点为n，则的最小值为_答案1解析设F(x)ax，G(x)logax，h(x)4x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m>0，n>0)因为F(x)与G(x)关于直线yx对称，所以A，B两点关于直线yx对称又因为yx和h(x)4x交点的横坐标为2，所以mn4.又m>0，n>0，所以1.当且仅当，即mn2时等号成立所以的最小值为1.16定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则函数F(x)f(x)的所有零点之和为_答案解析函数f(x)的图像如图所示而F(x)的零点即函数f(x)的图像与直线y交点的横坐标x1，x2，x3，x4，x5，又x1x26，x4x56，故函数F(x)f(x)的所有零点之和就是x3，又x3，故F(x)的所有零点之和为.