2022年杭州中考复习资料几何部分第二章三角形.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思几何部分其次章：三角形学问点：一、关于三角形的一些概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角,简称三角形的角；1、三角形的角平分线；三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离）2、三角形的中线三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离）3三角形的高三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）留意：三角形的中线和角平分线都在三角形内；如图 2l , AD 、 BE、 CF 都是么 ABC 的角平分线,它们都在ABC 内如图 22, AD 、BE、CF 都是 ABC 的中线,它们都在ABC 内而图 23,说明高线不肯定在 ABC 内,图 23（ 1）图 2 3（ 2）图 23 一（ 3）图 23（ 1）,中三条高线都在ABC 内,图 23（ 2）,中高线 CD 在 ABC 内,而高线 AC 与 BC 是三角形的边；图 23 一（ 3）,中高线 BE 在 ABC 内,而高线 三、三角形三条边的关系AD 、CF 在 ABC 外；三角形三边都不相等,叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的就叫等边三角形；等腰三角形中, 相等的两条边叫腰,另一边叫底边, 腰和底边的夹角叫底角,两腰的夹角叫项角；三角形接边相等关系来分类：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思不等边三角形三角形三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形用集合表示,见图24 推论三角形两边的差小于第三边；不符合定理的三条线段,不能组成三角形的三边；例如三条线段长分别为 的三边；三、三角形的内角和5,6,1 人由于 5612,所以这三条线段,不能作为三角形定理三角形三个内角的和等于 180°由定理可知,三角形的二个角已知,那么第三角可以由定理求得；如已知ABC 的两个角为 A90° , B40° ,就 C180° 90° 40° 50°由定理可以知道,三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角；推论 1：直角三角形的两个锐角互余；三角形按角分类：直 角 三 角 形三角形锐 角 三 角 形 斜 三 角 形 钝 角 三 角 形用集合表示,见图三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫三角形的外角；推论 2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；推论 3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；例如图 26 中1 3；1=3 4； 5 3 8；5 3 7 8；2 8； 2 7 8； 4 9； 4 9 10 等等；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思四、全等三角形 能够完全重合的两个图形叫全等形；两个全等三角形重合时,相互重合的顶点叫对应顶点,相互重合的边叫对应边,相互重合的角叫对应角；全等用符号“ ” 表示 ABC A BC 表示 A 和 A ,B 和 B,C 和 C是对应点；全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；如图 2 7, ABC A BC ,就有 A、B、C的对应点 A、B、C；AB、BC、CA的对 应边是 AB 、BC 、CA ；A, B, C的对应角是 A、 B 、 C；ABAB , BCBC ,CA CA； A A, B B, C C 五、全等三角形的判定 1、边角边公理： 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成 “ 边角边 ”或“ SAS”）留意：肯定要是两边夹角,而不能是边边角； 2、角边角公理： 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成 “角边角“ 或“ASA” ） 3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边 域“ AAS”） 4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“ 边边边 ” 或“SSS”）由边边边公理可知,三角形的重要性质：三角形的稳固性；除了上面的判定定理外,“边边角 ” 或“角角角 ”都不能保证两个三角形全等； 5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直 角三角形全等（可以简写成“ 斜边,直角边 ” 或“ HL”）六、角的平分线 定理 1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；定理 2、一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上；由定理 1、2可知：角的平分线是到角的两边距离相等的全部点的集合；可以证明三角形内存在一个点,角平分线的交点（交于一点）它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条在两个命题中, 假如第一个命题的题设是其次个命题的结论,而第一个命题的结论又是其次个命题的题设,那么这两个命题叫做互为逆命题,假如把其中的一个做原命题,那么另一个叫它的逆命题；假如一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫互逆定理,其中一个叫另一个的逆定理；名师归纳总结 例如： “ 两直线平行,同位角相等” 和“ 同位角相等,两直线平行”是互逆定理；第 3 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思一个定理不肯定有逆定理,例如定理：“ 对顶角相等 ”就没逆定理,由于“ 相等的角是对顶角 ”这是一个假命颗；七、基本作图限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作网最基本、最常用的尺规作图通常称为基本作图,例如做一条线段等于己知线段；1、作一个角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS）,从而得到对应角相等；2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）从而得到对应角相等；3、经过一点作已知直线的垂线：（1）如点在已知直线上,可看作是平分已知角平角；（2）如点在已知直线外,可用类似平分已知角的方法去做：已知点 C为圆心,适当长为半 径作弧交已知真线于 A、B两点,再以 A、B为圆心,用相同的长为半径分别作弧交于 D点,连 结CD即为所求垂线；4、作线段的垂直平分线：线段的垂直平分线也叫中垂线；做法的实质仍是全等三角形（SSS）；也可以用这个方法作线段的中点；八、作图题举例重要解决求作三角形的问题 1、已知两边一夹角,求作三角形 2 、已知底边上的高,求作等腰三角形九、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角 ”）推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,就是说：等腰三角形的顶 角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；推论 2：等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60°由于等腰三角形底边中线就 例如：等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等,是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等 n 十、等腰三角形的判定定理：假如一个三角形有两个角相,那这两个角所对的两条边也相等；（简写成“等角 对等动 ”）；推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2：有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形 3O° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论 3：在直角三角形中,假如一个锐角等于 十一、线段的垂直平分线 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上；就是说：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的全部点的集合；十二、轴对称和轴对称图形 把一个图形沿着某一条直线折叠二假如能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关 于这条直线轴对称,两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点,这条直线叫对称轴；两个图形关于直线对称也叫轴对称；定理 1：关于某条直线对称的两个图形是全等形；定理 2：假如两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；定理 3：两个图形关于某条直线对称,假如它们的对应线段或延长相交；那么交点在对 称轴上；名师归纳总结 逆定理： 假如两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直第 4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思线对称；假如一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够相互重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是对称轴；例如：等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点,是等腰三角形的一条对称轴,而等腰三角形是轴对称图形；十三、勾股定理所以等腰三角形顶角的分角线勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：a2b2c勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2b2c2那么这个三角形是直角三角形 例题：例1、已知： AB、CD相交于点 O,AC DB,OC=OD,E、F为AB 上两点,且 AE=BF.求证： CE=DF 分析：要证 CE=DF,可证ACE BDF,但由已知条件直接证不出全等,这时由已知条件可先证出AOC BOD,得出 AC=BD,从而证出ACE BDF. 证明：略 例2、已知：如图,AB=CD,BC=DA,E、F是AC上两点, 且AE=CF；求证： BF=DE 分析：观看图形, BF和DE分别在CFB和 AED（或 ABF和 CDE）中,由已知条件不能直接证明这两个三角形全等；这时可由已知条件先证明ABC CDA,由此得 1=2,从而证出 CFB AED；证明：略 例3、已知： CAE是三角形 ABC的外角 , 1=2, AD BC ；求证： AB=AC 证明：略例 4、已知：如图 3 89 ,OE 平分AOB,ECOA 于 C ,EDOB 于 D 求证：（ 1 ）OCOD；（ 2）OE 垂直平分 CD分析：证明第（1）题时,利用 “ 等角的余角相等”可得到 OEC OED,再利用角平分线的性质定理得到 防止证明两个三角形全等证明：略OCOD 这样处理, 可名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页