欢迎来到淘文阁 - 分享文档赚钱的网站! | 帮助中心 好文档才是您的得力助手!
淘文阁 - 分享文档赚钱的网站
全部分类
  • 研究报告>
  • 管理文献>
  • 标准材料>
  • 技术资料>
  • 教育专区>
  • 应用文书>
  • 生活休闲>
  • 考试试题>
  • pptx模板>
  • 工商注册>
  • 期刊短文>
  • 图片设计>
  • ImageVerifierCode 换一换

    2022年概率论与数理统计公式大全.docx

    • 资源ID:26215630       资源大小:820.99KB        全文页数:50页
    • 资源格式: DOCX        下载积分:4.3金币
    快捷下载 游客一键下载
    会员登录下载
    微信登录下载
    三方登录下载: 微信开放平台登录   QQ登录  
    二维码
    微信扫一扫登录
    下载资源需要4.3金币
    邮箱/手机:
    温馨提示:
    快捷下载时,用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号,方便查询和重复下载(系统自动生成)。
    如填写123,账号就是123,密码也是123。
    支付方式: 支付宝    微信支付   
    验证码:   换一换

     
    账号:
    密码:
    验证码:   换一换
      忘记密码?
        
    友情提示
    2、PDF文件下载后,可能会被浏览器默认打开,此种情况可以点击浏览器菜单,保存网页到桌面,就可以正常下载了。
    3、本站不支持迅雷下载,请使用电脑自带的IE浏览器,或者360浏览器、谷歌浏览器下载即可。
    4、本站资源下载后的文档和图纸-无水印,预览文档经过压缩,下载后原文更清晰。
    5、试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。

    2022年概率论与数理统计公式大全.docx

    精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考第 1 章 随机大事及其概率结合率: ABC=ABC A BC=A BC ( 6)大事 安排率: AB C=AC BC A B C=ACBC 的 关 系 与运算Ai1AiABAB,ABABPA ,如满德摩根率:i1i设为样本空间,A 为大事,对每一个大事A 都有一个实数足以下三个条件:1° 0 PA 1,( 7)概率有2° P =1 A ,A ,Pi1A ii1P A i3°对于两两互不相容的大事的 公 理 化定义常称为可列(完全)可加性;就称 PA 为大事 A 的概率;(10)加法 PA+B=PA+PB-PAB 公式 当 PAB0 时, PA+B=PA+PB PA-B=PA-PAB (11)减法当 BA时, PA-B=PA-PB PA>0 ,就称PAB为大事 A 发生条件下,事公式当 A= 时, P B =1- PB 定义 设 A、B是两个大事,且PA(12)条件件 B 发生的条件概率,记为PB/APAB;概率P A条件概率是概率的一种,全部概率的性质都适合于条件概率;(13)乘法例如 P /B=1P B /A=1-PB/A An|A 1A2乘法公式:PABPA PB/A 更一般地,对大事A1,A2, An,如 PA1A2 An-1 >0 ,就有PA 1A2AnPA 1PA2|A 1 PA3|A 1A2 P公式A n1 ;两个大事的独立性(14)独立立;设大事 A 、B 满意PABPAPB,就称大事 A、B 是相互独立的;如大事 A 、 B 相互独立,且PA0,就有PB|A P ABPAPBPBPAPA性如大事 A 、 B 相互独立, 就可得到A与 B 、 A 与B、A与B也都相互独必定大事和不行能大事. 与任何大事都相互独立;. 与任何大事都互斥;多个大事的独立性 设 ABC是三个大事,假如满意两两独立的条件,不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考PAB=PAPB ;PBC=PBPC ; PCA=PCPA 并且同时满意 PABC=PAPBPC 那么 A、 B、C相互独立;对于 n 个大事类似;(15)全概设大事B1 ,B2,Bn,Bn满意PBi0i,12,n ,1°B1 ,B2 ,两两互不相容,Ani,B公式2°i1就有PA PB1 P A|B 1PB2P A|B2PBiPBnPA|Bn;设大事B ,B , ,B 及 A 满意>0,i1,2, ,n,1°B ,B , ,B 两两互不相容,n2°Ai1Bi,P A0,就(16)贝叶PB i/A jnPB iP A/B ij,i=1 ,2, n;斯公式P BjPA/B1此公式即为贝叶斯公式;P B i ,(i 1,2 , ,n),通常叫先验概率;P B i / A ,(i 1,2 , ,n ),通常称为后验概率;贝叶斯公式反映了“ 因果” 的概率规律,并作出了“ 由果朔因” 的推断;我们作了n次试验,且满意每次试验只有两种可能结果,n 次试验是重复进行的,即A 发生或 A 不发生;A 发生的概率每次均一样;(17)伯努每次试验是独立的,即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的;这种试验称为伯努利概型,或称为n 重伯努利试验;利概型用p表示每次试验A 发生的概率,就A 发生的概率为1pq,用Pnk表示n重伯努利试验中A 显现k0kn次的概率,PnkCkpkqnk,k,1,02 ,n;n不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考(1)离散为其次章随机变量及其分布设离散型随机变量X 的可能取值为Xkk=1,2, 且取各个值的概率,即大事X=Xk 的概率型 随 机 变PX=xk=p k,k=1,2, ,量 的 分 布就称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律;有时也用分布列的形式给出:律PXXxk|x 1 ,x2 ,xk,;p 1,p2 ,p k,明显分布律应满意以下条件:(2)连续 型 随 机 变 量 的 分 布密度(3)离散与 连 续 型 随 机 变 量 的关系(1)pk0,k,12 ,(2)k1pk1;设Fx 是随机变量X 的分布函数,如存在非负函数fx,对任意实数x ,有Fxxfx dx,就称X为连续型随机变量;fx 称为X的概率密度函数或密度函数,简称概率密度;密度函数具有下面4 个性质:1°fx0;2°fx dx1;PXxPxXxdxfxdx积分元fx dx在连续型随机变量理论中所起的作用与PXx kp k在离散型随机变量理论中所起的作用相类似;不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考(4)分布设 X 为随机变量,x 是任意实数,就函数a,b的概率;分布函数Fx表示随函数FxPXx 称为随机变量X 的分布函数,本质上是一个累积函数;PaXbFbFa 可以得到 X 落入区间机变量落入区间(, x 内的概率;分布函数具有如下性质:1°0Fx,1x;Fx1 1Fx2;2°Fx是单调不减的函数,即x1x2时,有3°Flim xFx 0,Flim xFx;4°Fx0Fx,即Fx 是右连续的;0 ;5°PXxFxFx对于离散型随机变量,Fx pk;xkxx(5)八大 分布对于连续型随机变量,Fx fx dx;0-1PX=1=p, PX=0=q 分布二 项在 n 重贝努里试验中,设大事A发生的概率为p ;大事 A发生的次数是随机变量,设分布为 X ,就 X 可能取值为0,1,2,n;PXkPnkCkpkqnk,其中q1p0,p,1k0 ,1,2,n,n就称随机变量X听从参数为n,p的二项分布;记为XBn ,p;当n1时,PXkpkq1k,k.0 1,这就是( 0-1 )分布,所以(0-1 )分布是二项分布的特例;泊 松设随机变量 X 的分布律为0 ,k,1,02,或者 P ;分布kPXkk .e,就称随机变量X 听从参数为的泊松分布,记为Xnp= , n);泊松分布为二项分布的极限分布(不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考几 何PXkqk1p ,k,1,23 ,其中 p0,q=1-p ;b1a,即分布均 匀随机变量 X听从参数为p 的几何分布,记为Gp ;设随机变量X 的值只落在 a ,b 内,其密度函数fx 在a ,b 上为常数分布fx b1a,axb其他,0 ,就称随机变量X 在a ,b 上听从匀称分布,记为XUa, b ;分布函数为0,x<a,Fxxfx dxxa,axb指 数ba1,x>b ;当 ax1<x2b 时, X 落在区间(x 1, x2)内的概率为Px1Xx2x2x1;baex,x0, 分布fx0, x0, 其中0,就称随机变量X听从参数为的指数分布;X 的分布函数为Fxxdx1ex,x0, 记住积分公式:0 ,x<0;xnen .0不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考正 态 分 布离 散 型连 续 型设随机变量X 的密度函数为fx 、1x2,、的正态分布或高斯e22,x2其中0 为常数,就称随机变量X 听从参数为(Gauss)分布,记为XN,2;fx具有如下性质:1°fx的图形是关于x对称的;2°当x1,时,f 1为最大值;2 2 x,就 X 的分布函数为e 2 2dt;如 FXNx2参数0 、1时的正态分布称为标准正态分布,记为X N01, ,其密度函数记为 x1ex2,x,22分布函数为 x t2; x 1 e 2 dt2x 是不行求积函数,其函数值,已编制成表可供查用; -x 1- x 且 0 1 ;2N01,;假如 X N,2,就XPx 1Xx 2x 2x 1;已知 X 的分布列为P Xx ix 1 ,x2 ,L,x n ,L,p 1 ,p2 ,L,p n,LXYgX 的分布列(y i g x i 互不相等)如下:g x 1 , g x 2 , L , g x n , L, p 1 , p 2 , L , p n , Lg ix 相等,就应将对应的 ip 相加作为 gix的概率;YPYy i如有某些先利用 X的概率密度fXx 写出 Y 的分布函数FYy PgX y ,再利用变上下限积分的求导公式求出f Yy ;不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考( 1)联合离散型第三章二维随机变量及其分布,假如二维随机向量(X,Y)的全部可能取值为至多可列分布个有序对( x,y ),就称为离散型随机量;设=(X,Y)的全部可能取值为x i,yji,j,12,且大事 =xi,yj的概率为 pij, , 称PX,Yx i,yjpiji,j,1,2为=(X,Y)的分布律或称为X 和 Y 的联合分布律;联合分布有时也用下面的概率分布表来表示:X Y y1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pij这里 pij具有下面两个性质:连续型(1) pij 0( i,j=1,2, );X,Y, 如 果 存 在 非 负 函 数(2)p ij1 .ij对 于 二 维 随 机 向 量fx,yx,y,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=X,Y|a<x<b,c<y<d有P X,YDfx ,y dxdy ,D就称为连续型随机向量;并称fx,y为=(X, Y)的分布密度或称为X 和 Y 的联合分布密度;分布密度 fx,y具有下面两个性质:(1)fx,y0; (2)fx,ydxdy1.不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考( 2)二维Xx,Yy XxYy随 机 变 量的本质( 3)联合 分布函数设( X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x,y, 二元函数Fx,y P Xx ,Yy称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函数;分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域, 以 事 件 1 , 2 | X 1 x , Y 2 y 的概率为函数值的一个实值函数;分布函数 Fx,y 具有以下的基本性质:(1)0 F x , y ;1(2)F(x,y )分别对 x 和 y 是非减的,即当 x2>x1时,有 F( x2,y ) Fx 1,y;当 y2>y1时,有 Fx,y2 Fx,y1; (3)F(x,y )分别对 x 和 y 是右连续的,即( 4)离散(4)F,FFx ,yFx0 ,y,Fx,yFx,y0;x,y dxdyF,yFx,0,F,1.(5)对于x 1x2,y1y2,x 1,y2Fx1,y10. fFx2,y2x2,y1FP Xx,YyPxXxdx,yYydy型 与 连 续型的关系( 5)边缘离散型X 的边缘分布为p ij i,j,1 2 ,;分布P i.P Xx ijY 的边缘分布为连续型P .jP Yyjp iji,j1 2,;iX 的边缘分布密度为f Xxfx,ydy;Y 的边缘分布密度为f Yyfx,ydx .不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考( 6)条件离散型在已知 X=xi 的条件下, Y取值的条件分布为分布P Yyj|Xxip ij;p i.在已知 Y=yj 的条件下, X取值的条件分布为连续型PXx i|Yyjpijj,p .在已知 Y=y 的条件下, X 的条件分布密度为fx|yfx,y;fYy在已知 X=x 的条件下, Y 的条件分布密度为( 7)独立一般型fy|xfx,yfXxFX,Y=F XxF Yy性离散型pijpi.p.j有零不独立连续型fx,y=fXxfYy 直接判定,充要条件:可分别变量 正概率密度区间为矩形二维正态分fx ,y212112e2 112x1122x1y2y222,布120 随机变量的 如 X1,X2, Xm,Xm+1, Xn 相互独立, h,g 为连续函数,就:函数 h(X1,X2, Xm)和 g(Xm+1, Xn)相互独立;特例:如 X与 Y 独立,就: h(X)和 g(Y)独立;例如:如 X与 Y 独立,就: 3X+1 和 5Y-2 独立;不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考( 8)二维设随机向量( X,Y)的分布密度函数为X,Y)匀称分布fx ,y1x ,y DS D,0其他其中 SD为区域 D的面积,就称( X,Y)听从 D上的匀称分布,记为(U(D);例如图 3.1 、图 3.2 和图 3.3 ;y 1 O D11 x 图 3.1 y 1 D2O 1 2 x 图 3.2 y d D3c O a b x 图 3.3 不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考( 9)二维 正态分布设随机向量( X,Y)的分布密度函数为fx ,y212112e2112x1122x1y2y222,12其中1,2,10,20|,|1是 5 个参数,就称( X,Y)听从二维正态分布,记为( X,Y) N(1,22,2,.12由边缘密度的运算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,(10)函数即 XN(1,2,YN2,2.2);12但是如 XN(1,2,YN,22,X,Y未必是二维正态分布;12Z=X+Y 依据定义运算:F ZzPZzPXYz分布对于连续型, f Zz fx ,zx dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(12,212n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍听从正态分布;Z=max,min如Ci2i,n2Ci22iiXiX1,X2相 互 独 立 , 其 分 布 函 数 分 别 为X 1,X 2, X n Fx 1x,Fxx Fx nx ,就Z=max,minX 1,X 2, X n的分布函数为:Fmaxx Fx 1x.Fx2x Fx nx x 1FxnxFminx11Fx 1x.1Fx2不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考2 分布设 n 个随机变量X1,X2,Xn相互独立,且听从标准正态分布,可以证明它们的平方和Win1Xi2的分布密度为f1n1eu2 n ,u22u0,u2nn22我们称随机变量0 ,n的u0.2 分布,记为 WW听从自由度为其中n0xn1exdx .22所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量 分布中的一个重要参数;2 分布满意可加性:设Y i2ni,就t 分布ZkY i2n 1n22 n,nk.i1设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,且XN01, ,Y可以证明函数TXnY/的概率密度为ftn1n1.2n1t22tnn2我们称随机变量T 听从自由度为n 的 t 分布,记为Ttn ;t1ntn不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考F 分布设X2n 1,Y2n2,且n 1X 与 Y 独 立,可 以 证明FX/n 1的概率密度函数为n 1n1n 2Y/n2n 1n2fy2n 1211n1y2,y02yn 1n2n2n2(1)期望220,y0我们称随机变量F 听从第一个自由度为n1,其次个自由度为n2的 F 分布,记为Ffn1, n2. F1n 1,n2F1,n 1n2第四章随机变量的数字特点离散型连续型一 维设 X 是离散型随机变量, 其分布设 X是连续型随机变量, 其概率密随 机期望就是平均值律 为PXxk pk,度为 fx,变 量的 数k=1,2, ,n ,EXxfx dx字 特n征EXxkpk(要求肯定收敛)k1(要求肯定收敛)函数的期望Y=gX n1gxkpkY=gX gxfx dxE YkE Y方差DX=EX-EXX2,DXkxkEX2pkDXxEX2fx dx标准差,XD不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考矩切比雪夫不等式对于正整数k,称随机变量X对于正整数k,称随机变量X 的的 k 次幂的数学期望为X 的 kk 次幂的数学期望为X的 k 阶原点阶原点矩,记为v k, 即矩,记为 vk, 即k=EXk=ixk ipi, k=EX k=xkfx dx ,k=1,2, . k=1,2, . 对于正整数k,称随机变量X对于正整数k,称随机变量X 与与 E(X)差的 k 次幂的数学期E(X)差的 k 次幂的数学期望为X望为 X的 k 阶中心矩,记为k,的 k 阶中心矩,记为k,即即kEXEXk.kEXEXk.ixiEXkpi,=xEXkfxdx ,=k=1,2, .k=1,2, .设随机变量X 具有数学期望E(X)= ,方差D(X)=2,就对于任意正数 ,有以下切比雪夫不等式2P X2切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情形下,对概率P X 的一种估量,它在理论上有重要意义;(2)(1)EC=C Xi期 望(2)ECX=CEX 的 性(3)nn质EX+Y=EX+EY ,ECiXiCiE(4)i1i1EXY=EX EY,充分条件: X 和 Y 独立;充要条件: X 和 Y 不相关;(3)(1)DC=0;EC=C 方 差(2)DaX=a2DX ; EaX=aEX 的 性(3)DaX+b= a2DX ; EaX+b=aEX+b 质(4)DX=EX2-E2X (5)DX± Y=DX+DY ,充分条件: X和 Y 独立;充要条件: X和 Y 不相关; DX± Y=DX+DY ± 2EX-EXY-EY,无条件成立;而 EX+Y=EX+EY ,无条件成立;(4)0-1 分布B ,1p期望p方差p常 见p 1分 布不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考的 期二项分布B n,pNEnp nMnp 1p望 和方差泊松分布P,11p几何分布G ppp2超几何分布Hn ,MnM1MNnNNNN1(5)匀称分布Ua,bEXba2ab212指数分布e 1122正态分布N,2n 2n 2分布nn2n>2 t 分布0 期望nxfXx dx二 维Xxipi.随 机i1变 量函数的期望EnE YyfYy dy的 数 Yyjp.j字 特j1征EGX,YEGX,YiGxi,yjp ijGx ,yfx ,y dxdyj方差DXjixiEX2pi.DXxEX2fXx dxDYxjE Y2p .jD YyEY2fYy dy不得用于商业用途名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仅供个人参考协方差相关系数对于随机变量X 与 Y,称它们的二阶混合中心矩11为 X 与 Y 的协方

    注意事项

    本文(2022年概率论与数理统计公式大全.docx)为本站会员(Q****o)主动上传,淘文阁 - 分享文档赚钱的网站仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知淘文阁 - 分享文档赚钱的网站(点击联系客服),我们立即给予删除!

    温馨提示:如果因为网速或其他原因下载失败请重新下载,重复下载不扣分。




    关于淘文阁 - 版权申诉 - 用户使用规则 - 积分规则 - 联系我们

    本站为文档C TO C交易模式,本站只提供存储空间、用户上传的文档直接被用户下载,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的收益归上传人(含作者)所有。本站仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。若文档所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知淘文阁网,我们立即给予删除!客服QQ:136780468 微信:18945177775 电话:18904686070

    工信部备案号:黑ICP备15003705号 © 2020-2023 www.taowenge.com 淘文阁 

    收起
    展开