2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第10章第5讲 曲线与方程（考题帮.数学理） .docx
第五讲曲线与方程题组 曲线方程的求法1.2015浙江,7,5分如图10-5-1,斜线段AB与平面所成的角为60,B为斜足,平面上的动点P满足PAB=30,则点P的轨迹是()图10-5-1A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线的一支2.2016全国卷,20,12分理已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.()若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ; ()若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.3.2015湖北,21,14分理一种作图工具如图10-5-2(1)所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图10-5-2(2)所示的平面直角坐标系.()求曲线C的方程;()设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由. (1)(2)图10-5-24.2014新课标全国,20,12分已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.()求M的轨迹方程;()当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.A组基础题1. 2018武汉市部分学校调研测试,9已知不等式3x2-y2>0所表示的平面区域内一点P(x,y)到直线y=3x和直线y=-3x的垂线段分别为PA,PB,若PAB的面积为3316,则点P轨迹的一个焦点坐标可以是()A.(2,0) B.(3,0) C.(0,2)D.(0,3)2.2018广东七校第一次联考,20已知动点M到定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为42.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交曲线C于不同于N的两点A,B,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2, 求k1+k2的值.3.2018唐山市高三五校联考,20在直角坐标系xOy中,长为2+1的线段的两端点C,D分别在x轴、y轴上滑动,CP=2PD.记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A,B两点,OM=OA+OB,当点M在曲线E上时,求四边形AOBM的面积.B组提升题4.2017太原市三模,16已知过点A(-2,0)的直线与x=2相交于点C,过点B(2,0)的直线与x=-2相交于点D,若直线CD与圆x2+y2=4相切,则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为.5.2018惠州市二调,20已知C为圆(x+1)2+y2=8的圆心,P是圆上的动点,点Q在圆的半径CP上,且有点A(1,0)和AP上的点M,满足MQAP=0,AP=2AM.(1)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程;(2)若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切,与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F,H,O是坐标原点,且34OFOH45时,求k的取值范围.6.2017石家庄市二模,20已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r>1),设A为圆C与x轴负半轴的交点,过点A作圆C的弦AM,并使弦AM的中点恰好落在y轴上.(1)求点M的轨迹E的方程;(2)延长MC交曲线E于另一点N,曲线E在点N处的切线与直线AM交于点B,试判断以点B为圆心,线段BC的长为半径的圆与直线MN的位置关系,并证明你的结论.答案1.C由题意知,线面角为60,PAB=30,因此AP的轨迹在空间上是一个以AB为轴线,A为顶点的圆锥侧面,用一个与圆锥轴线成60角的平面截圆锥,所得图形为椭圆.故选C.2.由题意知F(12,0).设l1:y=a,l2:y=b,则ab0,且A(a22,a),B(b22,b),P(-12,a),Q(-12,b),R(-12,a+b2).记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.()由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以ARFQ.()设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF=12|b-a|FD|=12|b-a|x1-12|,SPQF=|a-b|2.由题设可得|b-a|x1-12|=|a-b|2,所以x1=0(舍去)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以所求轨迹方程为y2=x-1.3.()设点D(t,0)(|t|2),N(x0,y0),M(x,y),依题意,MD=2DN,且|DN|=|ON|=1,所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0),且(x0-t)2+y02=1,x02+y02=1.即t-x=2x0-2t,y=-2y0,且t(t-2x0)=0.由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,于是t=2x0,故x0=x4,y0=-y2,代入x02+y02=1,可得x216+y24=1,即所求的曲线C的方程为x216+y24=1.()当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有SOPQ=1244=8.当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m(k12),由y=kx+m,x2+4y2=16,消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4(*).又由y=kx+m,x-2y=0,可得P(2m1-2k,m1-2k);同理可得Q(-2m1+2k,m1+2k).由原点O到直线PQ的距离为d=|m|1+k2和|PQ|=1+k2|xP-xQ|,可得SOPQ=12|PQ|d=12|m|xP-xQ|=12|m|2m1-2k+2m1+2k|=|2m21-4k2|(*).将(*)代入(*)得,SOPQ=|2m21-4k2|=8|4k2+1|4k2-1|.当k2>14时,SOPQ=8(4k2+14k2-1)=8(1+24k2-1)>8;当0k2<14时,SOPQ=8(4k2+11-4k2)=8(-1+21-4k2).因为0k2<14,所以0<1-4k21,所以21-4k22,所以SOPQ=8(-1+21-4k2)8,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,SOPQ的最小值为8.综合可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,OPQ的面积取得最小值8.4.()圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由题设知CMMP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.()由()可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-13,故l的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=22,O到l的距离为4105,|PM|=4105,所以POM的面积为165.A组基础题1.A不等式3x2-y2>0(3x-y)(3x+y)>03x-y>0,3x+y>0或3x-y<0,3x+y<0,其表示的平面区域如图D 10-5-1中阴影部分所示.点P(x,y)到直线y=3x和直线y=-3x的距离分别为|PA|=|3x-y|3+1=|3x-y|2,|PB|=|3x+y|3+1=|3x+y|2,由题意知AOB=120,APB=60,SPAB=12|PA|PB|sin 60=343x2-y24,又SPAB=3316,343x2-y24=3316,3x2-y2=3,即x2-y23=1,P点轨迹是双曲线,其焦点为(2,0),故选A.图D 10-5-12.(1)由椭圆的定义,可知点M的轨迹是以F1,F2为焦点,42为长轴长的椭圆.由c=2,a=22,得b=2.故动点M的轨迹C的方程为x28+y24=1.(2)当直线l的斜率存在时,设其方程为y+2=k(x+1),由x28+y24=1,y+2=k(x+1)得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0.=4k(k-2)2-4(1+2k2)(2k2-8k)>0,则k>0或k<-47.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4k(k-2)1+2k2,x1x2=2k2-8k1+2k2.从而k1+k2=y1-2x1+y2-2x2=2kx1x2+(k-4)(x1+x2)x1x2=2k-(k-4)4k(k-2)2k2-8k=4.当直线l的斜率不存在时,得A(-1,142),B(-1,-142),所以k1+k2=4.综上,恒有k1+k2=4.3.(1)设C(m,0),D(0,n),P(x,y).由CP=2 PD,得(x-m,y)=2(-x,n-y),所以x-m=-2x,y=2(n-y),解得m=(2+1)x,n=2+12y,由|CD|=2+1,得m2+n2=(2+1)2,所以(2+1)2x2+(2+1)22y2=(2+1)2,整理,得曲线E的方程为x2+y22=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由OM=OA+OB,知点M坐标为(x1+x2,y1+y2).由题意知,直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+1,代入曲线E的方程,得(k2+2)x2+2kx-1=0,则x1+x2=-2kk2+2,x1x2=-1k2+2.y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2.由点M在曲线E上,知(x1+x2)2+(y1+y2)22=1,即4k2(k2+2)2+8(k2+2)2=1,解得k2=2.这时|AB|=1+k2|x1-x2|=3(x1+x2)2-4x1x2=322,原点到直线AB的距离d=11+k2=33,所以平行四边形OAMB的面积S=|AB|d=62.B组提升题4.x24+y2=1(y0)设点M(x,y),C(2,m),D(-2,n),则直线CD的方程为(m-n)x-4y+2(m+n)=0,因为直线CD与圆x2+y2=4相切,所以2|m+n|(m-n)2+16=2,所以mn=4,又直线AC与BD的交点为M,所以yx+2=y-mx-2,yx-2=y-nx+2,解得m=4yx+2,n=-4yx-2,所以-16y2x2-4=4,所以点M的轨迹方程为x24+y2=1(y0).5.(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线,所以|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=22>|CA|=2,所以点Q的轨迹是以点C,A为焦点,焦距为2,长轴长为22的椭圆,所以a=2,c=1,b=a2-c2=1,故点Q的轨迹方程是x22+y2=1.(2)设直线l:y=kx+t,F(x1,y1),H(x2,y2),直线l与圆x2+y2=1相切|t|k2+1=1t2=k2+1.联立直线l与点Q的轨迹方程,得x22+y2=1,y=kx+t(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-2)=8(2k2-t2+1)=8k2>0k0,x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-21+2k2,所以OFOH=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=(1+k2)(2t2-2)1+2k2+kt-4kt1+2k2+t2=(1+k2)2k21+2k2-4k2(k2+1)1+2k2+k2+1=1+k21+2k2,所以341+k21+2k24513k21233|k|22,所以-22k-33或33k22.故k的取值范围是-22,-3333,22.6.(1)设M(x,y),x>0,由题意可知,A(1-r,0),记AM的中点为D,则D(0,y2),因为C(1,0),DC=(1,-y2),DM=(x,y2).在圆C中,易知CDDM,所以DCDM=0,所以x-y24=0,即y2=4x(x>0),所以点M的轨迹E的方程为y2=4x(x>0).(2)以点B为圆心,线段BC的长为半径的圆与直线MN相切.证明如下:设直线MN的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),直线BN的方程为y=k(x-y224)+y2.联立,得x=my+1,y2=4x,消去x,得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4.由(1)知,r-1=x1,则点A(-x1,0),所以直线AM的方程为y=y12x1(x+x1),又y12=4x1(x1>0),可得y=2y1x+y12.联立,得y=k(x-y224)+y2,y2=4x,消去x,得ky2-4y+4y2-ky22=0,由=0,可得k=2y2,所以直线BN的方程为y=2y2x+y22.联立,得y=2y1x+y12,y=2y2x+y22,解得xB=-1,yB=y12-42y1=y12+y1y22y1=y1(y1+y2)2y1=4my12y1=2m,所以点B(-1,2m),|BC|=4+4m2,点B到直线MN的距离d=|2+2m2|m2+1=4m2+4=|BC|,所以以点B为圆心,线段BC的长为半径的圆与直线MN相切.
