2022年正弦定理和余弦定理高考数学总复习高中数学课时训.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载正弦定理和余弦定理1. （ 2022· 陕西理, 3） ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、 c,如 c=2 , b=6 ,B=120° , 就a= . 答案2a、b、c,如（ a 2+c 2- b 2）tan B=3 ac,就角2. （2022· 福建理, 10）在 ABC中, 角 A、B、C的对边分别为B 的值为 . 答案3或2 . 33. 以下判定中不正确的结论的序号是 ABC中, a=7,b=14,A=30° , 有两解 ABC中, a=30, b=25, A=150° ,有一解 ABC中, a=6, b=9,A=45° ,有两解 ABC中, b=9, c=10, B=60° , 无解 答案 4. 在 ABC中, A=60° , AB=5,BC=7,就 ABC的面积为 . 答案 103a、b、 c. 如（3 b- c）cosA=acosC,就5. （ 2022· 浙江理, 13） 在 ABC中,角 A、B、C 所对的边分别为cosA= . 答案3 33 , b=2 , B=45° , 求 A、 C和 c. 例 1 在 ABC中,已知 a=解B=45° 90° 且 asin Bb a, ABC有两解 . 由正弦定理得 sin A= asin B = 3 sin 45 = 3 , b 2 2 就 A 为 60° 或 120° . 当 A=60° 时, C=180° - A+B=75 ° , c=bsinC=2sin75=2sin4530=622. sinBsin45sin45当 A=120° 时, C=180° - A+B=15 ° , 名师归纳总结 c=bsinC=2sin15=2sin4530=622. 第 1 页,共 8 页sinBsin45sin45- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故在 ABC中, A=60° , C=75° , c=622学习必备欢迎下载或A=120° , C=15° , c=622. cosB=-2bc. 例 2在 ABC中, a、 b、c 分别是角 A, B,C的对边,且cosCa（1）求角 B 的大小；（2）如 b=13 , a+c=4,求 ABC的面积 . a, b, c,且 b 2+c2- a2+bc=0. 解（1）由余弦定理知：cosB=a2c2b2,2accosC=a2b2c2. 2 ab将上式代入cosB=-2bc得: cosCaa2c2b2·a22abc2=-bc2acb22 a整理得 : a 2+c2- b 2=- accosB=a2c2b2=2ac =-12 acac2B 为三角形的内角,B=2. 3（2）将 b=13 , a+c=4, B=2代入3b 2=a2+c2-2 accos B, 得 b2= a+c2-2 ac-2 accos Bb2=16-2 ac11, ac=3. 2S ABC=1 acsin B= 233. 4例 3（14 分） ABC中,角 A,B, C的对边分别为（1）求角 A 的大小；名师归纳总结 （2）如 a=3 ,求 bc 的最大值；分第 2 页,共 8 页（3）求asin30cC的值 . b解（1） cosA=b2c2a2=bc=-1 , 2 22bc2 bc又 A（ 0° , 180° ）, A=120° . 4分（2）由 a=3 , 得 b2+c2=3- bc, 分又 b 2+c22bc（当且仅当 c=b 时取等号）,3- bc 2bc 当且仅当 c=b 时取等号） . 6即当且仅当 c=b=1 时, bc 取得最大值为1. 8分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）由正弦定理得：aAbBcC学习必备欢迎下载2R, sinsinsinasin30cC2RsinAsin30Ca 2+b2）sin （A-B） = 10 分b2 RsinB2 RsinC=sinAsin30CC 11分sinBsin=31cos C3 2sinC 1222分sin60CsinC=3cos C3 4sinC 13分43cos C3 2sinC2分=1 . 14 2例 4在 ABC中, a、 b、c 分别表示三个内角A、 B、C的对边,假如（a2- b 2） sin （A+B）,判定三角形的外形. 解方法一已知等式可化为a 2sin （A-B） -sin （A+B） =b2-sin （ A+B）-sinA- B 2a 2cosAsin B=2b2cosBsin A由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsin B=sin2BcosBsin Asin Asin Bsin AcosA-sin BcosB=0 sin2 A=sin2 B, 由 02A,2 B2 得 2A=2B 或 2A=-2 B, 即 A=B或 A=- B, ABC为等腰或直角三角形 . 2 方法二 同方法一可得 2a 2cosAsin B=2b 2sin AcosB 由正、余弦定理 , 可得a 2bb2c2a2= b2aa2c2. b22 bc2aca2 b 2+c2- a 2= b 2 a 2+c2- b2 即 a 2- b2 a 2+b 2- c2=0 a=b 或 a 2+b2=c2 ABC为等腰或直角三角形1. （ 1） ABC中, a=8, B=60° , C=75° , 求 b; 2 ABC中, B=30° , b=4, c=8, 求 C、A、 a. 解 （1）由正弦定理得aAbB. sinsinB=60° , C=75° , A=45° , 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - b=asinB8sin60=46 . 学习必备欢迎下载sinAsin452 由正弦定理得sin C=csinB8sin30=1. b4又 30° C150° , C=90° . A=180° - B+C=60 ° , a=c2b2=43 . a, b, c, 如 ABC的面积为 S,且 2S=（ a+b）2- c2,求 tan C2. 已知 ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为的值 . 解 依题意得 absin C=a 2+b 2- c 2+2ab, 由余弦定理知 , a 2+b 2- c 2=2abcosC. 所以 , absin C=2ab1+cos C, 即 sin C=2+2cos C, 所以 2sinC cos 2C =4cos 22Ca、b、c. 已知 c=2, C=3. 2化简得： tanC =2. 2从而 tan C=12tanC=-4 . 32 2 Ctan23. （ 2022· 辽宁理, 17） 在 ABC中,内角 A、B、C 对边的边长分别是（1）如 ABC的面积等于3 ,求 a、 b 的值；（2）如 sin C+sin B-A=2sin2 A, 求 ABC的面积 . 解 （1）由余弦定理及已知条件,得 a 2+b 2- ab=4. 又由于ABC的面积等于 3 ,所以 1 absin C= 3 ,所以 ab=4. 2联立方程组 a 2 b 2 ab ,4 解得 a 2. ab ,4 b 2（2）由题意得 sin B+A+sin B- A=4sin AcosA, 即 sin Bcos A=2sin AcosA, 名师归纳总结 当 cos A=0 时, A=2,B=6,a=433,b=23 3. 第 4 页,共 8 页当 cos A 0 时,得 sin B=2sin A, 由正弦定理得b=2a, 联立方程组a22b2ab,4解得a233,ba ,b433.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 ABC的面积 S=1 absin C= 2233. 学习必备欢迎下载4. 已知 ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,如 a、b、c 成等差数列,且2cos2 B-8cos B+5=0,求角 B的大小并判定ABC的外形 . 解方法一2cos2 B-8cos B+5=0, 22cos2B-1-8cos B+5=0. 4cos2B-8cos B+3=0, 即2cos B-12cos B-3=0. 解得 cosB=1 或 cos B= 23 （舍去） . cos B= 21 . 20B, B=3. a,b, c 成等差数列, a+c=2b. cosB=a2c2b2=a2c22a2c2=1 ,22 acac化简得 a2+c2-2 ac=0, 解得 a=c. 又 B=3, ABC是等边三角形 . 方法二2cos2 B-8cos B+5=0,2（2cos2B-1 ）-8cos B+5=0. 4cos2B-8cos B+3=0,即2cos B-12cos B-3=0. 解得 cosB=1 或 cos B= 23 （舍去） . 23=3 . cosB=1 , 0B2, B=3, a, b, c 成等差数列,a+c=2b. 由正弦定理得sin A+sin C=2sin B=2sinsin A+sin2A=3 ,3 . 6 =1. 3sin A+sin2cosA-cos2sinA=33化简得3 sin A+ 23 cosA= 23 , sinAA+6=2, A=3, C=3, ABC为等边三角形 . 一、填空题名师归纳总结 1. 在 ABC中,如 2cosBsin A=sin C, 就 ABC肯定是三角形 . 第 5 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案等腰学习必备欢迎下载2. 在 ABC中, A=120° , AB=5, BC=7,就 sin B 的值为 . sin C答案 353. 已知 ABC的三边长分别为 a, b, c, 且面积 S ABC= 1 （b 2+c 2-a 2）,就 A= . 4答案 45°4. 在 ABC中, BC=2,B=,如 ABC的面积为 3 ,就 tan C为 . 3 2答案 335. 在 ABC中, a 2- c 2+b 2=ab, 就 C= . 答案 60 °6. ABC中,如 a4+b4+c4=2c2 a 2+b 2, 就 C= . 答案 45 ° 或 135°7. 在 ABC中,角 A,B,C所对的边分别为a, b, c,如 a=1, b=7 , c=3 , 就 B= . 3 千米,答案5 68. 某人向正东方向走了x 千米,他右转150° ,然后朝新方向走了3 千米,结果他离动身点恰好那么 x 的值是 . 答案3 或 23二、解答题9. 在 ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a, b, c,并且 a 2=b b+c. （1）求证： A=2B；（2）如 a= 3 b, 判定 ABC的外形 . （1）证明 由于 a 2=b b+c ,即 a 2=b 2+bc, 所以在ABC中,由余弦定理可得 , cosB= a 2 c 2 b 2= c 2 bc = b c2 ac 2 ac 2 a= a 2= a = sin A , 2 ab 2 b 2 sin B所以 sin A=sin2 B, 故 A=2B. （2）解由于 a=3 b, 所以a = b23 , 3 , 2由 a2=b b+c 可得 c=2b, =cosB=a2c2b2=3b244 b2b2 ac3 b2所以 B=30° , A=2B=60° , C=90° . 所以 ABC为直角三角形 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载10. （2022· 全国理, 17）在 ABC中, cosB=-5 , cosC= 4 . 13 5（1）求 sin A 的值；（2） ABC的面积 S ABC=33 ,求 BC的长 . 22-2c2b2 x -b=0 ac b 的两根之差的平方等解 1由 cosB=-5 , 得 sin B= 1312 , 13由 cos C=4 , 得 sin C= 53 . 5所以 sin A=sin B+C=sin Bcos C+cos Bsin C=33 . 652 由 S ABC=33 , 得 21 × AB× AC× sin A= 233 . 2由1 知 sin A=33 , 故 AB× AC=65. 65又 AC=ABsinB=20 AB, 13sinC故20 AB 2=65, AB=1313 . 2所以 BC=ABsinA=11 . 2sinC11. 已知 a、 b、c 是 ABC的三边长,关于x 的方程 ax于 4, ABC的面积 S=103 , c=7. （1）求角 C；（2）求 a,b 的值 . 解 （1）设 x1、x2为方程 ax2-2c2b2x- b=0 的两根,就 x 1+x2=2c2b2, x1·x2=-b . a+4 b=4. a x1- x 22= x 1+x22-4 x 1x2=4c22b2aaa2+b 2- c2=ab. 又 cos C=a2b2c2=ab=1 , 22ab2ab又 C 0 ° ,180 ° , C=60° . 名师归纳总结 2 由 S=1 absin C=10 23 , ab=40. 第 7 页,共 8 页由余弦定理 c2=a 2+b 2-2 abcosC, 即 c2= a+b2-2 ab1+cos60 ° . 72= a+b2-2 × 40×11. 2a+b=13. 又 a b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由,得a=8, b=5. 学习必备欢迎下载12. （ 2022· 广东五校联考）在 ABC 中,角A、B、 C 的对边分别为a、b、 c,已知a+b=5, c=7 ,且4sin2A2B-cos2 C=7 . 21 求角 C 的大小；（2）求 ABC的面积 . 解 （1） A+B+C=180° , 由 4sin2A2B-cos2 C=7 , 21 , 2得 4cos2C -cos2 C= 27 , 24·1cosC -2cos2C-1=7 , 22整理 , 得 4cos2C-4cos C+1=0, 解得 cosC=0° C180° , C=60° . 2 由余弦定理得 c 2=a 2+b 2-2 abcos C, 2- ab, 7= a+b 2-3 ab,即 7=a 2+b 由条件 a+b=5, 得 7=25-3 ab, ab=6, 名师归纳总结 S ABC=1 absin C= 21 × 6×23 = 233. 第 8 页,共 8 页2- - - - - - -