2022年概率与统计3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第十一讲 概率与统计 高考在考什么【考题回放】1<重庆卷） 从 5 张 100 元, 3 张 200 元, 2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张,就所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为 < ）A B C D解：可从对立面考虑,即三张价格均不相同,选 C 2<辽宁卷） 一个坛子里有编号为 1,2, , 12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球是红球,其余的是黑球 . 如从中任取两个球,就取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码是偶数的概率是 < ）ABCD解：从中任取两个球共有 种取法,其中取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码是偶数的取法有 种取法,概率为,选 D. 3 广东卷 >甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球,乙袋装有1 个红球、 5 个白球；现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球,就取出的两球是红球的概率为 _ 答案用分数表示 > 解： P= =4 上海卷 > 在五个数字 中,如随机取出三个数字,就剩下两个数字都是奇数的概率是 < 结果用数值表示）解：=5. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是,他投球 10 次,恰好投进 3 个球的概率为<用数值作答）解：由题意知所求概率6 全国 II> 在某项测量中,测量结果 听从正态分布如 在内取值的概率为 0.4 ,就 在 内取值的概率为解：在某项测量中,测量结果 听从正态分布 N<1,2）< >0）,正态分布图象的对称轴为 x=1, 在<0, 1）内取值的概率为 0.4 ,可知,随机变量 在1 ,2>内取值的概率于 在0 ,1>内取值的概率相同,也为 0.4 ,这样随机变量 在0 ,2>内取值的概率为 0.8 ；1 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高考要考什么1.<1 ）直接利用四种基本领件的概率基本原理,求大事发生的概率<2）把方程思想融入概率问题,解决实际问题<3）把概率问题与数列结合起来,运用数列方法解决概率问题2离散型随机变量的分布列；1> 分布列：设离散型随机变量 可能取的值为 x1, x2, , xi , , 取每一个值 xi <i =1,2, ）的概率 P< =xi ） Pi ,就称下表为随机变量 的概率分布,简称为 的分布列2> 分布列的性质：由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： <1> Pi0,i 1, 2, ； <2> P1P2 =13> 二项分布：假如在一次试验中某大事发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中这个大事恰好发生 k 次的概率是,其中 k=0,1, , nq=1p,于是得到随机变量 的概率分布如下：我们称这样的随机变量 听从二项分布,记作 B<n,p）其中 n,p 为参数,记 =b k； n,p>. <4）离散型随机变量 的期望： E =x1p1+x2p2+ +xipi+ 的 概 率 用表 示 , 即 ：<5）离散型随机变量 的方差：3. 如 标 准 正 态 分 布总 体 取 值 小 于 突 破 重 难 点【范例 1】某批产品成箱包装,每箱5 件一用户在购进该批产品前先取出3 箱,再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有0 件、 1 件、 2 件二等品,其余为一等品<）用 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数,求 的分布列及 的数学期望；<）如抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品级用户2 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 拒绝的概率解1>, , 所以的分布列为0 1 2 3 P 的数学期望 E >=2>P >=分析提示： 此题以古典概率为背景,其关键是利用排列组合的方法求出 m,n,主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率；变式： 袋中装着标有数学 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球,按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求：<1）取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；2> 随机变量 的概率分布和数学期望；3> 计分介于 20 分到 40 分之间的概率解： <I ）解法一：“ 一次取出的3 个小球上的数字互不相同” 的大事记为,就解法二：“ 一次取出的3 个小球上的数字互不相同的大事记为A” ,“ 一次取出的3 个小球上有两个数 字 相同 ” 的 大事 记为, 就 大事和 事 件是 互斥事 件 ,因 为, 所以<II ）由题意有可能的取值为：2,3,4, 5所以随机变量的概率分布为因此的数学期望为2 3 4 5 <）“ 一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间” 的大事记为,就【范例 2】甲、乙、丙 3 人投篮 , 投进的概率分别是 错误 ., 错误 . , 错误 . 3 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - >现 3 人各投篮 1 次, 求 3 人都没有投进的概率； >用 表示乙投篮3 次的进球数 , 求随机变量的概率分布及数学期望E 解: >记 " 甲投篮 1 次投进 "为大事 A1 , " 乙投篮 1 次投进 " 为大事 A2 , " 丙投篮 1 次投进 " 为事件 A3,"3 人都没有投进 " 为大事 A 就 P A1>= 错误 .,P A2>= 错误 .,P A3>= 错误 ., P A> = P>=P>· P>·P> = 1 P A1> · 1 P A2> · 1 P A3>=1 错误 .>1 错误 .>1 错误 .>=错误 .3 人都没有投进的概率为错误 . < >解法一 : 随机变量 的可能值有 0,1, 2,3, B3 , 错误 .>,P =k>=C3 k 错误 .> k 错误 .> 3k k=0,1, 2,3> , E =np = 3 × 错误 . = 错误 . 解法二 : 的概率分布为 : 0 1 2 3 P错误错误错误错误E =0× 错误 .+1× 错误 .+2× 错误 .+3× 错误 .= 错误 .分析提示： 已知概率求概率,主要运用加法公式<互斥）和乘法公式<独立）以及n 次独立重复试验二项分布）,留意条件和适用的范畴,另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明白；变式： 假设每一架飞机引擎飞机中故障率为 P,且个引擎是否发生故障是独立的,假如有至少 50%的引擎能正常运行,问对于多大的 P 而言, 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全？解 飞机胜利飞行的概率：4 引擎飞机为：2 引擎飞机为：要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全,只要所以【范例 3】某单位有三辆汽车参与某种事故保险,单位年初向保险公司缴纳每辆 900 元的保险金 . 对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位获 9000 元的赔偿 <假设每辆车最多只赔偿一次）；设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为且各车是否发生事故相互独立, 求一年内该单位在此保险中：独立,<1）获赔的概率；4 分> 由题意知,<2）获赔金额的分布列与期望；9 分> 解：设表示第辆车在一年内发生此种事故,且,<）该单位一年内获赔的概率为<）的全部可能值为,4 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,综上知,的分布列为求 的期望有两种解法：解法一：由 的分布列得<元）解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额,就有分布列故同理得,200M. 综上有<元）变式： 猎人在距离100M 处射击一野兔,其命中率为0.5 ,假如第一次射击未中,就猎人进行其次次射击,但距离150M. 假如其次次射击又未中,就猎人进行第三次射击,并且在发射瞬时距离为5 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比,求猎人命中野兔的概率 . 解记三次射击依次为大事A,B,C,其中, 由,求得 k=5000；命中野兔的概率为配套练习1设随机变量听从标准正态分布,已知,D0.975 就=< ）C0.950 A0.025 B0.050 解：听从标准正态分布,选 C 2 以 表示标准正态总体在区间 <）内取值的概率,如随机变量听从正态分布,就概率 等于 <A ）-<B） <C ）<D）解：= =,选 B；3连掷两次骰子得到的点数分别为 和,记向量 与向量的夹角为,就 的概率是 < ）ABCD解：由向量夹角的定义,图形直观可得,当点 位于直线 上及其下方时,满意,点 的总个数为 个,而位于直线 上及其下方的点 有 个,故所求概率,选 C 4将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 < ）6 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个,其中为等差数列有三类：<1）公差为 0 的有 6 个； <2）公差为 1 或-1 的有 8 个； <3）公差为 2 或-2 的有 4 个,共有 18 个,成等差数列的概率为,选 B 5. 15 名新生,其中有 3 名优秀生,现随机将他们分到三个班级中去,每班 5 人,就每班都分到优秀生的概率是6. 如图,已知电路中 3 个开关闭合的概率都是 0.5 ,且是相互独立的,就灯亮的概率为0.625 7. 某商场经销某商品,依据以往资料统计,顾客采纳的付款期数 的分布列为1 2 3 4 5 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品,采纳 1 期付款,其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款,其利润为250 元；分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元表示经销一件该商品的利润<）求大事：“ 购买该商品的 3 位顾客中,至少有 1 位采纳 1 期付款” 的概率；<）求 的分布列及期望解： <）由 表示大事“ 购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采纳 1 期付款” 知 表示大事“ 购买该商品的 3 位顾客中无人采纳 1 期付款”,<）的可能取值为 元,元,元,的分布列为<元）7 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8. 某企业预备投产一批特别型号的产品,已知该种产品的成本与产量的函数关系式为该种产品的市场前景无法确定,有三种可能显现的情形,各种情形发生的概率及产品价格 与产量 的函数关系式如下表所示：市场情形 概率 价格 与产量 的函数关系式好 0.4 中 0.4 差 0.2 设 分别表示市场情形好、中、差时的利润,随机变量,表示当产量为而市场前景无法确定的利润<I ）分别求利润 与产量 的函数关系式；<II ）当产量 确定时,求期望；<III）试问产量 取何值时,取得最大值 >解: 由题意可得L1= q 0> q0>. 同理可得 q0> > 解: 由期望定义可知 > 解: 由 >可知 是产量 q 的函数 , 设得0 解得 舍去 >. 8 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由题意及问题的实际意义 或当 0 q10 时,0；当 q10 时,可知 , 当 q=10 时, f q>取得最大值 , 即最大时的产量q 为 10. 9 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页