2022年极坐标与参数方程经典练习题-带详细解答.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载1极坐标系与直角坐标系 xoy有相同的长度单位,以原点 O为极点,以 x 轴正半轴为x 2 1 t极轴 . 已知直线 l 的参数方程为 2（ t 为参数） ,曲线 C 的极坐标方程为3y t22sin 8cos . （）求 C 的直角坐标方程； （）设直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点,求弦长 | AB .2已知直线 l 经过点 P 1 ,1,倾斜角 ,圆 C的极坐标方程为 2 cos .2 6 41 写出直线 l 的参数方程,并把圆C的方程化为直角坐标方程；2 设 l 与圆 C相交于两点 A、 B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积3（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程x 2 t已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 是 2 t 是参数 , 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为y 2 t 4 222 cos 4（ I ）求圆心 C的直角坐标； 由直线 l 上的点向圆C引切线,求切线长的最小值4已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合,且两坐标系有相同的长度单位,圆 C的参数方程为x112cos（为参数）,y2sin点 Q的极坐标为2 2,7；4（ 1）化圆 C的参数方程为极坐标方程；（ 2）直线 l 过点 Q且与圆 C 交于 M,N 两点,求当弦MN的长度为最小时,直线l的直角坐标方程；名师归纳总结 5在极坐标系中,点M 坐标是,32,曲线 C 的方程为22sin4；以极点第 1 页,共 44 页为坐标原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是1 的直线 l 经过点 M （ 1）写出直线 l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；|的值（ 2）求证直线 l 和曲线 C 相交于两点A、 B ,并求|MA|MB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6（本小题满分10 分）精品资料欢迎下载选修 4-4 坐标系与参数方程x 2 cos在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 1, 为参数 y 2 2 sinM是曲线 C 上的动点,点 P 满意 OP 2 OM,（ 1）求点 P 的轨迹方程 C ；（2）在以 D为极点, X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 与曲线 C ,C 交于不同于原3点的点 A,B 求 AB7在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐 V标方程为 cos =1,M,N分别为曲线 C与 x 轴、 y 轴的交点3（ 1）写出曲线 C的直角坐标方程, 并求 M,N的极坐标；（2）求直线 OM的极坐标方程x 2cos8在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为：（为参数）,以原点为极y 2 sin点, x 轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线 C2是极坐标方程为：cos,1 求曲线 C2 的直角坐标方程；名师归纳总结 2 如 P,Q分别是曲线C1和 C2 上的任意一点,求PQ 的最小值 .t第 2 页,共 44 页9已知圆 C 的极坐标方程为2cos,直线 l 的参数方程为x13t22x11 2t2（ t 为参数）,点 A 的极坐标为2 , 24,设直线 l 与圆 C 交于点 P 、 Q .（ 1）写出圆 C 的直角坐标方程； （2）求 APAQ 的值 . 10已知动点 P ,Q都在曲线 C：x2cost（ 为参数）上,对应参数分别为y2sint- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 与t2（0精品资料欢迎下载 2 ）,M为 PQ的中点；（）求 M的轨迹的参数方程（）将 M到坐标原点的距离 d 表示为 的函数,并判定 M的轨迹是否过坐标原点；x 3cos11已知曲线 C 的参数方程为（为参数）,在同一平面直角坐标系中,将曲y 2sinx 1 x线 C 上的点按坐标变换 3 得到曲线 C （ 1）求曲线 C 的一般方程；1y y2（ 2）如点 A 在曲线 C 上,点 B 3,0 ,当点 A 在曲线 C 上运动时,求 AB 中点 P 的轨迹方程12已知曲线 C 的极坐标方程是2sin,直线 l 的参数方程是x43t2（ t 为5yt5参数） .（ I ）将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（）设直线 l 与 x 轴的交点是M N 为曲线 C 上一动点,求MN 的最大值 .13已知曲线C: sin +=, 曲线 P: 2-4 cos +3=0,1 求曲线 C,P 的直角坐标方程.2 设曲线 C和曲线 P的交点为 A,B, 求 |AB|.名师归纳总结 14极坐标与参数方程：已知点 P 是曲线C:x2cos,为参数,2第 3 页,共 44 页y3 sin上一点, O为原点如直线OP的倾斜角为3,求点 P 的直角坐标15在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为x23sin2,（其中为参y3cos数,R ）,在极坐标系 （以坐标原点 O为极点, 以 x 轴非负半轴为极轴）中,曲线C2的极坐标方程为cos4a - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（ 1）把曲线 C 和 C 的方程化为直角坐标方程；（ 2）如曲线 C 上恰有三个点到曲线 C 的距离为3,求曲线 C 的直角坐标方程216已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 x 3 3cos（为参数）,y 1 3sin以 Ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 cos 0 .6写出直线 l 的直角坐标方程和圆 C 的一般方程；求圆 C 截直线 l 所得的弦长 .17圆 O1和 O2 的极坐标方程分别为 4cos,4sin（ 1）把圆 O1 和 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（ 2）求经过圆O1和 O2 交点的直线的直角坐标方程为参数 , 以坐标原点为极点,x 轴的正18已知曲线C1 的参数方程为t半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2的极坐标方程为.1 把 C1 的参数方程化为极坐标方程;2 求 C1与 C2 交点的极坐标 0,0 <2 .名师归纳总结 19极坐标系的极点是直角坐标系的原点,极轴为x 轴正半轴；已知曲线C 的极坐标第 4 页,共 44 页方程为2cos,曲线C2的参数方程为x23tcos其中 t为参数,为字母常数且0 ,ytsin求曲线C 的直角坐标方程和曲线C2的一般方程；当曲线C 和曲线C2没有公共点时,求的取值范畴；20以坐标原点O为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1的极坐标方程为：=2cos3,曲线 C2 的参数方程为：x4cos3tcos为参数,t0,点 N的y2sin3tsin极坐标为 4,3（）如 M是曲线 C1上的动点,求M到定点 N的距离的最小值；（）如曲线C1 与曲线 C2 有有两个不同交点,求正数t 的取值范畴- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载21以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐极系,并在两种坐极系中 取 相 同 的 长 度 单 位 已 知 直 线 的 极 坐 标 方 程 为4（R ） , 它 与 曲 线x12cos,（为参数）相交于两点A 和 B, 求 AB的长y22sin22选修 44：极坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy中,曲线C 的参数方程为xy3cos,（为参数）,以原点 O 为sin极点, x 轴正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为sin442（ 1）求曲线C 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程；（ 2）设 P 为曲线C 上的动点,求点P 到C 上点的距离的最小值23已知曲线C 的极坐标方程为2cos28,曲线C 的极坐标方程为6,曲线C 、C 相交于 A 、 B 两点 . （R ）（）求 A 、 B 两点的极坐标；（）曲线C 与直线x1t3t（ t 为参数） 分别相交于M ,N两点, 求线段 MN 的长2y12度 .24 在直 角 坐标 系中 , 以 原 点为 极 点 , x 轴 的 正半 轴 为极 轴 建坐 标系 , 已 知 曲线C:sin22 cosa0, 已知过点P2, 4的直线 l 的参数方程为 :x22t,2y42t直线 l 与曲线 C 分别交于M N21 写出曲线 C 和直线 l 的一般方程 ;2 如 |PM|,|MN|,|PN 成等比数列 , 求 a 的值 . 25设直线 l 过点 P 3,3 ,且倾斜角为5.61 写出直线 l 的参数方程；名师归纳总结 2 设此直线与曲线C：x2 cos, 为参数 交于 A,B 两点,求 | PA| · | PB|.第 5 页,共 44 页y4 sin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 26平面直角坐标系中,直线精品资料欢迎下载3 t（ t 为参数）,以坐标原点为极l 的参数方程是xty点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为2 2 2 2cos sin 2 sin 3 0 求直线 l 的极坐标方程； ）如直线 l 与曲线 C 相交于 A B 两点,求 | AB 1x t27 已知直线 l 的参数方程为 2 t 为参数 , 曲线 C 的极坐标方程为y 1 3 t22 2 sin , 直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 , 与 y 轴交于点 P .4（ 1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）求 1 1的值 .PA PBx 4 ,28已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos,曲线 C 的参数方程为 5（ t3y 2 t5为参数）（1）判定 C 与 C 的位置关系；（2）设 M 为 C 上的动点, N 为 C 上的动点,求 MN 的最小值 .x 4 t29已知曲线 C 的参数方程为（ t 为参数）,当 t 0 时,曲线 C 上对应的点y 3 t 1为 P ,以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2 32 . （ 1）求证：曲线 C 的极坐标方程为 3 cos 4 sin 4 0 ；3 sin（ 2）设曲线 C 与曲线 C 的公共点为 A B ,求 PA PB 的值 .30已知曲线 C 的极坐标方程为 4cos,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系,设直名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载x 5 3 t线 l 的参数方程为 2（ t 为参数） . （1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l1y t2的一般方程； （2）设曲线 C 与直线 l 相交于 P Q、 两点,以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形,求该矩形的面积 .31已知直线 l 过点 P 0, 4,且倾斜角为,圆 C 的极坐标方程为 4cos4（ 1）求直线 l 的参数方程和圆 C 的直角坐标方程；（ 2）如直线 l 和圆 C 相交于 A 、 B ,求 | PA | | PB | 及弦长 | AB 的值x 1 1 t32在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 2（ t 为参数）以原点3y t2为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的方程为 2 3sin（）写出直线 l 的一般方程和圆 C 的直角坐标方程；（）如点 P 的直角坐标为 1,0 ,圆 C 与直线 l 交于 A B 两点,求 | PA | | PB 的值33以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位已知：直线l 的参数方程为x11 2t（ t 为参数）,2曲线 C的极坐y3 2t标方程为（ 1sin2 ）221（ 1）写出直线l 的一般方程与曲线C的直角坐标方程；（ 2）设直线 l 与曲线 C相交于 A,B两点,如点P 为（ 1, 0）,求1APBP234在直角坐标系 xoy 中,以原点 o 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已名师归纳总结 知 曲 线C 1的 极 坐 标 方 程 为2122, 直 线 l的 极 坐 标 方 程 为第 7 页,共 44 页sin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载4（）写出曲线 C与直线 l 的直角坐标方程；2 sin cos（）设 Q 为曲线 C上一动点,求 Q点到直线 l 距离的最小值x 2 t cos35 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为： t 为参数,其中y 3 t sinx 2cos0 ,椭圆 M 的参数方程为 为参数 ,圆 C 的标准方程为2 y sin2 2x 1 y 1 . （ 1）写出椭圆 M 的一般方程；（ 2）如直线 l 为圆 C 的切线,且交椭圆 M 于 A B 两点,求弦 AB 的长 .36已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos 4sin以极点为原点,极轴为 x轴的x 1 t cos正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为（ t 为参数）y 1 t sin（ 1）判定直线 l 与曲线 C 的位置关系,并说明理由；名师归纳总结 （ 2）如直线 l 和曲线 C 相交于A B 两点,且AB3 2,求直线 l 的斜率第 8 页,共 44 页37在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为x222t,t为参数）, 在以 O 为yt,极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的方程为122.3sin（ 1）求曲线C 、C 的直角坐标方程；（ 2）（ 2）如 A、B分别为曲线C 、C 上的任意点,求AB 的最小值 .38 已知在直角坐标系xy 中,曲线 C 的参数方程为x22cos（为参数）,y2sin在极坐标系（与直角坐标系x y 取相同的长度单位,且以原点为极点,以x 轴正半轴为极轴）中,直线l 的方程为sin42 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（）求曲线 C 在极坐标系中的方程； （）求直线 l 被曲线 C 截得的弦长39已知曲线 C 的极坐标方程是 4 cos以极点为平面直角坐标系的原点,极轴x 1 t cos为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 直线 l 的参数方程是 t 是参数 y t sin（ 1）写出曲线 C 的参数方程；名师归纳总结 （ 2）如直线 l 与曲线 C 相交于 A 、B 两点,且AB14,求直线 l 的倾斜角的值第 9 页,共 44 页40在直角坐标系中,以原点O为极点, x 轴为正半轴为极轴,建立极坐标系.设曲线C：x3cos（为参数）； 直线l：cossin4.ysin（）写出曲线C 的一般方程和直线l 的直角坐标方程；（）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离 .41在直角坐标系xoy中,直线 l 的参数方程为x31 2t t为参数）,曲线 C的参2y13 2t数方程为x2cos 为参数）. （）将曲线C的参数方程转化为一般方程；y2sin（）如直线l 与曲线 C相交于 A、B 两点,试求线段AB的长 . 42在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立坐标系,已知曲线C的极坐标方程为sin24cos,直线l的参数方程为 : x22t（t为2y42t2参数）,两曲线相交于M N两点 . 求：（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）如P 2, 4求PMPN的值 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 43 在直角坐标系精品资料欢迎下载第 10 页,共 44 页xoy中,直线l的参数方程为yx1 2t3t（t为参数）,如以直角坐2标系xOy的O22点为极点,Ox为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为2cos4直线与曲线 l交于A B 两点,求线段AB的长 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品资料欢迎下载第 11 页,共 44 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载参考答案1 y28x ；（）|AB|32.3【解析】试题分析： 此题考查坐标系和参数方程 . 考查同学的转化才能和运算才能 . 第一问利用互化公式将极坐标方程转化为一般方程；其次问,先将直线方程代入曲线中,整理,利用两根之和、两根之积求弦长 .2 2 2试题解析：（）由 sin 8cos,得 sin 8 cos,即曲线 C 的直角坐标方程为 y 28 x 5 分（）将直线 l 的方程代入y28x ,并整理得,3 t216t640,1 tt216,1 2 t t6433所以|AB| |t 1t2| t1t224t t 1 232 10分3考点： 1. 极坐标方程与一般方程的互化；2. 韦达定理 .2（ 1）x12y121；（2）1 4.222【解析】名师归纳总结 试题分析： （ 1）由参数方程的概念可以写成l的参数方程为x1tcos6,化简为第 12 页,共 44 页2y1tsin6x113t t为参数 ；在2 cos4 两边同时乘以,且2x2 y2,22y1t2 cos x, sin y,x12 y12 1. （2）在 l 取一点,用参数形式表示222x113t,再代入x12y1 221,得到 t2 1 2t 1 40,|PA| · |PB| |t1t 2|22y221t2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载1 . 故点 P 到点 A、B 两点的距离之积为 1 .4 4x 1t cos x 1 3t试题解析： 1 直线 l 的参数方程为 2 6 , 即 2 2 t 为参数 y 1 t sin y 1 1t6 2由 2 cos , 得 cos sin ,所以 2 cos sin ,4 2x 2y 2, cos x, sin y, x 1 2 y 1 2 1.2 2 21 32 把 x2 2 t代入 x 1 2 y 1 2 1.1 2 2 2y 1 t2得 t 2 1 t 10,|PA| · |PB| |t 1t 2| 1 . 故点 P 到点 A、B 两点的距离之积为 1 .2 4 4 4考点： 1. 参数方程的应用；2. 极坐标方程与直角坐标方程的转化 . 3 （I ） 2, 2； 2 62 2【 解 析 】I 把 圆 C 的 极 坐 标 方 程 利 用 2x 2y 2, x cos , y sin 化 成 普通 方 程 , 再 求 其 圆 心 坐 标 .名师归纳总结 （ II ） 设 直 线 上 的 点 的 坐 标 为2t,2t042, 然后依据切线长公式转化为关于t第 13 页,共 44 页22的函数来讨论其最值即可.x2y, （ 2 分）解：（I ）2cos2sin,22cos2sin,圆C的直角坐标方程为x2y22 （ 3 分）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即x22y22精品资料欢迎下载2 （ 5 分）1,圆心直角坐标为2,2222（II ）：直线 l 上的点向圆C 引切线长是8 t40t422426,2t222t24221t22222 （ 8 分）直线 l 上的点向圆C引的切线长的最小值是2612426 （ 10 分）直线 l 上的点向圆C引的切线长的最小值是52 （ 10 分）4（ 1）22cos2sin20 （2）xy0【解析】试题分析：1 先化参数方程为一般方程,然后利用平面直角坐标与极坐标互化公式：0,x2y22,xcos ,ysin即可；（2）先把 Q点坐标化为平面直角坐标,依据圆的相关学问明确：当直线l CQ时, MN的长度最小,然后利用斜率公式求出MN斜率 .试题解析： 1 圆 C 的直角坐标方程为x12y124x2y22x2y22 分名师归纳总结 又x2y22,xcos ,ysin 4分2,-2 ）7 分第 14 页,共 44 页圆 C的极坐标方程为22cos2sin20 5分（2）由于点 Q的极坐标为22,7,所以点 Q的直角坐标为（4就点 Q在圆 C内,所以当直线l CQ时, MN的长度最小又圆心 C（1,-1 ）,k CQ2 11,21直线 l 的斜率k1 9分直线 l 的方程为y2x2,即xy40 10分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载考点：（1）参数方程与一般方程； （2）平面直角坐标与极坐标；（3）圆的性质 .5解：（1）点 M 的直角坐标是 0 , 3 ,直线 l 倾斜角是135, （ 1 分）2直线 l 参数方程是 x t cos 135,即 x2 t, （ 3 分）y 3 t sin 135y 3 2 t22 2 sin 即 2sin cos ,4两边同乘以 得 22 sin cos ,曲线 C 的直角坐标方程2 2曲线 C 的直角坐标方程为 x y 2 x 2 y 0； （5 分）x 2 t（2）2 代入 x 2y 22 x 2 y 0,得 t 23 2 t 3 0y 3 2 t26 0,直线 l 的和曲线 C 相交于两点 A 、 B , （ 7 分）设 t 23 2 t 3 0 的两个根是 t 、t 2,t 1t 2 3,| MA | | MB | | t 1t 2 | 3 （10 分）【解析】略6名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 曲线C 的极坐标方程为8sin精品资料欢迎下载3交于A、 B 两点的极径分别是,它们与射线14sin323 ,28sin343,因此,AB1223也可点评： 此题考查坐标系与参数方程的有关内容,求解时既可以化成直角坐标方程求解,以直接求解（关键要把握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他学问的联系）【解析】略7（ 1）点 M的极坐标为 2,0 ,点 N的极坐标为2 3 ,3 2; （2）0 , R【解析】试题分析：（1）先利用三角函数的差角公式绽开曲线 C的极坐标方程的左式,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 cos =x, sin =y, 2=x 2+y 2,进行代换即得 （2）先在直角坐标系中算出点 M的直角坐标为 2,0 ,再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线 OM极坐标方程即可名师归纳总结 解：（1）由cos3=1,第 16 页,共 44 页3得1 2 cos sin 1,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 曲线 C的直角坐标方程为1x精品资料,欢迎下载3y=122即 x3y 200,2 3,当 0 时, 2,点 M的极坐标为 2,0；当=时,=2 3,点 N的极坐标为2 3 ,3 223（2）由（ 1）得,点 M的直角坐标为 2,0 ,点 N的直角坐标为3直线 OM的极坐标方程为0 , R考点： 1极坐标和直角坐标的互化；2曲线的极坐标方程81 x12y21;2 PQmin71242【解析】试题分析： 1 把cos ,2x22 y 代入曲线 C2是极坐标方程cos中,即可得到曲线 C2 的直角坐标方程；名师归纳总结 2 由已知可知P（2cos,2sin）,C21,0,由两点间的距离公式求出PC 2.的表达第 17 页,共 44 页2式,再依据二次函数的性质,求出PC 的最小值,然后可得PQminPC 2min1 2试题解析： 1cos, 2分x2y2xx12y21. 4分242 设 P（2cos,2sin）,C21,02- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PC22cos122 sin精品资料欢迎下载224cos22cos1 42sin2 6分2cos22cos9 47 2, 8分cos1时,PC2 min2PQmin71. 10分2考点：1. 极坐标方程和直角坐标方程的互化；质.9（ 1）x12y21；（2）1 2.【解析】2. 曲线与曲线间的位置关系以及二次函数的性名师归纳总结 试题分析： （ 1）在极坐标方程2 cos的两边同时乘以,然后由2x2y2,第 18 页,共 44 页cosx 即可得到圆 C 的直角坐标方程； （2）将直线 l 的标准参数方程代入圆的直角坐标方程,消去x 、 y 得到有关 t 的参数方程,然后利用韦达定理求出APAQ 的值 .（1）由2cos,得22cos2x22 y ,cosx ,x2y22x 即x12y21,即圆 C 的直角坐标方程为x12y21；（2）由点 A 的极坐标2 , 24得点 A 直角坐标为1 1 ,2 2,- - - - - - -精选学习资料 - - - -