2022年概率论与数理统计复习笔记.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一. 基本概念随机试验 E:1可以在相同的条件下重复地进行 ;2每次试验的可能结果不止一个 , 并且能事先明确试验的全部可能结果 ; 3进行一次试验之前不能确定哪一个结果会显现 . 样本空间 S: E 的全部可能结果组成的集合 随机大事 大事: 样本空间 S 的子集 . . 样本点 基本领件 :E 的每个结果 . 必定大事 S: 每次试验中肯定发生的大事. 不行能大事 :每次试验中肯定不会发生的大事.二. 大事间的关系和运算1.AB大事 B 包含大事 A 大事 A 发生必定导致大事B 发生. 2.AB和大事 大事 A 与 B 至少有一个发生 . 3. AB=AB 积大事 大事 A 与 B 同时发生 . 4. A- B差大事 大事 A 发生而 B 不发生 . 5. AB= A 与 B 互不相容或互斥 大事 A 与 B 不能同时发生 . 6. AB= 且 AB=S A 与 B 互为逆大事或对立大事 表示一次试验中 A 与 B 必有一个且仅有一个发生 . B=A, A=B . 运算规章 交换律 结合律 安排律 德. 摩根律 A B A B A B A B三. 概率的定义与性质1.定义 对于 E 的每一大事 A 给予一个实数 ,记为 PA,称为大事 A 的概率 . 1非负性 PA0 ; 2归一性或规范性 PS=1 ; 3可列可加性 对于两两互不相容的大事 A 1,A2, A iA j= , i j, i,j=1,2, ,PA1A 2 =P A1+PA 2+2.性质名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 P = 0 , 学习必备欢迎下载PA=0 . 留意: A 为不行能大事2有限可加性对于 n 个两两互不相容的大事A 1,A 2, ,A n , PA1A 2 A n=PA1+PA 2+ +PA n 有限可加性与可列可加性合称加法定理 3如 A B, 就 PAPB, PB- A=PB - PA . 4对于任一大事 A, PA1, PA=1- PA . 5广义加法定理对于任意二大事A,B ,PAB=PA+PB - PAB . 对于任意 n 个大事 A 1,A 2, ,A n PA 1A 2A nin1PA i1ijnPA iAj1ijknPA iAjA k +-1n-1PA1A 2 A n 四.等可能 古典概型1.定义 假如试验 E 满意:1样本空间的元素只有有限个,即 S=e1,e2, ,e n;2 每一个基本领件的概率相等 ,即 Pe1=Pe2= = Pe n .就称试验 E 所对应的概率模型为等可能 古典概型. 2.运算公式 PA=k / n 其中 k 是 A 中包含的基本领件数 , n 是 S 中包含的基本领件总数 . 五.条件概率1.定义 大事 A 发生的条件下大事 B 发生的条件概率 PB|A=PAB / PA PA>0. 2.乘法定理 PAB=PA P B|A PA>0; PAB=PB P A|B PB>0. PA1A 2 A n=PA1PA 2|A1PA 3|A 1A 2 PA n|A1A 2 A n-1 n2, PA1A 2 A n-1 > 0 3. B1,B2, ,B n 是样本空间 S 的一个划分 BiBj= ,i j,i,j=1,2, ,n, B1B2 B n=S ,就当 PB i>0 时,有全概率公式PA=inPBiPAB iiPBiiPAB i. 1当 PA>0, PB i>0 时,有贝叶斯公式 P Bi|A=PAB inPBPAPAB i1六. 大事的独立性名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1.两个大事 A,B, 满意 PAB = PA PB 时,称 A,B 为相互独立的大事 . 1两个大事 A,B 相互独立 PB= P B|A . 2如 A 与 B, A 与 B , A 与 B, , A 与 B 中有一对相互独立 , 就另外三对也相互独立 . 2.三个大事 A,B,C 满意 PAB =PA PB, PAC= PA PC, PBC= PB PC, 称 A,B,C 三事 件两两相互独立 . 如再满意 PABC =PA PB PC,就称 A,B,C 三大事相互独立 . 3.n 个大事 A 1,A 2, ,A n,假如对任意 k 1<kn,任意 1i1<i2< <i kn.有PA i1A i2A ikPA i1PA i2PA ik,就称这 n 个大事 A 1,A 2, ,A n 相互独立 . 其次章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验 E 的样本空间 S=e 上定义的单值实值函数X=X e 称为随机变量 . 2.随机变量 X 的分布函数 Fx=PX x , x 是任意实数 . 其性质为 : 10 Fx 1 ,F-=0,F =1.3Fx右连续 ,即 Fx+0=Fx. 2Fx单调不减 ,即如 x1<x2 ,就 Fx1 Fx 2. 4Px 1<Xx2=Fx 2-Fx1. 二.离散型随机变量 只能取有限个或可列无限多个值的随机变量 1.离散型随机变量的分布律 PX= x k= p k k=1,2, 也可以列表表示 . 其性质为 : 1非负性 0Pk1 ; 2归一性 p k 1 . k 12.离散型随机变量的分布函数 Fx= P 为阶梯函数 ,它在 x=x k k=1,2, 处具有跳动点 ,X k x其跳动值为 p k=PX=x k . 3.三种重要的离散型随机变量的分布1X0-1 分布 PX=1= p ,PX=0=1 p 0<p<1 . 2Xbn,p 参数为 n,p 的二项分布 PX=k= np k1 p n kk=0,1,2, ,n 0<p<1 kk3X 参数为 的泊松分布 PX=k= e k=0,1,2, >0 k .三.连续型随机变量名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.定 义ft学习必备欢迎下载如 果 随 机 变 量X的 分 布 函 数 Fx 可 以 表 示 成 某 一 非 负 函 数fx 的 积 分Fx=xdt,- < x <, 就称 X 为连续型随机变量 ,其中 f x 称为 X 的概率密度 函数. 2.概率密度的性质1非负性fx 0 ; 2归一性fxdx=1 ; / x . 3 Px 1<Xx 2=x 2x 1fxdx; 4如 f x在点 x 处连续 ,就 f x=F留意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零 ,即 PX= a=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布1XU a,b 区间 a,b上的匀称分布fx1 baaxb. ,下,其它02X 听从参数为的指数分布 .fx1ex/如x0 >0. 0如x03XN ,2 参数为, 的正态分布fx 1ex22- <x<, >0. 22特殊, =0, 2 =1 时,称 X 听从标准正态分布 ,记为 XN 0,1,其概率密度x1ex2, 标准正态分布函数x1xet2dt, -x=1- x .2222如 XN ,2, 就 Z=XN 0,1, Px 1<Xx2= x2- x 1. 如 PZ>z = PZ<-z = P|Z|>z /2= ,就点 z ,-z , z / 2 分别称为标准正态分布的上双侧分位点 . 留意：z =1- , z 1- = - z . 四.随机变量 X 的函数 Y= g X 的分布1.离散型随机变量的函数名师归纳总结 X x 1x2x k第 4 页,共 13 页p k p 1p2p kY=gX gx1 gx2 gx k - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如 gx k k=1,2, 的值全不相等 ,就由上表立得 Y=gX 的分布律 . 如 gx k k=1,2, 的值有相等的 ,就应将相等的值的概率相加 2.连续型随机变量的函数,才能得到 Y=gX 的分布律 . 如 X 的概率密度为 f Xx,就求其函数 Y=gX 的概率密度 f Yy常用两种方法：1分布函数法 先求 Y 的分布函数 FYy=PY y=PgX y= k y f X x dxk其中 ky是与 gXy 对应的 X 的可能值 x 所在的区间 可能不只一个 ,然后对 y 求导即得f Yy=F Y /y . 2公式法 如 gx到处可导 ,且恒有 g /x>0 或 g / x<0 ,就 Y=g X 是连续型随机变量 ,其概率密度为 f Y y f X h y0 h y其它 y其中 hy是 gx的反函数 , = min g -,g = max g - ,g . 假如 f x在有限区间 a,b以外等于零 ,就 = min g a,g b = max g a,g b . 第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 如 X 和 Y 是定义在样本空间 S上的两个随机变量 ,就由它们所组成的向量 X,Y 称为二维随机向量或二维随机变量 . 对任意实数 x,y,二元函数 Fx,y=PX x,Yy 称为X,Y 的X 和 Y 的联合 分布函数 . 2.分布函数的性质1Fx,y分别关于 x 和 y 单调不减 . 20Fx,y1 , Fx,-=0, F-,y=0, F-,-=0, F , =1 . 3 Fx,y关于每个变量都是右连续的,即 Fx+0,y= Fx,y, Fx,y+0= Fx,y . 4对于任意实数 x 1<x 2 , y 1<y 2 Px 1<Xx 2 , y 1<Yy 2= Fx 2,y2- Fx 2,y1- Fx1,y2+ Fx1,y1 二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义如随机变量 X,Y 只能取有限对或可列无限多对值x i,y j i ,j =1,2,称X,Y 为二名师归纳总结 第 5 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 维离散型随机变量 .并称 PX= x i,Y= y j = p i j 为X,Y 的联合分布律 .也可列表表示 . 2.性质1非负性 0p i j1 . 2归一性ijp ij1 . xixyjyp ij3. X,Y 的X 和 Y 的联合 分布函数 Fx,y=三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义假如存在非负的函数f x,y, 使对任意的 x 和 y,有 Fx,y=yxfu,vdudv就称X,Y 为二维连续型随机变量 ,称 fx,y 为X,Y 的X 和 Y 的联合 概率密度 . 2.性质 1非负性f x,y 0 . 2归一性,2Fx,y fx,y d x d y1. 3如 f x,y 在点x,y连续,就fx,yyxyGfx,y dxdy . 4如 G 为 xoy 平面上一个区域 ,就PxG四.边缘分布1. X,Y 关于 X 的边缘分布函数FX x = PX x , Y<= F x , . X,Y 关于 Y 的边缘分布函数FY y = PX<, Yy= F ,y 2.二维离散型随机变量 X,Y 关于 X 的边缘分布律PX= x i = j1p = p i·ij i =1,2, 归一性ij1ipj1. 关于 Y 的边缘分布律PY= y j = i1p = p·j ij j =1,2, 归一性1p1. 3.二维连续型随机变量 X,Y 关于 X 的边缘概率密度f X x=fx,y dy归一性f Xx dx11关于 Y 的边缘概率密度f Y y=fx,y dx归一性fYy dy五.相互独立的随机变量1.定义如对一切实数 x,y,均有 Fx,y= F X x FY y ,就称 X 和 Y 相互独立 . 第 6 页,共 13 页2.离散型随机变量 X 和 Y 相互独立p i j= p i ··p· j i ,j =1,2, 对一切 xi,yj 成立 . 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3.连续型随机变量 X 和 Y 相互独立 六条件分布 1二维离散型随机变量的条件分布f x,y=f X xf Y y对X,Y 全部可能取值 x,y 都成立 . 定义 设X,Y 是二维离散型随机变量 ,对于固定的 j,如 PY=y j>0, 就称P X x i , Y y j p i jPX=x i |Y=yj ,P Y y j p j为在 Y= y j 条件下随机变量 X 的条件分布律 . 同样,对于固定的 i,如 PX=x i>0, 就称PY=y j|X=x i P Xx i,Yyjp ij,P Xx ip i为在 X=x i 条件下随机变量 Y 的条件分布律 . 第四章 随机变量的数字特点一.数学期望和方差的定义随机变量 X 离散型随机变量连续型随机变量分布律 PX=x i= p i i =1,2, 概率密度 f x 数学期望 均值EX ix 1ip i级数肯定收敛 xfx dx 积分肯定收敛 方差 DX=EX-EX2 i1x iEX2p ixEX2fxdx=EX2-EX2级数肯定收敛 积分肯定收敛 函数数学期望 EY=EgX i1g x ip i级数肯定收敛 g xfx dx积分肯定收敛 标准差X= DX . 二.数学期望与方差的性质1. c为为任意常数时 , Ec = c , EcX = cEX , Dc = 0 , D cX = c 2 DX . 2.X,Y 为任意随机变量时 , E X± Y=EX ± EY . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3. X 与 Y 相互独立时 , EXY=EXEY , 4. DX = 0 PX = C=1 ,C 为常数 . DX ± Y=DX+DY . 三.六种重要分布的数学期望和方差EX DX 1.X 0-1分布 PX=1= p 0<p<1 p p 1- p 2.X b n,p 0<p<1 n p n p 1- p 3.X 4.X Ua,b 的指数分布a+b/2 b-a 2/12 5.X 听从参数为2 6.X N ,2 2 四.矩的概念随机变量 X 的 k 阶原点 矩 EX k k=1,2,随机变量 X 的 k 阶中心矩 EX-EX k 随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合矩 EX kY l l=1,2,随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩 EX-EX k Y-EY l 第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体 X 即随机变量 X ; 样本 X 1 ,X 2 , ,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量 ;样本值x1 ,x2 , ,x n 为实数 ;n 是样本容量 . 统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数 .如：样本均值 X 1 nX i 样本方差 S 2 1 nX i X 2样本标准差 S n i 1 n 1 i 1样本 k 阶矩 A k 1 nX i k k=1,2, 样本 k 阶中心矩 B k 1 n X i X k k=1,2, n i 1 n i 1二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体 X 听从什么分布 , E X = EX , D X = DX / n . 名师归纳总结 第 8 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载特殊,如 X N , 2 ,就 X N , 2 /n . n2. 2分布 1定义 如 XN 0,1 ,就 Y = X i 2 2n自由度为 n 的 2 分布. i 12性质 如 Y 2n,就 EY = n , DY = 2n . 如 Y 1 2n1 Y2 2n2 ,就 Y 1+Y 2 2n1 + n2. 如 X N , 2 , 就 n 12 S 2 2n-1,且 X 与 S 2 相互独立 . 3分位点 如 Y 2n,0< <1 ,就满意P Y 2 n P Y 1 2 n P Y 2/ 2 n Y 1 2/ 2 n 的点 2 n , 1 2 n , 2/ 2 n 和 1 2/ 2 n 分别称为 2 分布的上、下、双侧 分位点 . 3. t 分布1定义 如 XN 0,1 ,Y 2 n,且 X,Y 相互独立 ,就 t= X tn自由度为 n 的 t 分布. Y n2性质 n时 ,t 分布的极限为标准正态分布 . XN , 2 时, X t n-1 . S n两个正态总体 相互独立的样本 样本均值 样本方差X N 1, 1 2 且 1 2= 2 2= 2 X 1 ,X2 , ,X n1 X S1 2 Y N 2, 2 2 Y 1 ,Y2 , ,Y n2 Y S2 2就 X Y 1 2 t n1+n2-2 , 其中 Sw 2 n 1 1 S 1 2 n 2 1 S 2 2S w 1 1 n 1 n 2 2n 1 n 23分位点 如 t t n ,0 < <1 , 就满意P t t n P t t n P t t / 2 n 的点 t n , t n , t / 2 n 分别称 t 分布的上、下、双侧 分位点 . 留意: t 1- n = - t n. 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4.F 分布1定义 如 U2n1, V 学习必备欢迎下载Un 1Fn1,n 2自由度为2n2, 且 U,V 相互独立 ,就 F =Vn2n1,n2的 F 分布. 2性质条件同 3.2 S 1 221S 2 222Fn1-1,n2-1 分别称为F 分布的上、下、双侧3分位点如 F Fn1,n2 ,0< <1,就满意PFFn1,n2PFF1n 1,n2PFF/2n 1,n 2FF 1/2n 1,n 2的点Fn 1,n 2,F1n 1,n 2,F/2n 1,n 2和F1/2n 1,n 2分位点 . 留意: F1n 1,n2F1.n 1.n2第七章参数估量一.点估量总体 X 的分布中有 k 个待估参数1, 2, , k. X 1 ,X2 , ,X n 是 X 的一个样本 , x1 ,x2 , ,x n 是样本值 . 1.矩估量法111,2,k111,2,k, 先求总体矩221,2,k解此方程组 ,得到221,2,kkk1,2,kkk1,2,k, 1A 1,A 2,A k1以样本矩 A l 取代总体矩 l l=1,2, ,k得到矩估量量2A 1,A 2,A k2如代入样本值就得到矩估量值. ,kA 1,A 2,A kk2.最大似然估量法如总体分布形式 可以是分布律或概率密度为 px, 1, 2, , k,称样本 X 1 ,X 2 , ,X n 的联名师归纳总结 第 10 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 合 分 布L学习必备欢迎下载1,2,kin1p xi,1,2,k为 似 然 函 数 .取 使 似 然 函 数 达 到 最 大 值 的1,2,k,称为参数1, 2, ,k的最大似然估量值 ,代入样本得到最大似然估量量. 如 L 似然方程组1, 2, , k关于1, 2, , k 可微,就一般可由L0或 对数似然方程组lnL0i =1,2, ,k 求出最大似然估量 . ii3.估量量的标准1 无偏性 如 E = ,就估量量 称为参数 的无偏估量量 . 不论总体 X 听从什么分布 , E X = EX , ES2=DX, EA k= k=EX k,即样本均值 X , 样本方差 S2,样本 k 阶矩 A k 分别是总体均值 EX, 方差 DX, 总体 k 阶矩 k的无偏估量 ,2有效性 如 E 1=E 2= , 而 D 1< D 2, 就称估量量 1比 2有效. P3一样性 相合性 如 n时 , ,就称估量量 是参数 的相合估量量 . 二.区间估量1.求参数 的置信水平为 1-的双侧置信区间的步骤1查找样本函数 W=WX 1 ,X 2 , ,X n, ,其中只有一个待估参数 未知,且其分布完全确定 . 2利用双侧 分位点找出 W 的区间 a,b,使 Pa<W <b=1 -. 3由不等式 a<W<b 解出 就区间 , 为所求 . 2.单个正态总体待估参数其它参数W 及其分布n置信区间/2 21 第 11 页,共 13 页2 已知XnN 0,1 Xnz2 2 未知Xn t n-1 XSt/2n1 Sn1 Sn1 S2 2n-1 2 21 S2,n未知名师归纳总结 2/n1 2 1/2n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3.两个正态总体1均值差 1- 21 n 2其它参数W 及其分布置信区间1, 22 2XY2 112 22 N0,1 XYz22 12 2已知n 1n 2n 1n 22 122 2XSY112tn1+n2-2 XYt2n 1n 22S w1w1n 1未知n 1n 2/2 改为,另其中 Sw 等符号的意义见第六章二. 3 2. 2 1, 2 未知, W=S 1 2S2 2 Fn1-1,n2-1,方差比1 2/22的置信区间为2 12 2S 1 2F/2n 11,1n21 ,S 1 2F1/2n 11,1n 21 S2 2S 2 2留意:对于单侧置信区间 ,只需将以上所列的双侧置信区间中的上下限中的下标外的下 上限取为 - 即可 . 第 12 页,共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 13 页,共 13 页- - - - - - -