2022年概率论与数理统计考试试卷与答案.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 0506 一.填空题（每空题 2 分,共计 60 分）1、A、B 是两个随机大事, 已知 p A 0 4. , P B 0 . 5 , p A B 0.3,就 p A B 0.6 , p A-B 0.1 ,P A B = 0.4 , p A B 0.6；2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只；（1）从中不放回地任取 2 只,就第一次、其次次取红色球的概率为：1/3 ；（2）如有放回地任取 2 只,就第一次、其次次取红色球的概率为：9/25 ；（3）如第一次取一只球观查球颜色后,追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后,再取其次只,就第一次、其次次取红色球的概率为：21/55 ；3、设随机变量 X 听从 B（2,0.5）的二项分布,就 p X 1 0.75, Y 听从二项分布 B98, 0.5, X 与 Y 相互独立 , 就 X+Y 听从 B100,0.5,EX+Y= 50 ,方差 DX+Y= 25 ；4、甲、乙两个工厂生产同一种零件, 设甲厂、乙厂的次品率分别为 0.1、0.15现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件；（1）抽到次品的概率为：0.12 ；0.5 （2）如发觉该件是次品,就该次品为甲厂生产的概率为：0 1 5 、 设 二 维 随 机 向 量X,Y的 分 布 律 如 右 , 就a0.1, XEX0.4,X与Y的协方差为 : - 0.2 ,Y-1 0.2 0.3 ZXY2的分布律为 : z1 2 1 0.4 a概率0.6 0.4 2X4 0.815 ,6、如随机变量X N2,4且10.8413,20.9772,就P 名师归纳总结 Y2X,1就YN5 , 16 ）；第 1 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7、随机变量 X、Y 的数学期望 EX= -1,EY=2, 方差 DX=1 ,DY=2, 且X、Y 相互独立,就：E 2 X Y - 4 ,D 2 X Y 6 ；8、设 D（X）25,D（Y）1,Cov X , Y 2,就 D（X Y）30 9、设 X 1 , , X 26 是总体 N ,8 16 的容量为 26 的样本, X 为样本均值,S 为样本方差；就：X N（8 ,8/13 ）,25S 2 2 25 ,X 8 t 25 ；16 s / 2 510、假设检验时,易犯两类错误,第一类错误是：”弃真” ,即 H0 为真时拒绝 H0,其次类错误是：“ 取伪” 错误；一般情形下,要削减一类错误的概率,必定增大另一类错误的概率；假如只对犯第一类错误的概率加以掌握,使之<a, 而不考虑犯其次类错误的概率,这种检验称为：显著性 检验；二、（6 分）已知随机变量 X 的密度函数fxax2,0x10,其它x0,1y1求：（1）常数 a , （2）p0.5X1.5 （3）X 的分布函数 F（x）；解:1由fxdx,1得a322 p05.X15 =1 . 5fxdx1 0 5. 3x2dx0 .875205.0x03Fxx3,0x121,1x三、（6 分）设随机变量（X,Y）的联合概率密度为：fx ,y 2y ,00,其它求：（1）X,Y 的边缘密度,（2）争论 X 与 Y 的独立性；解:1 X,Y 的边缘密度分别为 : 名师归纳总结 fXx12fydyy102x12y,其他14第 2 页,共 20 页00fYy 0x,dx1ydx0y0其他- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2由1可见f（x,y）f（Xx）f（Yy）, 可知: X,Y 相互独立2四、（8 分）设总体 XN0,2 ,；X ,., X n 是一个样本,求 2 的矩估量量,并证明它为 2 的无偏估量；解: X 的二阶矩为 : E X 2 2 1X 的二阶样本矩为 A 2 1 nX i 2 1n k 1令：E X 2 A 2 , 1解得 : 2 1 nX i 2 , n k 12的矩估量量 2 1 nX i 2 2n k 1nE . 2 E 1X i 2 , 它为 2 的无偏估量量 . 3n k 1五、（10 分） 从总体 X N u , 2 中抽取容量为 16 的一个样本,样本均值和样本方差分别是 X 75 , S 2 4,t 0 . 97 5 15 .2 1315 , x .0 202 5 15 6 . 26 , x .0 297 5 15 27 . 5求 u 的置信度为 0.95 的置信区间和2 的置信度为 0.95 的置信区间；解: 1n=16,置信水平10 . 95,/20.025,.0t97 5 15 2 .1315 ,55X75 ,S24由此 u 的置信水平为 0.95 的置信区间为 : 7522.1315, 即751. 0658162 n=16,置信水平10 .95 ,/20.025,2 x 0 .02 5 15 .626 ,x297 5 15 27 . 5.0S24由此2 的置信水平为 0.95 的置信区间为 : 154,154.2182 , 9. 585 2 15 2 15 0.97 5.0025六 、 （10 分） 设某工厂生产工件的直径听从正态分布,要求它们的均值名师归纳总结 u8 ,20. 25,现检验了一组由16 只工件,运算得样本均值、样本方差分第 3 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 别x7 .65 ,s20. 49,试在显著水平0 . 05下,对该厂生产的工件的均值和方差进行检验,看它们是否符合标准；名师归纳总结 此题中,t0.5 15 1 . 76 ,t0.025 15 2 . 13 ,.0052 15 25 ,0. 0252 15 27 . ,5第 4 页,共 20 页解:（1）第一对工件的均值进行检验: H0: u,8H1u81 分取统计量为tX8, 可得拒绝域为 : tX8.0t025 15 2. 13 ,2 分s/16s/16经运算 , tx87 .65/822. 13,不在拒绝域内 ,因此接受H0.认为这批工件的s/160.74均值符合标准；2 分其次第一对工件的方差进行检验: H0: 20 .52,H1:20 .521 分取统计量为2 161 s , 可得拒绝域为 : 2150 . 49205 15 25 2 分05.20 . 52.0经运算 , 2 161 s229.425,在拒绝域内 ,因此拒绝H0.认为这批工件的方差05.2不符合标准；2 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - XX 高校（本科）试卷（B 卷）2005 -2006 学年第一学期一. 填空题（每道题 2 分,共计 60 分）1. 设随机试验 E 对应的样本空间为 S； 与其任何大事不相容的大事为 不行能大事,而与其任何大事相互独立的大事为 必定大事；设 E 为等可能型试验,且 S 包含 10 个样本点,就按古典概率的定义其任一基本领件发生的概率为 1/10；2P A 0 4. , P B 0 . 3；如 A 与 B 独立,就 P A B 0；28 ；如已知 A, B 中至少有一个大事发生的概率为 .0 6,就 P A B 0.3,P A B 1/3 ；3、一个袋子中有大小相同的红球 5 只黑球 3 只,从中不放回地任取 2 只,就取到球颜色不同的概率为：15/28；如有放回地回地任取 2 只,就取到球颜色不同的概率为：15/32 ；14、E X D X 1；如 X 听从泊松分布, 就 P X 0 1 e；如 X 听从匀称分布, 就 P X 0 0 ；25、 设 X N , ,且 P X 2 P X 2 , P 2 X 4 0 3.,就 2 ；P X 0 0.8 ；6、某体育彩票设有两个等级的嘉奖,一等奖为4 元,二等奖 2 元,假设中一、二等奖的概率分别为 0.3 和 0.5, 且每张彩票卖 2 元；是否买此彩票的明智挑选为：买（买,不买或无所谓）；7、如随机变量 X U 5,1,就p X41.440.75 ；E X1 _7_,并简化计算D X1 12 0,就P Xn 04.3,8 、设Xbn,p ,EX2 4.,DXk60k26k .0 40 . 66k604.0.66.4272.；k9、随机变量 X、Y 的数学期望 EX= -1,EY=2, 方差 DX=1 ,DY=2, 且 X、Y 相互独名师归纳总结 立,就：E2XY-4 ,D2XY6 ；2 S 为样本方差；第 5 页,共 20 页10、设X1,X16是总体N20,4的容量为 16 的样本, X 为样本均值,就：XN（20,1/4 ）,pX201= 0.0556 ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 15S22 15,X20t15；s/1 516此题中20. 9772；fx ex,x0,就称 X 听从指数分布,E X1 ；11、随机变量 X 的概率密度0 ,x012、做假设检验时,简单犯两类错误,第一类错误是：”弃真” ,即 H0 为真时拒绝 H0, 其次类错误是： 取伪 错误；一般情形下,要削减一类错误的概率,必定 增加 另一类错误的概率；假如只对犯第一类错误的概率加以掌握,使之这种检验称为显著性检验,a 称为 显著水平；a, 而不考虑犯其次类错误的概率,13、设二维随机向量 X , Y 的分布律是：X 0 1 就 X 的方差 D X 0.21 ；Y0 0.4 0.3 X与 Y 的相关系数为 : XY 3/7 ；1 0.3 0 二、（7 分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2,0.1,0.3现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占 抽取一件,发觉是次品,求该次品为甲厂生产的概率解：设A1,A2,A3分别表示产品取自甲、乙、丙厂,15%,80%,5%的一批产品中随机名师归纳总结 有：pA115 %,P A280%,PA35 %2第 6 页,共 20 页B 表示取到次品,pBA10 2. ,P BA20.1,P BA30 3.,2由贝叶斯公式：pA1B=pA 1PBA 1/（31pA kPBA k0.244k三、（7 分） 已知随机变量 X 的密度函数fx ax ,0x10,其它求：（1）常数 a , （2）p0X05.（3）X 的分布函数 F（x）；解:1由fxdx,1得a222 p0.X15=.05fxdx.052xdx0 .25300- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0x03Fxx2,0x1fx ,y 20x,10y11,1x4 xy ,四、（7 分） 设随机变量（ X,Y）的联合概率密度为：0,其它求：（1）X,Y 的边缘密度,（2）由（ 1）判定 X,Y 的独立性；解:1 X ,Y 的边缘密度分别为 : fXxfx,ydy14xydy2x,0x1014xydx2y,其他y150fYy fx,ydx00其他02由1可见f（x,y）f（x）f（y）, 可知 : X,Y 相互独立2五、（7 分） 从总体 X N u ,2中抽取容量为 16 的一个样本,样本均值和样本方差分别是X 75 , S 24,t 0 . 97 5 15 2 . 1315 , x .0 202 5 15 6 . 26 , x .0 297 5 15 27 . 52求 u 的置信度为 0.95 的置信区间和 的置信度为 0.95 的置信区间；解: 1n=16,置信水平 1 0 . 95 , / 2 0 . 025 , .0t 02 5 15 2 . 1315 ,2X 75 , S 4 由此 u 的置信水平为 0.95 的置信区间为 : 2 75 2 . 1315 , 即 75 1 . 0658 4162 22 n=16,置信水平 1 0 . 95 , / 2 0 . 025 , x .0 02 5 15 .6 26 , x .0 97 5 15 27 5.S 24 由此 2 的置信水平为 0.95 的置信区间为 : 15 4 15 4 2 , 2 2 . 182 9, . 585 30 . 025 15 .0 975 15 六 、（7 分）设总体 X Nu, 1, u未知；X ,., X n 是一个样本,求 u 的最大似然估量量,并证明它为 u 的无偏估量；名师归纳总结 解: 样本X ,.,Xn的似然函数为 : 第 7 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Lx1,.,xn,u2n/2exp1n1xiu222k而 ln L x 1 ,., x n , u n / 2 ln 2 1 n x i u 2 12 k 1d ln L x 1 ,., x n , u n令: x i u 0 , 1du k 1n n解得 : u . 1x i u 的最大似然估量 u . 1X k 1n k 1 n k 1E u . E 1 nX k u , 它为 u 的无偏估量量 . n k 1七、（5 分）某人寿保险公司每年有 10000 人投保,每人每年付 12 元的保费,假如该年内投保人死亡,保险公司应对 1000 元的赔偿费,已知一个人一年内死亡的概率为 0.0064；用中心极限定理近似运算该保险公司一年内的利润不少于 48000 元的概率；已知 1 0 . 8413, 2 0 . 9772；解: 设 X为该保险公司一年内的投保人死亡人数,就 XB10000,0.0064 ；该保险公司的利润函数为：L 120000 1000 X； 2所以 P L 48000 P 120000 1000 X 48000 P X 72 P X 64 72 64 用中心极限定理10000 0 . 0064 0 . 9936 7 . 996 1 0 . 8413 3答：该保险公司一年内的利润不少于48000 元的概率为 0；8413名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - XX 高校（本科）试卷（A 卷）答案2006-2007 学年其次学期 二. 填空题（每道题 2 分,共计 60 分）名师归纳总结 - - - - - - -1、A、B 是两个随机大事,已知pA0 .,5pB0.3,就a 如A,B互斥,就pA-B0.5 ; b 如A,B独立,就pAB0.65 ;c 如pAB0.2,就p AB3/7 .2、袋子中有大小相同的红球7 只,黑球 3 只,1从中不放回地任取2 只,就第一、二次取到球颜色不同的概率为：7/15 ；2如有放回地任取2 只,就第一、二次取到球颜色不同的概率为：21/50 ；3如第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取其次只球,就第一、二次取到球颜色不同的概率为：21/55 . 3、设随机变量 X 听从泊松分布,p X7 P X8 ,就EX8 . 4、设随机变量 X 听从 B（2,0. 8）的二项分布 ,就pX20.64 , Y 听从 B（8,0. 8）的二项分布 , 且 X 与 Y 相互独立,就P XY1=1- 0.2 10,EXY8 ；5 设某学校外语统考同学成果X 听从正态分布 N（75,25）,就该学校同学的及格率为0.9987 ,成果超过 85 分的同学占比P X85 为0.0228 ；其中标准正态分布函数值10. 8413,2 0. 9772,3 0.9987. 6、设二维随机向量X,Y的分布律是有就 a_0.1_,X 的数学期望E X_0.4_,YX0 1 X与Y的 相 关 系数xy_-0.25_；-1 0.3 0.3 1 0.3 a7、设X1,., X16及Y 1,.,Y 8分别是总体N,8 16的容量为 16,8 的两个独立样本,X ,Y分别为样本均值,2 S 1,S2分别为样本方差；2就：XN8,1 ,XYN0,1.5 ,pXY21 5.= 0.0456 ,152 S 1215,2 S 1F15,7 ；162 S 2第 9 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 此题中10. 8413,2 0. 9772,3 0.99878、设 X 1 ,. X 2 , X 3 是总体 X 的样本,以下的统计量中, A,B,C 是 E X 的无偏统计量,E X 的无偏统计量中统计量 C 最有效；A. X 1 X 2 X 3 B. 2 X 1 X 3 C. 1 X 1 X 2 X 3 D. X 1 X 239. 设某商店一天的客流量 X 是随机变量 ,听从泊松分布 , X 1,., X 7 为总体 X 的样本,E X 的矩估量量为 X ,160,168,152,153,159,167,161 为样本观测值,就 E X 的矩估量值为 160 10、在假设检验中, 简单犯两类错误, 第一类错误是指：H0 成立的条件下拒绝 H0 的错误 ,也称为弃真错误；二、（6 分） 已知随机变量 X 的密度函数fx a,2x其它x20,其它求：（1）常数 a , （2）p0.5X4（3）X 的分布函数 F（X）；解:1由fxdx,1得a222 p 05.X4=45fx dx42dx0.52.02x20x23Fx1-22x2x三、（6 分） 设随机变量 X,Y 的概率密度分别为：f Xxex,0x,0,f Y y,10,y,1,且随机变量 X,Y 相互独立；0其它（1）求（ X,Y）的联合概率密度为：fx,y（2）运算概率值pY2X；解:1 名师归纳总结 X,Y 相互独立,可见（ X,Y）的联合概率密度为f（x,y）f（Xx）f（Yy）, 第 10 页,共 20 页fx,yex,0x ,0y120,其它- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）PY2Xy2xfx,Ydxdy1dx1exdy302x1= 3 e 1 1四、（8 分） 从总体 X N u , 2 中抽取容量为 25 的一个样本,样本均值和样本方差分别是：2 2 2X 80 , S 9,t 0 . 025 24 2 . 0639 , x .0 975 24 12 . 4 , x 0 . 025 24 39 . 36求 u 的置信度为 0.95 的置信区间和 2 的置信度为 0.95 的置信区间；解: 1n=25,置信水平 1 0 . 95 , / 2 0 . 025 , .0t 025 24 2 . 0639 ,2X 80 , S 9 由此 u 的置信水平为 0.95 的置信区间为 80 32 . 0639 , 即 80 1 . 238 4252 22 n=25,置信水平 1 0 . 95 , / 2 0 . 025 , x .0 975 24 12 . 4 , x 0 . 025 24 39 . 36S 29 由此 2 的置信水平为 0.95 的置信区间为 : 242 9, 242 9 5 . 49 , 17 . 42 40 . 025 24 0 . 975 24 五 、（8 分） 设总体 X 听从匀称分布 U a , b , X 1 , , X n 是 X 的一个样本,求 a, b 的矩估量量解:设 X 的一阶样本矩、二阶样本矩分别为 A 1 1 nx 1 , A 2 1 nx k 2,n k 1 n k 12 2X 的一阶矩、二阶矩分别为 E X a b , E X 2 a b ab,令 42 3a bE X A 1 ,22 2 22 a b abE X A 23可解出名师归纳总结 b .3 A 2A 12A 1N u,2,u,2未知2a .A 13 A2A 12六、（8 分）某地区参与外语统考的同学成果近似听从正态分布,该校校长声第 11 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 称同学 平均成果为 70 分,现抽取 16 名同学的成果,得平均分为 68 分,标准差为 3 分,请在显著水平.005下,检验该校长的断言是否正确； （此题中.0t025 15 2.1315）未知,现他解: 按题意同学成果XNu,2,u,2未知 ,现取0 . 05检验假设 : 2H0:uu070,H1：uu070用 t 检验 ,现有n16,.0 05,0t.025 152. 1315,拒绝域为 : 2tx702 . 1315, 2s/16由:x68 s3, tx/702 .67, 1s16,2,2,ut 值在拒绝域内 , 故拒绝H , 认为该校长的断言不正确. 1七、（8 分） 设某衡器制造厂商的数显称重器读数近似听从正态分布Nu声称他的数显称重器读数的标准差为不超过10 克, 现检验了一组 16 只数显称重器 ,得标准差12 克,试检验制造商的言是否正确（取,2.0 05）,此题中20 . 05 1524.996；解: 按题意数显称重器读数XNu,u,2未知,现取0 . 05检验假设H0:10 ,H1：10n16,.005,0t. 0252在H 成立的条件下,用2 检验 ,现有 1524 .996, 2拒绝域为 , 2n1 s2>2 1524.996 2102.0 05算得 :2n1 s21512221.624.996 1102102不在拒绝域内 , 故接受H , 认为读数的标准差不显著超过10 克. 1八、（6 分）某工厂要求供货商供应的元件一级品率为90%以上, 现有一供应商有一大批元件,经随机抽取名师归纳总结 100 件,经检验发觉有84 件为一级品 ,试以 5%的显著性水平下,检验这个供应商供应的元件的一级品率是第 12 页,共 20 页否达到该厂方的的要求；（已知Z0.051.645,提示用中心极限定理）解 总体 X 听从 p 为参数的0-1 分布,H0:pp00 .,9H1:pp00.92X1,., X100为总体 X 的样本,在H0成立条件下,挑选统计量- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ZX 1p00,由中心极限定理,z 近似听从标准正态分布,就拒绝域为z0z.05p0pn经运算该体z2z0. 05,即得Z 在拒绝域内 , 故拒绝H0,认为这个供应商供应的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求XX 高校（本科）试卷（B 卷）2006-2007 学年其次学期1、A、B 是两个随机大事,已知 p A 0 . 2 5 , p B 0.5, PAB 0.125,就p A-B 0.125 ; p A B 0.875 ; p A B 0.5 .2、袋子中有大小相同的 5 只白球,4 只红球, 3 只黑球, 在其中任取 4 只2 1 1C 5 C 4 C 314 只中恰有 2 只白球 1 只红球 1 只黑球的概率为：4 . C 123 1 4C 8 C 4 C 82 4 只中至少有 2 只白球的概率为：1 4 . C 1243 4 只中没有白球的概率为：C 74C 123、设随机变量 X 听从泊松分布
