2022年概率论与数理统计知识点总结5.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点概率论与数理统计第一章 概率论的基本概念§ 2样本空间、随机大事1大事间的关系 A B 就称大事 B 包含大事 A ,指大事 A 发生必定导致大事 B 发生A B x x A 或 x B 称为大事 A 与大事 B 的和大事, 指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,大事 A B 发生A B x x A 且 x B 称为大事 A 与大事 B 的积大事,指当 A ,B同时发生时,大事 A B 发生AB x x A 且 x B 称为大事 A 与大事 B 的差大事,指当且仅当A 发生、 B 不发生时,大事 A B 发生A B,就称大事 A 与 B 是互不相容的,或互斥的,指大事 A 与事件 B 不能同时发生,基本领件是两两互不相容的ABS 且AB,就称大事A 与大事 B 互为逆大事,又称大事A 与大事 B 互为对立大事2运算规章交换律ABBAABBABCA BC结合律AB CABCA安排律A（BC）ABACABCABAC徳摩根律ABABABAB§ 3频率与概率定义在相同的条件下,进行了n An 次试验,在这n 次试验中,大事A 发生的次数n 称为事 A件 A 发生的 频数 ,比值n称为大事 A 发生的 频率概率：设 E是随机试验, S 是它的样本空间, 对于 E 的每一大事 称为大事的概率1概率P A满意以下条件：S A 0PA 1（1）非负性 ：对于每一个大事（2）规范性 ：对于必定大事PS 1A给予一个实数, 记为 P（A）,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）可列可加性 ：设A 1,A 2,A n名师总结优秀学问点有P nAknPA k（ n 可是两两互不相容的大事,以取）k1k12概率的一些重要性质：（i ）P0nnPA k（ n 可以取）（ii ）如A 1,A 2,An是两两互不相容的大事,就有PA k（iii ）设 A,B 是两个大事如AB,就PBA k1k1PAPBPA ,PB（iv）对于任意大事A,PA 1BPAB（v）PA1PA （逆大事的概率）（vi）对于任意大事A, B 有PABPA P§ 4 等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个大事发生的可能性相同如事 件A包 含k个 基 本 事 件 , 即Ae i 1e i2e ki, 里i1,i,2,ik是 1 ,2,n 中某k个不同的数,就有kkA包 含 的 基 本 事 件 数P APe ijnS 中 基 本 事 件 的 总 数j1§ 5条件概率（1）定义： 设 A,B 是两个大事,且PA 0,称P B|A PAB为大事 A 发生的条PA件下大事 B 发生的 条件概率名师归纳总结 （2）条件概率符合概率定义中的三个条件A 0第 2 页,共 11 页1；非负性：对于某一大事B,有PB|（3）2；规范性：对于必定大事S,PS|A13可 列 可 加 性 ： 设B 1B 2,是 两 两 互 不 相 容 的 事 件 , 就 有PBiAPBiAPBPA|B称为乘法公式i1i1乘法定理设PA 0,就有PAB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）全概率公式：PAin1P名师总结A|优秀学问点B iPB i贝叶斯公式：P B k|A iP B kP A|BknPB iP A|B i1§ 6独立性定义定理一定理二其次章设 A ,B 是两大事,假如满意等式P ABPA PB,就称大事 A,B 相互独立设 A,B 是两大事,且PA0,如 A, B 相互独立,就PB|A PB如大事 A 和 B 相互独立,就以下各对大事也相互独立：A 与B,A与B,A与B随机变量及其分布§ 1 随机变量定义X设随机试验的样本空间为Se.XXe是定义在样本空间S 上的实值单值函数,称Xe为随机变量§ 2 离散性随机变量及其分布律1 离散随机变量：有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量P Xx kp k满意如下两个条件（1）p k0,（ 2）k1P =1 2 三种重要的离散型随机变量（1）设 随分布p量X只 能取0与1两个 值 ,它的分 布律是机变P Xkkp（1-1-）k,k1,0（0p1,就称 X 听从以 p 为参数的分布或两点分布；（2）伯努利试验、二项分布名师归纳总结 此时,第 3 页,共 11 页设试验 E 只有两个可能结果： A 与A ,就称 E 为伯努利试验 .设PAp（0p1P A1-p.将 E 独立重复的进行n 次,就称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验；PXknpkqn-k,k01, ,2,n满意条件（ 1）pk0,（ 2）k1P =1 留意k- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 到npk qn-k是二项式（pqn）名师总结优秀学问点X 听从参数的绽开式中显现pk的那一项,我们称随机变量k为 n,p 的二项分布；（3）泊松分布P X设 随 机 变 量kX所 有 可 能 取 的 值 为0,1,2 , 而 取 各 个 值 的 概 率 为kke-,1,02,其中0 是常数,就称X 听从参数为的泊松分布记为k.X（）§ 3 随机变量的分布函数定义设 X 是一个随机变量,x 是任意实数,函数F xPXx,-x称为 X 的分布函数分 布 函 数FxFPXx, 具 有 以 下 性 质 1 Fx是 一 个 不 减 函 数（ 2 ）0FxF1（3）FxFx ,即Fx是右连续的1,且0 ,0 § 4 连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：假如对于随机变量dt,X 的分布函数F（x）,存在非负可积函数fx,使对于任意函数x 有Fxxf（t）就称 x 为连续性随机变量,其中函数fx 称为 X-的概率密度函数,简称概率密度1 概率密度f x 具有以下性质,满意（1）fx f,02-fx dx1；,F xfx（3）P x 1Xx 2x 2fx dx；（4）如x在点 x 处连续,就有x 12,三种重要的连续型随机变量1匀称分布如连续性随机变量X 具有概率密度fxb1a 0,axb,就成 X 在区间 a,b上听从-匀称分布 .记为XU（a,b）,其他2指数分布如连续性随机变量X 的概率密度为fx1-ex,x.0其中0 为常数,就称 X听从参数为的指数分布；0,其他（3）正态分布名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如 连 续 型 随 机 变 量X名师总结优秀学问点fx 1ex）2x,的 概 率 密 度 为22,-2其中,（0 为常数,就称X听从参数为,的正态分布或高斯分布,记为XN（,1时称随机变量X 听从标准正态分布2）特殊,当0,§ 5 随机变量的函数的分布定理设随机变量X 具有概率密度fxx ,随x机,又设函数g x到处可导且恒有为g, x0,就Y=g X是型变量,连续其概率密度fYy fXh yh,y,其他y0,第三章多维随机变量§ 1 二维随机变量定义 设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 S e. X Xe 和 Y Ye 是定义在 S 上的随机变量,称 X Xe 为随机变量,由它们构成的一个向量（X ,Y）叫做二维随机变量设 （ X , Y ） 是 二 维 随 机 变 量 , 对 于 任 意 实 数 x , y , 二 元 函 数F（x,y）PX x Y y 记成 PX x,Y y 称为二维随机变量（X, Y）的分布函数假如二维随机变量（X,Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对,就称（ X,Y ）是离散型的随机变量；我们称PXxi,Yyjp ij,i,j1 2,为二维离散型随机变量（X, Y）的分布律；对于二维随机变量 （X,Y）的分布函数 F（x,y）,假如存在非负可积函数 f（x,y）,y x使对于任意 x,y 有 F（x,y）-f（u,v）dudv,就称（X ,Y）是连续性的随机变量,函数 f（x,y）称为随机变量（X,Y）的概率密度,或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；§ 2 边缘分布名师归纳总结 二维随机变量 （ X,Y ）作为一个整体, 具有分布函数F（x,y）.而 X 和 Y 都是随机第 5 页,共 11 页变量, 各自也有分布函数,将他们分别记为FX（x,F（Yy）,依次称为二维随机变量（X,Y）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数；分别称ippijPXxi,i,12,pji1p ijPYdxyi,j2,1,j1ippj为（ X ,Y ）关于 X 和关于 Y 的边缘分布律；fYyf Xxfx ,y）dyf Yy fx ,y）分别称f X x ,为 X,Y 关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度 ；§ 3 条件分布定义 设（ X,Y）是二维离散型随机变量,对于固定的 j,如 P Y y j 0 ,P X x i , Y y j p ij就称 P X x i Y y j , i ,1 ,2 为在 Y y j 条件下P Y y j p jP X x i , Y y j p ij随机变量 X 的条件分布律, 同样 P Y y j X X i , j ,1 2 ,P X x i p i为在 X ix 条件下随机变量 X 的条件分布律；设二维离散型随机变量（X ,Y ）的概率密度为 f x , y ,（X ,Y ）关于 Y 的边缘概率密度为 f Y y ,如对于固定的 y,fY y 0,就称 f x , y 为在 Y=y 的条件下 X 的条件f Y y 概率密度,记为 f X Y x y = f x , y f Y y § 4 相互独立的随机变量定义 设 F（x,y）及 F X x ,F Y y 分别是二维离散型随机变量（X,Y）的分布函数及边缘分布函数 .如对于全部 x,y 有 P X x , Y y P X x PY y,即F x , y F Xx F Y y,就称随机变量 X 和 Y 是相互独立的；对于二维正态随机变量（X ,Y ）,X 和 Y 相互独立的充要条件是参数 0§ 5 两个随机变量的函数的分布1,Z=X+Y 的分布名师归纳总结 设 X,Y 是二维连续型随机变量,它具有概率密度或ffx ,y.就 Z=X+Y 仍为连续性第 6 页,共 11 页随机变量,其概率密度为fXYz fzy ,y）dyXYz fx ,zx）dx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又如 X 和 Y 相互独立,设（名师总结优秀学问点fXx ,fYy就X,Y ）关于 X ,Y 的边缘密度分别为fXYz fXzy）f（ydy和fXYz fXx）fYzx dx这两个公式称为f ,fY的卷积公式有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍旧听从正态分布Y2,Z 的分布、Z XY 的分布X设X,Y 是二维连续型随机变量,它具有概率密度 f x , y ,就 Z Y,Z XYX仍为连续性随机变量其概率密度分别为 f Y X z x f x , xz dxf XY z 1 f x , z dx 又如 X 和 Y 相互独立,设（X,Y ）关于 X,Y 的边缘密度分别x x为 f X x , f Y y 就可化为 f Y X z f X x f Y xz dx1 zf XY z f X x f Y dxx x3 M max X,Y 及 N min X , Y 的分布设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 F X x , F Y y 由于M max X,Y 不大于 z 等价于 X 和 Y 都不大于 z 故有 PM z PX z, Y z 又由于 X 和 Y 相互独立,得到 M max X,Y 的分布函数为 F max z F X z F Y z N min X , Y 的分布函数为 F min z 1 1 F X z 1 F Y z 第四章 随机变量的数字特点§ 1数学期望名师归纳总结 定义设离散型随机变量X 的分布律为P Xx kpk,k=1,2 , 如级数xkpk肯定第 7 页,共 11 页收敛, 就称级数xkpkk1的和为随机变量X 的数学期望, 记为E X,即EXx kpkk1i设连续型随机变量X 的概率密度为fx,如积分xfx dx肯定收敛,就称积分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xfx dx的值为随机变量名师总结优秀学问点,即EXxfx dxX 的数学期望,记为EX定理设 Y 是随机变量X 的函数 Y=g Xg 是连续函数 k,k=1,2, 如gx kpk（i ）假如 X 是离散型随机变量,它的分布律为P Xxkp肯定收敛就有EYEgXgx kpkg x fx dxk1k1（ii ）假如 X 是连续型随机变量,它的分概率密度为fx,如肯定收敛就有EYEgXg x fx dx数学期望的几个重要性质1 设 C 是常数,就有ECCCXCEX Y；2 设 X 是随机变量, C 是常数,就有E3 设 X,Y 是两个随机变量,就有EXYEXE Y4 设 X, Y 是相互独立的随机变量,就有EXYEXE§ 2 方差定义设 X 是一个随机变量,如EXXEX2存在,就称E XDEX2为 X 的方差,记为D（x）即 D（ x）=E 2XE,在应用上仍引入量 x ,记为x ,称为标准差或均方差；DXEXEX2EX2EX2方差的几个重要性质名师归纳总结 1 设 C 是常数,就有DC0,-EY特第 8 页,共 11 页2 设 X 是随机变量, C 是常数,就有D CXC2DX,DXCDX3 设 X,Y 是两个随机变量,就有DXYDXDY2EX-EXY别,如 X,Y 相互独立,就有DXYDXDY,不等式4D X0的充要条件是X 以概率 1 取常数EX,即P XEX1切比雪夫不等式：设随机变量X 具有数学期望EX2,就对于任意正数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2PX-2成立§ 3 协方差及相关系数定义量EXEXYE Y称为随机变量X 与 Y 的协方差为CovX,Y,即EXYEXE YCovX,YEXEXYEY而XYCovX,Y）称为随机变量X 和 Y 的相关系数DXDY_YDXD Y2 CovX,Y对于任意两个随机变量X 和 Y,DX协方差具有下述性质1CovX,YCov Y,X,CovaX,bYabCovX,YYabx 12Cov X1X2,YCov X1,YCov X2, Y定理1 XY1当XY2 XY1的充要条件是,存在常数a,b 使P 0 时,称 X 和 Y 不相关附：几种常用的概率分布表名师归纳总结 分布0参数1PP X分布律或概率密度,n,数学方差第 9 页,共 11 页期望两点分pkpk1p1k,k01,pp 1p布二项式0n11XkCkpk1pnk,k0,1,npnp 1ppn分布泊松分PXkke,k0,1,2 ,11p0布01k.几何分pPXk1pk1p,k,12,布p2p匀称分abfx b1a,axb,ba2ab布0,其他212- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 指数分0f名师总结1优秀学问点x02xex,布0,其他正态分0fx 1ex2222布2第五章大数定律与中心极限定理§ 1 大数定律弱大数定理（辛欣大数定理）设 X1,X 2 是相互独立,听从统一分布的随机变量序列,并具有数学期望 E X k k ,1 2 , .作前 n 个变量的算术平均 1 nX k,就对于任意n k 10,有 lim n P 1n k n1 X k 1定义 设 Y 1 , Y 2 , Y n 是一个随机变量序列,a 是一个常数,如对于任意正数,有plim P Y n a 1,就称序列 Y 1 , Y 2 , Y n 依概率收敛于 a,记为 Y n an伯努利大数定理 设 Af 是 n 次独立重复试验中大事 A 发生的次数, p 是大事 A 在每次试验 中 发 生 的 概 率 , 就 对 于 任 意 正 数 0 , 有 limn P fn np 1 或f nlim P p 0n n§ 2 中心极限定理名师归纳总结 定理一（ 独立同分布的中心极限定理）设随机变量X1,X2,Xn相互独立,听从同一第 10 页,共 11 页分布,且具有数学期望和方差EXi,DXk2（ k=1,2 , ）,就随机变量之和nnninXk标准化变量,Y nk1XkE 1XkiXknk1n,1DnkXk1,Xn 相互独立,它们具有数学期望定理二（ 李雅普诺夫定理）设随机变量X1,X2,和方差EXkk,DXkk2,0k,12记Bn2nk2k1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结n优秀学问点,听从参数为n,p 0p1）的定理三 （棣莫弗 -拉普拉斯定理 ）设随机变量n1 2,名师归纳总结 二项分布,就对任意x ,有lim nP n1npx x1et22dtx第 11 页,共 11 页npp2- - - - - - -