2022年求曲线的方程.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 2.1.2 求曲线的方程（2）（教学设计）教学目标：学问目标： 1.依据条件,求较复杂的曲线方程 . 2.求曲线的交点 . 3.曲线的交点与方程组解的关系 . 才能目标 : 1.进一步提高应用“ 五步” 法求曲线方程的才能 . 2.会求曲线交点坐标 ,通过曲线方程争论曲线性质 . 情感目标：1.渗透数形结合思想. . 2.培育同学的辨证思维教学重点1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标. x,y 的关系式fx,y=0. 2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题教学难点1.查找“ 几何关系”. . 2.转化为“ 动点坐标” 关系教学方法启示诱导式教学法 . 启示诱导同学联想新旧学问点的联系,从而发觉解决问题的途径 . 教学过程一、复习回忆：求曲线的方程 轨迹方程 , 一般有下面几个步骤 : 1. 建立适当的坐标系 , 设曲线上任一点 M 的坐标 , x y ;2. 写出适合条件 P 的几何点集 : P M P M ; 3. 用坐标表示条件 P M , 列出方程 f x y 0 ; 4. 化简方程 f , 0 为最简形式 ; 5. 证明 查漏除杂 . 说明： 回忆求简洁曲线方程的一般步骤,阐明步骤 2、3 为关键步骤 ,说明 5步不要求书面表达,但思维肯定要到位 ,留意等价性即可. 二、师生互动,新课讲解：（一）、直接法：由题设所给 或通过分析图形的几何性质而得出 等式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法的动点所满意的几何条件列出等式,再用坐标代替这例 1：1求和定圆 x 2+y2=R 2 的圆周的距离等于 R 的动点 P 的轨迹方程；2 过点 Aa ,o作圆 Ox 2+y2=R 2aRo的割线,求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹对1分析：动点 P 的轨迹是不知道的,不能考查其几何特点,但是给出了动点P 的运动规律： |OP|=2R 或|OP|=0名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（ 1）设动点 Px,y,就有 |OP|=2R 或|OP|=0即 x2+y2=4R 2 或 x2+y2=0故所求动点 P 的轨迹方程为 x 2+y2=4R 2 或 x 2+y 2=0（2）设弦的中点为 Mx ,y,连结 OM,就 OM AM kOM · kAM=-1 ,其轨迹是以OA 为直径的圆在圆O 内的一段弧 不含端点 变式训练1：.如图,在平面直角坐标系中,已知动点Px,y,PM y 轴,垂足为M,点 N 与点 P 关于 x轴对称且 OP·M N4,求动点 P 的轨迹方程；2 2解：x 4y 21 （二）、代入法（ 相关点法）： 如动点 Px ,y 随已知曲线上的点Qx0,y0 的变动而变动,且x0、y0 可用x、y 表示,就将Q点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P 的轨迹方程这种方法称为相关点法 或代入法 例 2：已知 ABC,A2,0,B0, 2,第三个顶点C 在曲线y3x21上移动,求ABC 的重心的轨迹方程名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析：设 ABC 的重心为 Gx,y,顶点 C 的坐标为 x1,y1,由重心坐标公式得x 20x 1,3y02y13x13x2,21. y13y2代入 y1 3x2 11,得 3y 233x2y9x 2 12x3 即为所求轨迹方程题后感悟 1代入法： 像本例将所求点M 的坐标代入已知曲线方程求得动点M 的轨迹方程的方法叫代入法2代入法求轨迹 曲线 方程的基本步骤为设点：设所求轨迹上任意点Mx,y,设动点 已知轨迹的动点Px0, y0x0f x,y ,求关系式：求出两个动点的关系式y0g x, y .代入：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程变式训练2：已知 O 为直角坐标系原点,M 为圆x22y23上的动点,试求MO 中点的轨迹方程；（三）、参数法： 假如问题中所求动点满意的几何条件不易得出,也没有明显的相关点,但能发觉这个动点受某个变量 像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等 的影响,此时,可先建立 x、y 分别与这个变量的关系,然后将该变量 参数 消去,即可得到 x、y 的关系式例 3：过原点的直线与圆 x 2y 2 6 x 5 0 相交于 A 、B 两点,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程；解：设过原点的直线为 y=kx ,弦 AB 的中点 Mx,y 把 y=kx 代入 x2+y2-6x+5=0 得：名师归纳总结 x2+kx2-6x+5=0即: 1+k2x2-6x+5=0 kx216k2xx12x2132第 3 页,共 6 页x1x2162y 1y2kx1kkkyy12y213k2k消去 k 得： y2=3x-x2 弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为y2=3x-x2 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式训练3：二次函数fxx22 m1 xm21 mR 的顶点的轨迹方程是- 答案 : xy300, . 4 .故当4（四）、.两曲线交点问题: 例 4：已知抛物线yx22xm及直线l:y2x, 当 m 为何值时 ,1有两个交点； 2仅有一个交点；3无交点 . 分析：抛物线C 和直线 l 的交点个数与其方程构成的方程组的解的个数一一对应解:由y2x22xm消去 y 得yxmx24xm01 抛物线C 和直线 l 有两个交点,就方程有两根,所以424mm4时,抛物线 C 和直线 l 有两个交点 . 2 同理 , m4时, 抛物线 C 和直线 l 仅有一个交点 . 3 当时 ,抛物线 C 和直线 l 无交点 . : 小结：1. 两条曲线交点的坐标应是两个曲线的方程的公共实数解 解. 2.两曲线交点个数与方程组的实数解一一对应 . 3、求曲线方程的几种方法 三、课堂小结,巩固反思：1、求曲线的方程 轨迹方程 , 一般有下面几个步骤: .即两个曲线方程组成的方程组的实数1. 建立适当的坐标系 , 设曲线上任一点 M 的坐标 , x y ;2. 写出适合条件 P 的几何点集 : P M P M ; 3. 用坐标表示条件 P M , 列出方程 f x y 0 ; 4. 化简方程 f , 0 为最简形式 ; 5. 证明 查漏除杂 . 2、常用求轨迹方程的方法；四、分层作业：1 ABC 一边的两个端点是B0,6和 C0,-6,另两边斜率的积是4,求顶点 A 的轨迹方程；9（注：暂不考虑变量的取值范畴）名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：y2x2136812点 P 与肯定点 F2, 0的距离和它到肯定直线x=8 的距离的比是12,求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形？解：x2y21y2x1, 定点A 3,1, B 为C上任一点 点 为AB 中点 当 在 上运动时,16123. 已知曲线C：求 点的轨迹方程.Px,y,Bx 1y 1,解: 令4、已知点3x 1x ,x 12x,3又x 112 y 1,21y .y 12y1 .1 2.y12所求P点的轨迹方程是2x3 12yM 到点 F0,1 和直线 l：y 1 的距离相等,求点M 的轨迹方程图 2 解： 设点 M 的坐标为 x,y,点 M 的轨迹就是集合PM|MF| |MQ| ,其中 Q 是点 M 到直线 y1 的垂线的垂足 由两点间距离公式及点到直线的距离公式,得x2 y 12|y1|,将上式两边平方,得 x2y12y12,化简,得y1 4x 2.下面证明方程是所求轨迹的方程1由求方程的过程,可知曲线上的点的坐标都是方程的解；名师归纳总结 2设点 M 1的坐标 x1,y1是方程的解, 那么 y11 4x 2 1,即 x 2 1y1 12y1 1 2,2 x 1 y1 12|y1第 5 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1|,|M 1F| |M 1Q 1|.其中 Q1 是点 M 1 到直线 y 1 的垂线的垂足,因此点 M 1 是曲线上的点名师归纳总结 由12 ,可知方程是所求轨迹的方程,图形如图2 所示第 6 页,共 6 页- - - - - - -
