2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第一讲 三 相似三角形的判定 .doc

三相似三角形的判定及性质1相似三角形的判定对应学生用书P71相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似2相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似说明1.在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似因为它的条件最容易寻求在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多2引理是平行线分线段成比例定理的推论的逆定理，可以判定两直线平行3直角三角形相似的判定定理(1)定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例那么它们相似(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似说明对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用对应学生用书P8相似三角形的判定例1如图，已知在ABC中，ABAC，A36，BD是角平分线，证明：ABCBCD.思路点拨已知ABAC，A36，所以ABCC72，而BD是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.证明A36，ABAC，ABCC72.又BD平分ABC，ABDCBD36，ACBD.又CC，ABCBCD.判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，找另一对等角，找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，找夹角相等，找第三边对应成比例，找一对直角1如图，BCFGED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是()A1B2C3 D4解析：AED与AFG相似，AED与ABC相似，AFG与ABC相似答案：C2如图，O是ABC内任一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，求证：DEFABC.证明：D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，DEAB，EFBC，FDCA.DEFABC.3如图，D在AB上，且DEBC交AC于E，F在AD上，且AD2AFAB，求证：AEFACD.证明：DEBC，.AD2AFAB，.由两式得，又A为公共角，AEFACD.直角三角形相似的判定例2如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP3PC，Q是CD的中点，求证：ADQQCP.思路点拨由于这两个三角形都是直角三角形，且已知条件是线段间的关系，故考虑证明对应边成比例，即只需证明即可证明在正方形ABCD中，Q是CD的中点，2.3，4.又BC2DQ，2.在ADQ和QCP中，2，CD90，ADQQCP.直角三角形相似的判定方法：(1)相似三角形的判定定理1,2,3都适用于直角三角形相似的判定(2)两个直角三角形，已经具备直角对应相等，只要再证明有一对锐角相等，或夹直角的两边对应成比例，就可以证明这两个直角三角形相似4如图，C90，D是AC上的一点，DEAB于E，求证：ADEABC.证明：DEAB，DEA90，C90，DEAC.AA.ADEABC5如图，BD，CE是ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与ACE相似的三角形解：ACE为公共角，由直角三角形判定定理1，知RtFDCRtACE.又A为公共角，RtABDRtACE.又AACE90，AABD90，ACEABD.RtFBERtACE.故共有三个直角三角形，即RtABD，RtFBE，RtFCD与RtACE相似.相似三角形的应用例3如图，D为ABC的边AB上一点，过D点作DEBC，DFAC，AF交DE于G，BE交DF于H，连接GH.求证：GHAB.思路点拨根据此图形的特点可先证比例式成立，再证EGHEDB，由相似三角形的定义得EHGEBD即可证明DEBC，即.又DFAC，.又GEHDEB，EGHEDB.EHGEBD.GHAB.不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系有时用它来证明角与角之间的数量关系，线段之间的数量关系6如图，ABC的三边长是2、6、7，DEF的三边长是4、12、14，且ABC与DEF相似，则A_，B_，C_._.解析：AD，BE，CF.答案：DEFDEBCDF7.如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E.(1)求证：CDEFAE；(2)当E是AD的中点，且BC2CD时，求证：FBCF.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，ABCD.又点F在BA的延长线上，DCFF，DFAE.CDEFAE.(2)E是AD的中点，AEDE.由CDEFAE，得.CDFA.ABCDAF.BF2CD.又BC2CD，BCBF.FBCF.8.如图，在RtABC中，BAC90，ADBC于D，点E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F.求证：.证明：E是RtADC斜边AC上的中点，AEECED.EDCCBDF.又ADBC且BAC90，BADC.BADBDF.又FF，DBFADF，.又在RtABD与RtCBA中，.对应学生用书P10一、选择题1如图所示，ADEFBC，GHAB，则图中与BOC相似的三角形共有()A1个B2个C3个 D4个解析：根据相似三角形的判定定理可得：OEFOBC(EFBC)；CHGCBO(HGOB)；OADOBC(ADBC)故与BOC相似的三角形共有3个答案：C2下列判断中，不正确的是()A两直角边分别是3.5,2和2.8,1.6的两个直角三角形相似B斜边和一直角边长分别是2，4和，2的两个直角三角形相似C两条边长分别是7,4和14,8的两个直角三角形相似D两个等腰直角三角形相似解析：由直角三角形相似判定定理知A、B、D正确答案：C3如图，要使ACDBCA，下列各式中必须成立的是()A.B.CAC2CDCBDCD2ACAB解析：CC，只有，即AC2CDCB时，才能使ACDBCA.答案：C4.如图，在等边三角形ABC中，E为AB中点，点D在AC上，使得，则有()AAEDBEDBAEDCBDCAEDABDDBADBCD解析：因为AC，2，所以AEDCBD.答案：B二、填空题5如图，ABC中，DEBC，GFAB，DE，GF交于点O，则图中与ABC相似的三角形共有_个，它们分别是_解析：与ABC相似的有GFC，OGE，ADE.答案：3GFC，OGE，ADE6如图所示，ACB90，CDAB于点D，BC3，AC4，则AD_，BD_.解析：由题设可求得AB5，RtABCRtACD，.AD.又RtABCRtCBD，.BD.答案：7已知：在ABC中，AD为BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC的延长线交于点F，若CF4，BC5，则DF_.解析：连接AF.EFAD，AEED，AFDF，FADFDA.又FADDACCAF，FDABADB，且DACBAD，CAFB.而CFAAFB，AFCBFA.AF2CFBF4(45)36.AF6，即DF6.答案：6三、解答题8如图，已知ABC中，ABAC，D是AB的中点，E在AB的延长线上，且BEAB，求证：ADCACE.证明：D是AB的中点，.ABAC，. BEAB，.又ABAC，.又A为公共角，ADCACE.9.如图，直线EF交AB、AC于点F、E，交BC的延长线于点D，ACBC，且ABCDDEAC.求证：AECEDEEF.证明：ABCDDEAC.ACBC，ACBDCE90.ACBDCE.AD.又AEFDEC，AEFDEC.AECEDEEF.10如图所示，在ABC中，ACB90，CDAB于D，AE是CAB的角平分线，CD与AE相交于点F，EGAB于G.求证：EG2FDEB.证明：因为ACE90，CDAB，所以CAEAEC90，FADAFD90.因为AFDCFE，所以FADCFE90.又因为CAEFAD，所以AECCFE.所以CFCE.因为AE是CAB的平分线，EGAB，ECAC，所以ECEG，CFEG.因为BCAB90，ACFCAB90，所以ACFB.因为CAFBAE，所以AFCAEB，.因为CDAB，EGAB，所以RtADFRtAGE.所以，.所以CFEGFDEB，EG2FDEB.2相似三角形的性质对应学生用书P111相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方2两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方说明相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径对应学生用书P11利用相似三角形性质计算例1已知如图，ABC中，CEAB于E，BFAC于F，若SABC36 cm2，SAEF4 cm2，求sin A的值思路点拨由题目条件证明AECAFB，得AEAFACAB，由此推知AEFACB，进而求出线段EC与AC的比值解CEAB于E，BFAC于F，AECAFB90.又AA，AECAFB.又AA，AEFACB.()2.设AEk，则AC3k，EC2k.sin A.利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的1如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点AB8 cm，AC10 cm，若ADE和ABC相似，且SABCSADE41，则AE_cm.解析：因为ADEABC，且SABCSADE41，所以其相似比为21，即或，所以AE5或4(cm)答案：5或42.如图，在ABCD中，AEEB23.(1)求AEF与CDF周长的比；(2)若SAEF8，求SCDF.解：(1)四边形ABCD是平行四边形，ABCD且ABCD.，即.又由ABCD知AEFCDF，AEF的周长CDF的周长25.(2)SAEFSCDF425，又SAEF8，SCDF50.利用相似三角形的性质解决实际问题例2如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷经过了解，教学楼、水塔的高分别是20米和30米，它们之间的距离为30米，小张身高为1.6米小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？思路点拨此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题解如图，设小张与教学楼的距离至少应有x米，才能看到水塔连接FD，由题意知，点A在FD上，过F作FGCD于G，交AB于H，则四边形FEBH，四边形BCGH都是矩形ABCD，AFHDFG.AHDGFHFG.即(201.6)(301.6)x(x30)，解得x55.2(米)故小张与教学楼的距离至少应有55.2米，才能看到水塔此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解3.如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC200 mm，高AD300 mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长解：设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为x mm.因为EHBC，所以AEHABC.所以.所以，解得x(mm)，2x (mm)答：加工成的矩形零件的边长分别为 mm和 mm.4已知一个三角形的三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm，和它相似的另一个三角形的最长边为12 cm，求另一个三角形内切圆和外接圆的面积解：设边长为3 cm,4 cm,5 cm的三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，因为该三角形为直角三角形，所以R，且(345)r34，即r1.S内切圆(cm2)，S外接圆()2(cm2)又两三角形的相似比为，S内切圆()2S内切圆(cm2)，S外接圆()2S外接圆36(cm2)对应学生用书P12一、选择题1如图，ABC中，DEBC，若AEEC12，且AD4 cm，则DB等于()A2 cmB6 cmC4 cm D8 cm解析：由DEBC，得ADEABC，.DB428(cm)答案：D2如果两个相似三角形对应边上的中线之比为34，周长之和是35，那么这两个三角形的周长分别是()A13和22 B14和21C15和20 D16和19解析：由相似三角形周长之比，中线之比均等于相似比可得周长之比.又l1l235，l115，l220，即两个三角形的周长分别为15,20.答案：C3如图所示，在ABCD中，AB10，AD6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使CBFCDE，则BF的长是()A5 B8.2C6.4 D1.8解析：CBFCDE，.BF1.8.答案：D4如图，是一个简单的幻灯机，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m，幻灯片上小树的高度是10 cm，则屏幕上小树的高度是()A50 cm B500 cmC60 cm D600 cm解析：图中的两个三角形相似设屏幕上小树的高度为x cm，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得，解得x60 cm.答案：C二、填空题5在比例尺为1500的地图上，测得一块三角形土地的周长为12 cm，面积为6 cm2，则这块土地的实际周长是_m，实际面积是_m2.解析：这块土地的实际形状与地图上的形状是两个相似三角形，由比例尺可知，它们的相似比为，则实际周长是125006 000(cm)60 m；实际面积是650021 500 000(cm2)150 m2.答案：601506如图，在ABC中，D为AC边上的中点，AEBC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BGGA31，BC10，则AE的长为_解析：AEBC，BGFAGE.BFAEBGGA31.D为AC中点，1.AECF.BCAE21.BC10，AE5.答案：57如图所示，在矩形ABCD中，AEBD于E，S矩形ABCD40 cm2.SABESDBA15，则AE的长为_解析：因为BAD90，AEBD，所以ABEDBA.所以SABESDBAAB2DB2.因为SABESDBA15，所以ABDB1.设ABk cm，DBk cm，则AD2k cm.因为S矩形ABCD40 cm2，所以k2k40，所以k2(cm)所以BDk10 (cm)AD4(cm)又因为SABDBDAE20，所以10AE20.所以AE4(cm)答案：4 cm三、解答题8如图，已知ABC中，A90，ABAC，D为AB中点，E是AC上的点，BE、CD交于M.若AC3AE，求EMC的度数解：如图，作EFBC于F，设ABAC3，则AD，BC3，CE2，EFFC.BFBCFC2.EFBF212ADAC.FEBADC.21.EMC2MCB，EMC1MCBACB45.9.如图，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DECD.(1)求证：ABFCEB；(2)若DEF的面积为2，求ABCD的面积解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，AC，ABCD.ABFE.ABFCEB.(2)四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD.DEFCEB，DEFABF.DECD，()2，()2.SDEF2，SCEB18，SABF8，S四边形BCDFSBCESDEF16.SABCDS四边形BCDFSABF16824.10如图所示，在矩形ABCD中，AB12 cm，BC6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0t6)，那么：(1)当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果无关的结论(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？解：(1)由题意可知：AQ6t(cm)，AP2t(cm)若QAP为等腰直角三角形，则AQAP，即t2(s)(2)S四边形QAPCS矩形ABCDSDQCSPBC12612t6(122t)726t366t36(cm2)，结论：无论P、Q运动到何处，S四边形QAPC都不变，为36 cm2.(3)QAPABC，.t1.2 s.QAPCBA，.t3 s.即t为1.2 s或3 s时，以Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似