2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：第十一章 概率11.3 .docx

11.3几何概型最新考纲考情考向分析1.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率2.了解几何概型的意义.以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集等知识交汇考查，在高考中多以选择，填空题的形式考查，难度为中档.1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2在几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A).3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性4随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；计算频率fn(A)作为所求概率的近似值题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(6)从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是P.()题组二教材改编2P137思考在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()A. B. C. D1答案B解析坐标小于1的区间为0,1)，长度为1，0,3的区间长度为3，故所求概率为.3P140T1有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案A解析P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(A)>P(C)P(D)>P(B)4P146B组T4设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A. B.C. D.答案D解析如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是，故选D.题组三易错自纠5在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.答案3解析由|x|m，得mxm.当0<m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去当2<m<4时，由题意得，解得m3.6在RtABC中，A30，过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M，则|AM|>|AC|的概率为_答案解析设事件D为“作射线CM，使|AM|>|AC|”在AB上取点C使|AC|AC|，因为ACC是等腰三角形，所以ACC75，事件D发生的区域D907515，构成事件总的区域90，所以P(D).题型一与长度、角度有关的几何概型1(2016全国)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A. B. C. D.答案B解析至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.2.如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为_答案解析因为在DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在CAB内，则区域H为CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为.3(2018届铁岭月考)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为_答案解析设ACx cm(0<x<12)，则CB(12x)cm，则矩形的面积Sx(12x)12xx2.由12xx2<32，即(x8)(x4)>0，解得0<x<4或8<x<12.在数轴上表示，如图所示由几何概型概率公式，得所求概率为.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)题型二与面积有关的几何概型命题点1与平面图形面积有关的问题典例 (2017全国)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是_答案解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑S白S圆，所以由几何概型知，所求概率P.命题点2与线性规划知识交汇命题的问题典例 由不等式组确定的平面区域记为1，由不等式组确定的平面区域记为2，若在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为_答案解析如图，平面区域1就是三角形区域OAB，平面区域2与平面区域1的重叠部分就是区域OACD，易知C，故由几何概型的概率公式，得所求概率P.跟踪训练 (1)(2016全国)从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A. B. C. D.答案C解析由题意得(xi，yi)(i1,2，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，故选C.(2)(2017石家庄调研)在满足不等式组 的平面内随机取一点M(x0，y0)，设事件A“y0<2x0”，那么事件A发生的概率是()A. B.C. D.答案B解析作出不等式组的平面区域即ABC，其面积为4，且事件A“y0<2x0”表示的区域为AOC，其面积为3，所以事件A发生的概率是.题型三与体积有关的几何概型典例 (1)已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC<VSABC的概率是()A. B. C. D.答案A解析当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P1.(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为_答案解析过点M作平面RS平面AC，则两平面间的距离是四棱锥MABCD的高，显然点M在平面RS上任意位置时，四棱锥MABCD的体积都相等若此时四棱锥MABCD的体积等于，只要M在截面以下即可小于，当VMABCD时，即11h，解得h，即点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求跟踪训练 (2017湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A1 B.C. D1答案A解析鱼缸底面正方形的面积为224，圆锥底面圆的面积为.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1，故选A.几何概型中的“测度”典例 (1)在等腰RtABC中，C90，在直角边BC上任取一点M，则CAM<30的概率是_(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为()A. B. C. D.错解展示：(1)C90，CAM30，所求概率为.(2)当两点之间线段长为时，占长为1的线段的一半，故所求概率为.错误答案(1)(2)B现场纠错解析(1)点M在直角边BC上是等可能出现的，“测度”是长度设直角边长为a，则所求概率为.(2)设任取两点所表示的数分别为x，y，则0x1，且0y1.由题意知|xy|<，所以所求概率为P.答案(1)(2)C纠错心得 (1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积1.(2018届潍坊检测)如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为()A. B.C. D无法计算答案B解析正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率P，即，解得S阴影.2设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()A. B.C. D.答案B解析由|z|1可得(x1)2y21，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，满足yx的部分为如图阴影部分所示，由几何概型概率公式可得所求概率为P.3(2018石家庄模拟)已知P是ABC所在平面内一点，20，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是()A. B. C. D.答案D解析以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则，因为20，所以2，得2，由此可得，P是ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的，所以SPBCSABC，所以将一粒黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在PBC内的概率为，故选D.4已知在ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一点D，则使ABD为钝角三角形的概率为()A. B.C. D.答案C解析如图，当BE1时，AEB为直角，则当点D在线段BE(不包含B，E点)上时，ABD为钝角三角形；当BF4时，BAF为直角，则当点D在线段CF(不包含C，F点)上时，ABD为钝角三角形，所以ABD为钝角三角形的概率为.5在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“11”发生的概率为()A. B. C. D.答案A解析由11，得x2，得0x.由几何概型的概率计算公式，得所求概率P.6在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B1C. D1答案B解析记“点P到点O的距离大于1”为A，P(A)1.7(2017江苏)记函数f(x)的定义域为D.在区间4,5上随机取一个数x，则xD的概率是_答案解析设事件“在区间4,5上随机取一个数x，则xD”为事件A，由6xx20，解得2x3，D2,3如图，区间4,5的长度为9，定义域D的长度为5，P(A).8已知平面区域D(x，y)|1x1，1y1，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线ykx(kR)下方的概率为_答案解析由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线ykx将其面积平分，如图，故所求概率为.9.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥AA1BD内的概率为_答案解析因为AA1SABDAA1S矩形ABCDV长方体，故所求概率为.10在区间1,5和2,4上分别各取一个数，记为m和n，则方程1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是_答案解析方程1表示焦点在x轴上的椭圆，m>n.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线mn恰好将矩形平分，所求的概率为P.11在区间，内随机取出两个数分别记为a，b，求函数f(x)x22axb22有零点的概率解由函数f(x)x22axb22有零点，可得(2a)24(b22)0，整理得a2b22，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为(a，b)|a，b，其面积S(2)242.事件A表示函数f(x)有零点，所构成的区域为M(a，b)|a2b22，即图中阴影部分，其面积为SM423，故P(A)1.12已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab<0的概率解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636，由ab1，得2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个故满足ab1的概率为.(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6满足ab<0的基本事件的结果为A(x，y)|1x6,1y6且2xy<0画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形25，阴影部分的面积为S阴影252421，故满足ab<0的概率为.13.如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2 km，大圆的半径为4 km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，则在运行过程中，点P与点O的距离小于3 km的概率为_答案解析根据几何概型公式，小于3 km的圆环面积为(3222)5.圆环总面积为(4222)12，所以点P与点O的距离小于3 km的概率为P(A).14已知关于x的二次函数f(x)ax24bx1.设点(a，b)是区域内的一点，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率解函数f(x)ax24bx1的图象的对称轴为直线x，要使f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，当且仅当a>0且1，即2ba.如图所示，事件的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分(阴影部分)由得交点坐标为，故所求事件的概率为P.15在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“xy”的概率，则()Ap1<p2< Bp2<<p1C.<p2<p1 Dp1<<p2答案D解析在直角坐标系中，依次作出不等式和的可行域如图所示：依题意知，p1，p2，而，所以p1<<p2.故选D.16甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0x24，0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件构成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24A为图中阴影部分，全部结果构成集合为边长是24的正方形及其内部所求概率为P(A).