2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：5.1 平面向量的概念及线性运算 .docx

5.1平面向量的概念及线性运算最新考纲考情考向分析1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目偶尔会在解答题中作为工具出现.1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(3)交换律：abba；(4)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(6)|a|a|；(7)当>0时，a与a的方向相同；当<0时，a与a的方向相反；当0时，a0(8)(a)()a；(9)()aaa；(10)(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.知识拓展1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量2若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则()3.(，为实数)，若点A，B，C共线，则1.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关()(3)若ab，bc，则ac.()(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反()题组二教材改编2P86例4已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且a，b，则_，_.(用a，b表示)答案baab解析如图，ba，ab.3P108B组T5在平行四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD的形状为_答案矩形解析如图，因为，所以|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形题组三易错自纠4对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若ab0，则ab，所以ab.若ab，则ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件5设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.答案解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则解得.6设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_答案解析()，1，2，即12.题型一平面向量的概念1有下列命题：两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同；若|a|b|，则ab；若|，则四边形ABCD是平行四边形；若mn，nk，则mk；若ab，bc，则ac；有向线段就是向量，向量就是有向线段其中，假命题的个数是()A2 B3C4 D5答案C解析对于，两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同，正确；对于，若|a|b|，方向不确定，则a，b不一定相等，错误；对于，若|，不一定相等，四边形ABCD不一定是平行四边形，错误；对于，若mn，nk，则mk，正确；对于，若ab，bc，当b0时，ac不一定成立，错误；对于，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，错误综上，假命题是，共4个，故选C.2设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.思维升华 向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线题型二平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算典例 (1)(2018届贵州遵义航天高级中学一模)如图所示，向量a，b，c，A，B，C在一条直线上，且3，则() Acba BcabCca2b Dca2b答案A解析由3，可得3()，则ba，故选A.(2)(2017青海西宁一模)如图，在ABC中，点D在BC边上，且CD2DB，点E在AD边上，且AD3AE，则用向量，表示为() A BC D答案B解析由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得().命题点2根据向量线性运算求参数典例 (1)(2018届河北省武邑中学调研)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点若(，R)，则等于() A1 B C D答案B解析E为线段AO的中点，故选B.(2)在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()A BC D答案D解析设y，yy()y(1y).3，点O 在线段CD上(与点C，D不重合)，y，x(1x)，xy，x.思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则(2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值跟踪训练(1)(2017江西赣州二模)如图，已知a，b，3，2，则等于() Aba BabCab Dba答案D解析由平面向量的三角形法则可知，()ab，故选D.(2)如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于点K，其中，则的值为_答案解析，2.由向量加法的平行四边形法则可知，()2，E，F，K三点共线，21，.题型三共线向量定理的应用典例 设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线(1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5，共线又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)解假设kab与akb共线，则存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，k1.引申探究若将本例(1)中“2a8b”改为“amb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？解(amb)3(ab)4a(m3)b，即4a(m3)b.若A，B，D三点共线，则存在实数，使.即4a(m3)b(ab)解得m7.故当m7时，A，B，D三点共线思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线跟踪训练 (1)(2017资阳模拟)已知向量a3b，5a3b，3a3b，则()AA，B，C三点共线 BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线 DB，C，D三点共线答案B解析2a6b2(a3b)2，共线，又有公共点B，A，B，D三点共线故选B.(2)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2x0成立的实数x的取值集合为()A0 BC1 D0，1答案C解析，x2x0，即x2(x1)，A，B，C三点共线，x2(x1)1，即x2x0，解得x0或x1.当x0时，x2x0，此时B1，C两点重合，不合题意，舍去故x1.故选C.容易忽视的零向量典例 下列叙述错误的是_(填序号)若非零向量a与b方向相同或相反，则ab与a，b之一的方向相同；|a|b|ab|a与b方向相同；向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba；0；若ab，则ab.错解展示：中两个向量的和仍是一个向量，所以0.错误答案现场纠错解析对于，当ab0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同对于，当a，b之一为零向量时结论不成立对于，当a0且b0时，有无数个值；当a0但b0或a0但b0时，不存在对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以0.对于，当0时，不管a与b的大小与方向如何，都有ab，此时不一定有ab.故均错答案纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线其中正确的命题的个数为()A1 B2C3 D4答案A解析因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此是正确的；若a0(为实数)，则a也可以为零向量，因此命题是错误的；若，为0，尽管有ab，则a与b也不一定共线，即命题是错误的，故选A.2(2018安徽淮北第一中学最后一卷)设a，b都是非零向量，下列四个条件，使成立的充要条件是()Aab Ba2bCab且|a|b| Dab且方向相同答案D解析表示a方向的单位向量，因此的充要条件是a与b同向即可，故选D.3(2018四川乐山调研)如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则等于() Aab BabCab Dab答案D解析连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，可得AOCCODBOD60，且OAC和OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以ab，故选D. 4已知a2b，5a6b，7a2b，则下列一定共线的三点是()AA，B，C BA，B，DCB，C，D DA，C，D答案B解析因为3a6b3(a2b)3，又，有公共点A，所以A，B，D三点共线5(2018济宁模拟)如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为() A1 B2C3 D4答案B解析O为BC的中点，()(mn)，M，O，N三点共线，1，mn2.6(2018届南宁二中、柳州高中联考)已知a，b是不共线的向量，a2b，a(1)b，且A，B，C三点共线，则等于()A1 B2C2或1 D1或2答案D解析由于A，B，C三点共线，故，即(1)210，解得1或2.故选D.7已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下列结论正确的是_(填序号)ab；ab；|a|b|；abab.答案解析根据向量加法、减法的几何意义可知，|ab|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|ab|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以ab.8(2018青岛质检)已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确命题的序号为_答案解析a，b，ab，ab，()(ab)ab，所以baabba0.所以正确命题的序号为.9(2018辽宁大连双基测试)在锐角ABC中，3，xy，则_.答案3解析由题设可得3()，即43，亦即，则x，y，故3.10在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是_答案解析由题意可求得AD1，CD，2，点E在线段CD上，(01)，又2，1，即，01，0.即的取值范围是.11(2018重庆调研)如图所示，在ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设a，b，试用a，b表示向量.解由D，O，C三点共线，可设k1k1()k1k1ak1b(k1为实数)，同理，可设k2k2()k2k2ak2b(k2为实数)，又a(1k1)ak1b，所以由，得k2ak2b(1k1)ak1b，即(1k12k2)ab0.又a，b不共线，所以解得所以ab.所以a(ab)12设a，b是不共线的两个非零向量(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若ab，2a3b，2akb，且A，C，D三点共线，求k的值(1)证明由已知得，3ab2aba2b，a3b3ab2a4b，故2，又与有公共点B，所以A，B，C三点共线(2)解3a2b，2akb.因为A，C，D三点共线，所以，即3a2b2akb，所以所以综上，k的值为.13(2017安徽马鞍山质检)已知P，Q为ABC中不同的两点，且320，0，则SPABSQAB为()A12 B21C23 D32答案A解析因为322()0，所以P在与BC平行的中位线上，且是该中位线上的一个三等分点，可得SPABSABC，0，可得Q是ABC的重心，因此SQABSABC，SPABSQAB12，故选A.14(2018泉州模拟)已知点D为ABC所在平面上一点，且满足，若ACD的面积为1，则ABD的面积为_答案4解析由，得54，所以4()，即4.所以点D在边BC上，且|4|，所以SABD4SACD4.15(2018太原质检)设G为ABC的重心，且sin Asin Bsin C0，则角B的大小为_答案60解析G是ABC的重心，0，()，将其代入sin Asin Bsin C0，得(sin Bsin A)(sin Csin A) 0.又，不共线，sin Bsin A0，sin Csin A0，则sin Bsin Asin C根据正弦定理知，bac，ABC是等边三角形，则B60.16(2017河北百校联盟联考)已知在ABC中，点D满足20，过点D的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N，.若>0，>0，则的最小值为_答案解析因为20，所以，().因为D，M，N三点共线，所以存在xR，使x(1x)，则x(1x)，所以x(1x)，所以x，(1x)，所以x，1x，所以1，所以()，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.