2018版高中数学（人教B版）必修五学案：第三章 3.2 均值不等式（二） .docx

www.ks5u.com32均值不等式 (二)学习目标1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题知识链接1已知x，y都是正数，若xys(和为定值)，那么xy有最大值还是最小值？如何求？答xy有最大值由均值不等式，得sxy2，所以xy，当xy时，积xy取得最大值.2已知x，y都是正数，若xyp(积为定值)，那么xy有最大值还是最小值？如何求？答xy有最小值. 由均值不等式，得xy22.当xy时，xy取得最小值2.预习导引1用均值不等式求最值的结论(1)设x，y为正实数，若xys(和s为定值)，则当xy时，积xy有最大值，且这个值为.(2)设x，y为正实数，若xyp(积p为定值)，则当xy时，和xy有最小值，且这个值为2.2均值不等式求最值的条件(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值(3)等号成立的条件是否满足.要点一均值不等式与最值例1(1)若x>0，求函数yx的最小值，并求此时x的值；(2)设0<x<，求函数y4x(32x)的最大值；(3)已知x>2，求x的最小值；(4)已知x>0，y>0，且 1，求xy的最小值解(1)当x>0时，x2 4，当且仅当x，即x24，x2时取等号函数yx(x>0)在x2时取得最小值4.(2)0<x<，32x>0，y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x，即x时，等号成立(0，)函数y4x(32x)(0<x<)的最大值为.(3)x>2，x2>0，xx222 26，当且仅当x2，即x4时，等号成立所以x的最小值为6.(4)方法一x>0，y>0，1，xy()(xy)1021061016，当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.方法二由1，得(x1)(y9)9(定值)可知x>1，y>9，xy(x1)(y9)1021016，当且仅当x1y93，即x4，y12时上式取等号，故当x4，y12时，(xy)min16.规律方法在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件跟踪演练1(1)已知x>0，求f(x)3x的最小值；(2)已知x<3，求f(x)x的最大值；(3)设x>0，y>0，且2x8yxy，求xy的最小值解(1)x>0，f(x)3x212，当且仅当3x，即x2时取等号f(x)的最小值为12.(2)x<3，x3<0.f(x)x(x3)3(3x)32 31，当且仅当3x，即x1时取等号f(x)的最大值为1.(3)方法一由2x8yxy0，得y(x8)2x，x>0，y>0，x8>0，y，xyxx(x8)102 1018.当且仅当x8，即x12时，等号成立xy的最小值是18.方法二由2x8yxy0及x>0，y>0，得1.xy(xy)()1021018.当且仅当，即x2y12时等号成立xy的最小值是18.要点二均值不等式在实际问题中的应用例2某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)解(1)依题意得y(56048x)56048x (x10，xN)(2)x>0，48x21 440，当且仅当48x，即x15时取到“”，此时，平均综合费用的最小值为5601 4402 000(元)所以当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元规律方法利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件跟踪演练2某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天的支付的总费用最少？解设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨由题意可知，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)设平均每天所支付的总费用为y元，则y9x(x1)90061 8009x10 809210 80910 989(元)，当且仅当9x，即x10时，等号成立该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年巴西里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用)解(1)由题意可设3x，将t0，x1代入，得k2.x3.当年生产x万件时，年生产成本年生产费用固定费用，年生产成本为32x332(3)3.当销售x(万件)时，年销售收入为150%32(3)3t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润y (t0)(2)y50()50250242(万元)，当且仅当，即t7时，ymax42万元，当促销费投入7万元时，企业的年利润最大规律方法应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)跟踪演练3一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于()2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要_小时答案8解析设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t28(小时)，当且仅当，即v100千米/时等号成立，此时t8小时.1设a、b是实数，且ab3，则2a2b的最小值是()A6B4C2D8答案B解析ab3，2a2b2224.2已知x，则f(x)有()A最大值 B最小值C最大值1 D最小值1答案D解析f(x)(x2)1.当且仅当x2，即x3时等号成立3将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A6.5 m B6.8 m C7 m D7.2 m答案C解析设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab2，ab4，lab2426.828(m)因为要求够用且浪费最少，故选C.4已知x>0，y>0，x2y2xy8，则x2y的最小值是_答案4解析由x2y2xy8，得x2y()28，即(x2y)24(x2y)320，解得x2y4.1用均值不等式求最值(1)利用均值不等式求最值要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到这三个条件缺一不可(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数yx(p>0)的单调性求得函数的最值2求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答