2018版高中数学（人教B版）必修五学案：第一章 1.1.2 余弦定理（二） .docx

www.ks5u.com1.1.2余弦定理(二)学习目标1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题知识链接1以下问题不能用余弦定理求解的是 (1)已知两边和其中一边的对角，解三角形(2)已知两角和一边，求其他角和边(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角(4)已知一个三角形的三条边，解三角形答案(2)2利用余弦定理判断三角形的形状，正确的是 (1)在ABC中，若a2b2c2，则ABC为直角三角形(2)在ABC中，若a2<b2c2，则ABC为锐角三角形(3)在ABC中，若a2>b2c2，则ABC为钝角三角形答案(1)(3)预习导引1正弦定理及其变形(1)2R(R为ABC外接圆半径)(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.2余弦定理及其推论(1)a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.(2)cos A，cos B，cos C.(3)在ABC中，c2a2b2C为直角；c2>a2b2C为钝角；c2<a2b2C为锐角3三角变换公式(1)cos()cos cos sin sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)cos2cos2sin22cos2112sin2.要点一正、余弦定理的综合应用例1如图所示，在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长解在ABD中，AD10，AB14，BDA60，设BDx，由余弦定理，得AB2AD2BD22ADBDcosBDA，142102x2210xcos 60，即x210x960，解得x116，x26(舍去)，BD16.ADCD，BDA60，CDB30.在BCD中，由正弦定理：，BC8.规律方法余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息跟踪演练1 在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2c22b，且sin Acos C3cos Asin C，求b.解方法一在ABC中，sin Acos C3cos Asin C，则由正弦定理及余弦定理有：a3()c，化简并整理得：2(a2c2)b2.又由已知a2c22b，4bb2.解得b4或b0(舍)方法二由余弦定理得：a2c2b22bccos A.又a2c22b，b0.所以b2ccos A2.又sin Acos C3cos Asin C，sin Acos Ccos Asin C4cos Asin C，sin(AC)4cos Asin C，即sin B4cos Asin C，由正弦定理得sin Bsin C，故b4ccos A由解得b4.要点二利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式例2在ABC中，有：(1)abcos Cccos B；(2)bccos Aacos C；(3)cacos Bbcos A；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明证明方法一(1)设ABC外接圆半径为R，由正弦定理得b2Rsin B，c2Rsin C，bcos Cccos B2Rsin Bcos C2Rsin Ccos B2R(sin Bcos Ccos Bsin C)2Rsin(BC)2Rsin Aa.即abcos Cccos B同理可证(2)bccos Aacos C；(3)cacos Bbcos A.方法二(1)由余弦定理得cos B，cos C，bcos Cccos Bbca.abcos Cccos B.同理可证(2)bccos Aacos C；(3)cacos Bbcos A.规律方法(1)证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异形式上一般有：左右；右左或左中右三种(2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种途径：一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化跟踪演练2在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：.证明方法一因为左边，右边，等式成立方法二设ABC外接圆半径为R，右边左边等式成立要点三利用正、余弦定理判断三角形形状例3在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，试确定ABC的形状解由(abc)(bca)3bc，得b22bcc2a23bc，即a2b2c2bc，cos A，又A(0，)，A，又sin A2sin Bcos C，由正、余弦定理，得a2b，b2c2，bc，ABC为等边三角形规律方法题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断跟踪演练3在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状解方法一根据余弦定理得b2a2c22accos BB60，2bac，2a2c22accos 60，整理得(ac)20，ac.又2bac，2b2a，即ba.ABC是等边三角形方法二根据正弦定理，2bac可转化为2sin Bsin Asin C.又B60，AC120.C120A，2sin 60sin Asin(120A)，整理得sin(A30)1，A60，C60.ABC是等边三角形1在ABC中，sin Asin Bsin C323，则cos C的值为()A.BC.D答案A 解析根据正弦定理， abcsin Asin Bsin C323，设a3k，b2k，c3k(k>0)则有cos C.2在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状一定是 ()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形D等边三角形答案C解析2cos Bsin Asin C，2ac，ab.故ABC为等腰三角形3在ABC中，若a2c2b2ac，则角B的值为 答案解析根据余弦定理，cos B，又B(0，)，所以B.4在ABC中，若B30，AB2，AC2，则满足条件的三角形有几个？解设BCa，ACb，ABc，由余弦定理，得b2a2c22accos B，22a2(2)22a2cos 30，即a26a80，解得a2或a4.当a2时，三边为2,2,2可组成三角形；当a4时，三边为4,2,2也可组成三角形满足条件的三角形有两个1已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单2根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径(1)化边为角，并利用三角恒等变形进行化简；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 3在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一4利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件