2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义：第一讲 坐标系二 第1课时 .docx

1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向.(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.O点称为极点，Ox称为极轴.(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从射线Ox到射线OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对(，)就叫做点M的极坐标.2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与x轴的正半轴重合；两种坐标系取相同的长度单位.(2)互化公式：.【思维导图】【知能要点】1.极坐标系的四要素.2.点的极坐标的写法.3.极坐标和直角坐标的互化.知识点1极坐标系的概念与点的极坐标1.极坐标系的概念极坐标系的建立有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向.四者缺一不可.极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.2.点的极坐标：每一个有序实数对(，)确定一个点的位置.其中，是点M的极径，是点M的极角.平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标.根据点的极坐标(，)的定义，对于给定的点(，)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(，2k) (kZ)，另一类为(，2k) (kZ).在极坐标(，)中，一般限定0.当0时，就与极点重合，此时不确定.给定点的极坐标(，)可唯一地确定了平面上的一个点.但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式.由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系，这是极坐标与直角坐标的不同之处.如果限定>0，0<2，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系.【例1】 已知最内层的圆的半径为1，且各圆间等距离，距离为1.写出图中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(>0，0<2).解：对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A，B，C，D，E(9，0)，F(3，)，G.【反思感悟】 (1)写点的极坐标要注意顺序：极径在前，极角在后，不能把顺序搞错了.(2)点的极坐标是不唯一的，但若限制>0，0<2，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.1.已知最内层的圆的半径为1，且各圆间等距离，距离为1.写出下列图中各点的极坐标.解：A(4，0)，B，C，D，E，F，G.【例2】 在极坐标系中，作出下列各点：A，B(6，120)，C，D，E(4，0)，F(2.5，180).解：各点描点如图所示.【反思感悟】 知道点的极坐标(，)，我们可以先根据极角确定方向(射线)，然后根据来确定距离，进而描出(，)的对应点.2.某大学校园的部分平面示意图如图所示.用点O、A、B、C、D、E、F分别表示校门，器材室，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.(限定0，0<2且极点为(0，0)解：以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示.由|OB|600 m，AOB30，OAB90，得|AB|300 m，|OA|300m，同样求得|OD|2|OF|300，所以各点的极坐标分别为O(0，0)，A(300，0)，B，C，D，E(300，)，F.【例3】 在极坐标中，若等边ABC的两个顶点是A，B，那么顶点C的坐标可能是()A. B.C.(2，) D.(3，)答案：B解析：如图所示，由题设可知A、B两点关于极点O对称，即O是AB的中点.又|AB|4，ABC为正三角形，|OC|2，AOC，C对应的极角或，即C点极坐标为或.【反思感悟】 (1)在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的方法是一致的.(2)极坐标系中的有关对称问题：点(，)关于极轴的对称点是(，)，关于过极点与极轴垂直的直线的对称点是(，)，关于极点O的对称点是(，).3.已知点M的极坐标是，它关于直线的对称点坐标是()A. B.C. D.答案：B解析：描点时，先找到角的终边.又因为2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点.直线，就是由极角为的点的集合.故M关于直线的对称点为M，但是选择项没有这样的坐标.又因为M的坐标还可以写成M，故选B.知识点2两点间的距离公式一般地，设A(1，1)，B(2，2)，由余弦定理可得到两点间的距离公式|AB|.【例4】 已知A、B两点的极坐标分别是，求A、B两点间的距离和AOB的面积.解：求两点间的距离可用如下公式：|AB| 2.SAOB|12sin(12)|244.【反思感悟】 求两点间距离可以直接套用公式，求三角形面积时可以结合公式Sabsin 考虑.4.在极坐标系中，已知A，B，C，则ABC是()A.钝角三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案：C解析：在AOB中，|OA|5，|OB|8，AOB，由余弦定理得|AB|22564258cos 49，在AOC中，|OA|5，|OC|3，AOC，由余弦定理得|AC|2259253cos 49，在BOC中，|OB|8，|OC|3，BOC，由余弦定理得|BC|2649283cos 49，|AB|AC|BC|7，即ABC为等边三角形.知识点3极坐标与直角坐标的互化我们把极轴与平面直角坐标系xOy的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，设P(x，y)是平面上的任一点，如图所示，则从可得 与是平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标(x，y)与极坐标(，)之间的换算公式.【例5】 (1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点N的直角坐标(，1)化成极坐标.解：(1)x5cos ，y5sin .点M的直角坐标是.(2)2，tan .又点N在第三象限，>0.最小正角.故点N的极坐标是.【反思感悟】 把极坐标化成直角坐标，直接代入公式即可；把直角坐标化为极坐标，通常有不同的表示法(极角相差2的整数倍)，一般只要取0，2)，>0即可.5.(1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(，)化成极坐标.(>0，0<2)解：(1)x8cos 4，y8sin 4，因此，点M的直角坐标是(4，4).(2)2，tan ，又因为点在第四象限，得.因此，点P的极坐标为.课堂小结1.建立极坐标系可以确定点的位置，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.规定>0，0<2，则除极点外，平面直角坐标系内的点和极坐标一一对应.2.利用极坐标可以刻画点的位置，有时比直角坐标方便，在台风预报、测量、航空、航海中主要采用这种方法.3.以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并且取相同的长度单位，平面内一点的直角坐标和极坐标可以进行互化.随堂演练1.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为2sin ，则曲线C的直角坐标方程为_.答案：x2y22y0解析：利用直角坐标与极坐标的互化公式转化即可.2sin ，22sin ，x2y22y，即x2y22y0.2.在直角坐标系中，已知点A(3，3)，B(3，3).将A，B两点的直角坐标化为极坐标.解：直接根据互化公式，可得A的极坐标为，B的极坐标为.3.中央气象台在2010年7月15日发布的一则台风消息：今年第2号热带风暴“康森”的中心今天晚上八点钟已经移到了距离万宁市东南方大约380千米的南海海面上，中心附近最大风力有12级.请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置(0，0<2).解：以万宁市所在地为极点，正东方向为极轴(单位长度为1千米)建立极坐标系，则该台风中心的位置的极坐标为A.4.已知点Q(，)，分别按下列条件求出点P的极坐标.(1)点P是点Q关于极点O的对称点；(2)点P是点Q关于直线的对称点.解：(1)由于P、Q关于极点对称，得它们的极径|OP|OQ|，极角相差(2k1)(kZ).所以，点P的极坐标为(，(2k1)或(，2k)(kZ).(2)由P，Q关于直线对称，得它们的极径|OP|OQ|，点P的极角满足2k(kZ)，所以点P的坐标为 (，(2k1)或(，2k)(kZ).基础达标1.已知点P的直角坐标为(，)，那么它的极坐标可表示为()A. B. C. D.答案：B解析：直接利用极坐标与直角坐标的互化公式.2.一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P1(5，109)，P2(4，49)，则这个三角形P1OP2的面积为()A.5 B.10 C. D.10答案：A解析：点P1的坐标可写为(5，71)，则P1OP2120，SP1OP245sin 1205.3.在极坐标系中，已知点P，若P的极角满足<<，R，则下列点中与点P重合的是()A.，B.，C.，D.答案：D解析：利用极角的意义设点A(P，)与A(，)关于极点对称解题.4.已知极坐标系中，极点为O，0<2，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为_.答案：或解析：如下图所示，|OM|3，xOM，在直线OM上取点P，Q，使|OP|7，|OQ|1，显然有|PM|OP|OM|734，|QM|OM|OQ|314.点P，Q都满足条件，且xOP，xOQ.5.在极坐标系中，圆8sin 上的点到直线(R)距离的最大值是_.答案：6解析：将极坐标方程化为直角坐标方程求解.圆8sin 化为直角坐标方程为x2y28y0，即x2(y4)216，直线(R)化为直角坐标方程为yx，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径.圆心(0，4)到直线yx的距离为2，又圆的半径r4，所以圆上的点到直线的最大距离为6.6.在极坐标系中，已知三点P，Q，R(6，2).(1)将P、Q、R三点的极坐标化为直角坐标；(2)求PQR的面积.解：(1)P(2，2)，Q(4，4)，R(6，0).(2)直线PQ的方程为y4，与x轴的交点坐标为，SPQR144.综合提高7.在极坐标系中，点A，B，则线段AB中点的极坐标为()A. B. C. D.答案：A解析：由点A，B知，AOB，于是AOB为等腰直角三角形，所以|AB|1，设线段AB的中点为C，则|OC|，极径OC与极轴所成的角为，所以线段AB中点C的极坐标为.8.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A.，0B.，0C.cos sin ，0D.cos sin ，0答案：A解析：将极坐标方程转化为直角坐标方程即可.A中，由，得cos sin 1，xy1，y1x(0x1).B中，由，得y1x.C中，由cos sin ，得2cos sin ，即x2y2xy(0x1).D中，由cos sin ，得x2y2xy.9.在极坐标系中，点到直线(cos sin )6的距离为_.答案：1解析：借助极坐标与直角坐标互化求解.由知极坐标可化为(1，)，直线(cos sin )6可化为xy60.故所求距离为d1.10.已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为_.答案：解析：根据极坐标方程与普通方程的互化及点到直线的距离公式求解.由2sin，得2，yx1.由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，2)，d.11.在极坐标系中，(1)求A，B两点间的距离；(2)已知点P的极坐标为(，)，其中1，R，求满足条件的点P的轨迹.解：(1)A，B在过极点且与极轴成的直线上，它们位于极点的两侧，|AB|51217.(2)由于点P的极径恒为1，且R，因此，点P在以1为半径，极点为圆心的圆上.12.已知ABC三个顶点的极坐标分别为A，B，C，极点O(0，0).(1)判断OAB的形状；(2)求ABC的面积.解：所给各点的直角坐标分别为A(0，2)，B(，1)，C，O(0，0).(1)|AB|2，|OA|OB|2，OAB为等边三角形.(2)|AC|，|BC|，|AB|2，ABC为等腰三角形.AB的中点为D，|CD|2，SABC|AB|CD|222(面积单位).