2019届高三数学课标一轮复习单元质检： 五平面向量与复数 .docx
单元质检五平面向量与复数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2017课标高考)设复数z满足(1+i)z=2i,则z=()A.12B.22C.2D.22.(2017浙江诸暨调研)在ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,CD=rAB+sAC,则r+s等于()A.23B.43C.-3D.03.(2017浙江绍兴一模)已知i是虚数单位,复数z=12+i,则zz=()A.25B.5C.125D.154.已知a,b是任意的两个向量,则下列关系式中不恒成立的是()A.|a|+|b|a-b|B.|ab|a|b|C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b35.(2017浙江绍兴期中)已知|a|=2,|b|=3,(2a+b)(a-2b),则向量b在向量a方向上的投影为()A.-53B.54C.-56D.566.(2017浙江台州模拟)已知向量a=cos ,sin ,b=cos ,sin ,那么()A.abB.abC.(a+b)(a-b)D.a与b的夹角为+7.已知O为ABC内一点,且满足OA+OB+(-1)OC=0.若OAB的面积与OAC的面积比值为13,则的值为()A.32B.2C.13D.128.(2017浙江温州二模)记maxa,b=a,ab,b,a<b.已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,ab=0,c=a+b(,0,且+=1),则当maxca,cb取最小值时,|c|=()A.255B.223C.1D.529.已知向量a与b的夹角为,定义ab为a与b的“向量积”,且ab是一个向量,它的长度|ab|=|a|b|sin ,若u=(2,0),u-v=(1,-3),则|u(u+v)|=()A.43B.3C.6D.2310.(2017浙江温州模拟)如图所示的扇形中,OA=1,AOB=90 ,M是OB中点,P是弧AB上的动点,N是线段OA上的动点,则PMPN的最小值为()A.0B.1-52C.5-32D.1-52二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.若向量a与b满足|a|=2,|b|=2,(a-b)a,则向量a与b的夹角等于,|a+b|=.12.(2017浙江绍兴)若复数z=4+3i,其中i是虚数单位,则|z|=,1+iz=.13.(2017浙江杭州调研)已知复数z=x+yi,其中x,yR,且|z-2|=3,则yx的最大值为,最小值为.14.设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为60,若a=e1+3e2,b=2e1,则|a+b|等于,向量a在b方向上的投影为.15.ABC中,cos A=13,AB=2,则CACB的最小值是.16.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c-b=6,c+b-a=2,且O为此三角形的内心,则AOCB=.17.(2017浙江宁波二模)已知向量a,b满足|b|=3,|a|=2|b-a|,若|a+b|3恒成立,则实数的取值范围为.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|;(3)若AB=a,BC=b,求ABC的面积.19.(15分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在ABC三边围成的区域(含边界)上,且OP=mAB+nAC(m,nR).(1)若m=n=23,求|OP|;(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.20.(15分)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且向量m=(5a-4c,4b)与向量n=(cos C,cos B)共线.(1)求cos B;(2)若b=10,c=5,a<c,且AD=2DC,求BD的长度.21.(15分)(2017浙江杭州联考)如图,已知O为ABC的外心,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若3OA+4OB+5OC=0,求cos BOC的值;(2)若COAB=BOCA,求b2+c2a2的值.22.(15分)(2017浙江杭州模拟)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2a-c)cos B=bcos C,ABBC=-3.(1)求ABC的面积;(2)若sin Asin C=32,求AC边上的中线BD的长.答案：1.C由题意,得z=2i1+i=1+i,故|z|=12+12=2.2.D因为CD=2DB,所以CD=23CB=23(AB-AC)=23AB-23AC,则r+s=23+-23=0,故选D.3.Dz=12+i=2-i(2+i)(2-i)=25-i5,zz=|z|2=252+-1522=15.故选D.4.D由三角形的三边关系和向量的几何意义,得|a|+|b|a-b|,A正确;|ab|=|a|b|cos<a,b>|,又|cos<a,b>|1,|ab|a|b|恒成立,B正确;由向量数量积的运算,得(a-b)2=a2-2ab+b2,C正确;根据排除法,故选D.5.A|a|=2,|b|=3,(2a+b)(a-2b),(2a+b)(a-2b)=2a2-3ab-2b2=0,ab=-103.向量b在向量a方向上的投影为ab|a|=-53,故选A.6.Ca=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),ab=cos cos +sin sin =cos(-).ab不一定为0,故选项A不正确;a与b都是单位向量,方向任意,故选项B不正确;(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2=0,故选项C正确;a与b的夹角任意,故选项D不正确.故选C.7.AOA+OB+(-1)OC=0,(OB+OC)=OC-OA=AC.取BC的中点D,AB的中点E,连接DE,则2OD=AC.O在线段DE上,且2OD=AC=2DE,=DEOD,连接AD.设OD=1,则DE=,OE=-1.SAOBSABD=OEDE=-1,SABD=SADC=SAOC=12SABC,SAOBSAOC=-1=13,解得=32.故选A.8.A由题设可得ca=a2+ab=,cb=ab+b2=4=4(1-),因为maxca,cb=,4(1-)=,45,4(1-),<45,由于01,所以当0<45时,45<4-44;当451时,451,故maxca,cb的最小值为45,此时=45,=15,则c=45a+15b,故|c|=1625a2+825ab+125b2=255.故选A.9.D由题意v=u-(u-v)=(1,3),则u+v=(3,3),cos<u,u+v>=32.所以sin<u,u+v>=12.由定义知|u(u+v)|=|u|(u+v)|sin<u,u+v>=22312=23.故选D.10.D建立如图所示的平面直角坐标系,设P(cos t,sin t),M0,12,N(m,0),则PM=-cost,12-sint,PN=(m-cos t,-sin t),故PMPN=1-12sint+mcost,因为0m1,所以PMPN=1-12sint+mcost1-12sint+cost;又因为1-12sint+cost=1-14+1sin(t+)=1-52sin(t+)(tan =2),所以1-12sint+cost=1-52sin(t+)1-52(当且仅当sin(t+)=1时取等号),故选D.11.410(a-b)a,(a-b)a=0,a2=ab=2.cos<a,b>=ab|a|b|=22.<a,b>=4.|a+b|=(a+b)2=a2+2ab+b2=2+4+4=10.12.57+i25|z|=42+32=5,1+iz=1+i4+3i=(1+i)(4-3i)(4+3i)(4-3i)=7+i25,故答案为:5,7+i25.13.3-3|z-2|=(x-2)2+y2=3,(x-2)2+y2=3.由图可知yxmax=31=3.yxmin=-3.14.3352e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为60,a=e1+3e2,b=2e1,|e1+e2|2=e12+e22+|e1|e2|cos 60=1+1+1=3.|e1+e2|=3.a+b=3e1+3e2=3(e1+e2).|a+b|=33.ab=(e1+3e2)2e1=6e1e2+2e12=61112+2=5,|b|=|2e1|=2,向量a在b方向上的投影为ab|b|=52.15.-19以AC为x轴,以A为原点建立平面直角坐标系,设AC=x,则C(x,0),B23,423,A(0,0).CA=(-x,0),CB=23-x,423.CACB=x2-23x=x-132-19.当x=13时,CACB取得最小值-19.16.6过O作ODAB于D,OEAC于E,则AOCB=AO(AB-AC)=AOAB-AOAC=|AD|AB|-|AE|AC|,因为O为ABC的内心,所以|AD|AB|-|AE|AC|=|AD|c-|AD|b,|AD|=a+b+c-(|BD|+|BC|+|CE|)2=c+b-a2,所以AOCB=(c-b)(c+b-a)2=6.17.-,-4313,+设OA=a,OB=b,则AB=b-a,设|a|=x,则|OA|=x,|AB|=x2,x+x23,x-x23,解得2x6.即2|a|6.|a|=2|b-a|,a2=4(9-2ab+a2),即3a2-8ab+36=0.ab=38a2+92.|a+b|3恒成立,a2+238a2+92+929.令f(a2)=1+34a2+9+92-9,则f(a2)min0,a24,36.(1)若1+34=0即=-43时,f(a2)=9+92-9=-5,不符合题意;(2)若1+34>0即>-43时,f(a2)为增函数,故f(a2)min=f(4)=92+12-50,解得13或-53,13.(3)若1+34<0即<-43时,f(a2)为减函数,故f(a2)min=f(36)=92+36+270,解得1或3.<-43.综上,<-43或13.故答案为-,-4313,+.18.解 (1)(2a-3b)(2a+b)=61,4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,64-4ab-27=61,ab=-6.cos =ab|a|b|=-643=-12.又0,=2 3.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,|a+b|=13.(3)AB与BC的夹角=2 3,ABC=-23=3.又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3,SABC=12|AB|BC|sin ABC=124332=33.19.解(1)m=n=23,AB=(1,2),AC=(2,1),OP=23(1,2)+23(2,1)=(2,2).|OP|=22+22=22.(2)OP=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),x=m+2n,y=2m+n,两式相减,得m-n=y-x.令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.20.解 (1)m,n共线,(5a-4c)cos B-4bcos C=0,即5sin Acos B=4sin Ccos B+4sin Bcos C=4sin(B+C)=4sin A.sin A0,cos B=45.(2)在ABC中,由余弦定理,得cos B=a2+c2-b22ac=45,即a2+1510a=45,解得a=3或a=5(舍去).cos A=b2+c2-a22bc=131050.AD=2DC,AD=23b=2103.在ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2ABADcos A=1099.BD=1093.21.分析 (1)将条件中的式子变形为4OB+5OC=-3OA,两边平方后利用圆的性质即可求解;(2)将条件中的式子变形,利用平面向量数量积的定义得到A,B,C满足的一个关系式,从而求解.解 (1)设外接圆半径为R,由3OA+4OB+5OC=0得:4OB+5OC=-3OA,两边平方得:16R2+40OBOC+25R2=9R2,即:OBOC=-45R2,则cosBOC=-45.(2)COAB=BOCA,CO(OB-OA)=BO(OA-OC),即-OCOB+OCOA=-OBOA+OBOC,可得-R2cos 2A+R2cos 2B=-R2cos 2C+R2cos 2A,2cos 2A=cos 2C+cos 2B,即:2(1-2sin2A)=2-(2sin2B+2sin2C),2sin2A=sin2B+sin2C,利用正弦定理变形得:2a2=b2+c2,b2+c2a2=2.22.分析 (1)已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式变形,根据sin A不为0求出cos B的值,即可确定出B的度数,利用平面向量数量积的运算可求ac的值,进而利用三角形面积公式计算得解.(2)由正弦定理化简可得a=3c2,结合ac=6,可求a,c的值,由于BD=12(BA+BC),平方后利用平面向量的运算即可解得AC边上的中线BD的长.解 (1)已知等式(2a-c)cos B=bcos C,利用正弦定理化简得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,整理得2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A,sin A0,cos B=12,则B=60.ABBC=-3,accos(-B)=-3,ac=6,SABC=12acsin B=12632=332.(2)由sin Asin C=32,可得ac=32,解得a=3c2,又由(1)可得ac=6,解得a=3,c=2,BD=12(BA+BC),4BD2=BA2+BC2+2BABC=c2+a2-2ABBC=22+32-2(-3)=19,|BD|=192,即AC边上的中线BD的长为192.
