2018版高中数学北师大版必修二学案：第二章 2.2　圆的一般方程 .docx

22圆的一般方程学习目标1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.3.初步体会圆的方程的实际应用知识点圆的一般方程思考1方程x2y22x4y10，x2y22x4y60分别表示什么图形？思考2方程x2y2DxEyF0是否表示圆？梳理圆的一般方程方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F<0不表示任何图形D2E24F0表示一个点(，)D2E24F>0表示以(，)为圆心，以为半径的圆D2E24F<0不表示任何图形类型一圆的一般方程的概念例1若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径反思与感悟形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，令D2E24F>0成立，则表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解跟踪训练1(1)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标为_，半径为_(2)点M、N在圆x2y2kx2y40上，且点M、N关于直线xy10对称，则该圆的面积为_类型二求圆的一般方程例2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)(1)求ABC的外接圆的方程；(2)若点M(a,2)在ABC的外接圆上，求a的值引申探究若本例中将点“C(3，1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线yx对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2已知一圆过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程类型三圆的方程的实际应用例3如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图这个圆的圆拱跨度AB20 m，拱高OP4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)反思与感悟在解决圆在实际生活中的应用问题时，借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效果应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助跟踪训练3如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为多少？1圆x2y22x6y80的面积为()A8 B4C2 D2若点M(3,0)是圆x2y28x4y100内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是()Axy30 Bxy30C2xy60 D2xy603方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是()Am2 BmCm2 Dm4方程x2y22axbyc0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为()A2,4,4 B2，4,4C2，4,4 D2，4，45已知圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程1判断二元二次方程表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆此时判断D2E24F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数2待定系数法求圆的方程如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F.答案精析问题导学知识点思考1对方程x2y22x4y10配方，得(x1)2(y2)24，表示以(1，2)为圆心，2为半径的圆，对方程x2y22x4y60配方，得(x1)2(y2)21，不表示任何图形思考2对方程x2y2DxEyF0配方并移项，得(x)2(y)2.当D2E24F0时，方程表示的是以(，)为圆心，为半径的圆；当D2E24F0时，方程只有一个实数解x，y，它表示一个点(，)；当D2E24F0时，方程无实数解，它不表示任何图形题型探究例1解由表示圆的条件，得(2m)2(2)24(m25m)>0，解得m<，即实数m的取值范围为(，)圆心坐标为(m,1)，半径为.跟踪训练1(1)(2，4)5(2)9解析(1)由圆的一般方程的形式知，a2a2，得a2或1.当a2时，该方程可化为x2y2x2y0，D2E24F122240，a2不符合题意当a1时，方程可化为x2y24x8y50，即(x2)2(y4)225，圆心坐标为(2，4)，半径为5.(2)圆x2y2kx2y40的圆心坐标为(，1)，由圆的性质知，直线xy10经过圆心，110，得k4，圆x2y24x2y40的半径为3，该圆的面积为9.例2解(1)设ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意，得解得即ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120.(2)由(1)知，ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120，点M(a,2)在ABC的外接圆上，a2228a22120，即a28a120，解得a2或6.引申探究解kAB，AB的中点坐标为(，)，AB的垂直平分线方程为y3(x)联立得即圆心C的坐标为(，)，r ，圆C的方程为(x)2(y)2.跟踪训练2解方法一(待定系数法)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P，Q的坐标分别代入上式，得令x0，得y2EyF0，由已知得|y1y2|4，其中y1，y2是方程的根，|y1y2|2(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.联立解得或故圆的方程为x2y22x120或x2y210x8y40.方法二(几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线方程为xy10，所求圆的圆心C在直线xy10上，设其坐标为(a，a1)又圆C的半径长r|CP|.由已知得圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|，r2a2()2，代入整理得a26a50，解得a11，a25，r1，r2.故圆的方程为(x1)2y213或(x5)2(y4)237.例3解建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2(yb)2r2.因为P，B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)，(10,0)都满足方程x2(yb)2r2.于是，得到方程组解得所以圆的方程是x2(y10.5)214.52.把点P2的横坐标x2代入圆的方程，得(2)2(y10.5)214.52，即y10.5(P2的纵坐标y>0，平方根取正值)所以y10.514.3610.53.86(m)故支柱A2P2的高度约为3.86 m.跟踪训练3解以圆拱桥顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，2)，B(6，2)，设圆拱所在的圆的方程为x2y2DxEyF0，因为原点在圆上，所以F0.另外点A，点B在圆上，所以所以D0，E20，所以圆的方程为x2y220y0.当水面下降1 m后，可设点A的坐标(x0，3)(x0>0)，如图所示，将A的坐标(x0，3)代入圆的方程，求得x0，所以，水面下降1 m后，水面宽为2x02(m)当堂训练1C2.C3.B4.A5解方法一设圆心C的坐标为(0，b)，由|CA|CB|，得，解得b2.C点坐标为(0,2)圆C的半径r|CA|.圆C的方程为x2(y2)25，即x2y24y10.方法二AB的中点为(，)中垂线的斜率k1，AB的中垂线的方程为y(x)，令x0，得y2，即圆心为(0,2)圆C的半径r|CA|，圆的方程为x2(y2)25，即x2y24y10.