2019版高考数学（文）培优增分一轮全国经典版培优讲义：选修4－5　不等式选讲 第1讲绝对值不等式 .docx

第1讲绝对值不等式板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1绝对值不等式的解法1形如|axb|cxd|的不等式，可以利用两边平方转化为二次不等式求解2形如|axb|c(c>0)和|axb|c(c>0)型不等式(1)绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集(2)|axb|c(c>0)和|axb|c(c>0)型不等式的解法|axb|ccaxbc(c>0)，|axb|caxbc或axbc(c>0)考点2绝对值不等式的应用1定理：如果a，b是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立2如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立3由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式(1)|a1a2an|a1|a2|an|.(2)|a|b|ab|a|b|.(3)|a|b|ab|a|b|.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)|axb|c(c0)的解等价于caxbc.()(2)若|x|>c的解集为R，则c0.()(3)不等式|x1|x2|<2的解集为.()(4)|xa|xb|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和()(5)不等式|ab|a|b|等号成立的条件是ab0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2课本改编不等式3|52x|<9的解集为()A2,1)4,7) B(2,1(4,7C(2，14,7) D(2,14,7)答案D解析由题得得解集为(2,14,7)3不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A(，14，)B(，25，)C1,2D(，12，)答案A解析|x3|x1|(x3)(x1)|4，a23a4恒成立，a(，14，)4课本改编不等式|x1|<4|x2|的解集是_答案解析由|x1|<4|x2|，得或或解得1x<或2<x<1或<x2.所以原不等式的解集为.52018南宁模拟若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_答案2,4解析|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.6课本改编不等式|x3|2x1|<1的解集为_答案解析当x<3时，原不等式化为(x3)(12x)<1，解得x<10，所以x<3.当3x时，原不等式化为(x3)(12x)<1，解得x<，所以3x<.当x时，原不等式化为x312x<1，解得x>2，所以x>2.综上可知，原不等式的解集为.板块二典例探究考向突破考向绝对值不等式的解法例12017全国卷已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围解(1)f(x)当x1时，f(x)1无解；当1x2时，由f(x)1，得2x11，解得1x2；当x2时，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，且当x时，|x1|x2|x2x，故m的取值范围为.触类旁通绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a>0，|x|<aa<x<a，|x|>ax<a或x>a.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解【变式训练1】2017全国卷已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围解(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x23x40，无解；当1x1时，式化为x2x20，从而1x1；当x1时，式化为x2x40，从而1x.所以f(x)g(x)的解集为(2)当x1,1时，g(x)2，所以f(x)g(x)的解集包含1,1等价于当x1,1时，f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范围为1,1考向绝对值三角不等式的应用例2(1)2018江西模拟已知函数f(x)|2x1|.求不等式f(x)<4的解集；若函数g(x)f(x)f(x1)的最小值为a，且mna(m>0，n>0)，求的取值范围解不等式f(x)<4，即|2x1|<4，即4<2x1<4，求得<x<，故不等式的解集为x.若函数g(x)f(x)f(x1)|2x1|2(x1)1|2x1|2x3|(2x1)(2x3)|2，故g(x)的最小值为a2，mna2(m>0，n>0)，则12，当且仅当m42，n22时等号成立，故的取值范围为.(2)2018太原模拟已知函数f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.解不等式：|g(x)|<5；若对任意的x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解由|x1|2|<5，得5<|x1|2<5，所以7<|x1|<3，解不等式得2<x<4，所以原不等式的解集是x|2<x<4因为对任意的x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，所以y|yf(x)y|yg(x)，又f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，所以|a3|2，解得a1或a5，所以实数a的取值范围是a|a1或a5触类旁通绝对值三角不等式的应用利用不等式|ab|a|b|(a，bR)和|ab|ac|cb|(a，bR)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以(1)求最值(2)证明不等式【变式训练2】(1)2018江西模拟设f(x)|x1|x1|(xR)，求证：f(x)2；若不等式f(x)对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围解证明：f(x)|x1|x1|1x|x1|1xx1|2.令g(b)，g(b)3，f(x)3，即|x1|x1|3，x1时，2x3，x1.5；1<x1时，23不成立；x>1时，2x3，x1.5.综上所述x1.5或x1.5.(2)已知函数f(x)|2xa|x1|，aR.若不等式f(x)2|x1|有解，求实数a的取值范围；当a<2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值解由题f(x)2|x1|，可得|x1|1.而由绝对值的几何意义知|x1|，由不等式f(x)2|x1|有解，得1，即0a4.故实数a的取值范围是0,4函数f(x)|2xa|x1|，当a<2，即<1时，f(x)所以f(x)minf13，得a4<2(符合题意)，故a4.考向与绝对值不等式有关的求参问题例32018安徽模拟已知函数f(x)|x4|，g(x)a|x|，aR.(1)当a2时，解关于x的不等式f(x)>2g(x)1；(2)若不等式f(x)g(x)4对任意xR恒成立，求a的取值范围解(1)当a2时，不等式f(x)>2g(x)1为|x4|>4|x|1，x<0，不等式化为4x>4x1，解得x>1，1<x<0；0x4，不等式化为4x>4x1，解得x<，0x<；x>4，不等式化为x4>4x1，解得x<，无解；综上所述，不等式的解集为x.(2)若不等式f(x)g(x)4对任意xR恒成立，即|x4|a|x|4对任意xR恒成立，当x0时，不等式|x4|a|x|4恒成立；当x0时，问题等价于a对任意非零实数恒成立1，a1，即a的取值范围是(，1触类旁通(1)当a2时，不等式f(x)>2g(x)1为|x4|>4|x|1，分类讨论求得x的范围(2)由题意可得|x4|a|x|4对任意xR恒成立当x0时，不等式显然成立；当x0时，采用分离参数法，问题等价于a对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得a的范围含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想【变式训练3】(1)已知函数f(x)|12x|1x|.若不等式f(x)<4的解集为x|a<x<b，求a，b的值；求使不等式f(x)kf(2x)有解的实数k的取值范围解f(x)当x<1时，x2<4，2<x<1；当1x时，3x<4，1x；当x>时，x2<4，<x<6.故由f(x)<4得2<x<6，a2，b6.不等式f(x)kf(2x)有解，即|12x|1x|k|14x|12x|，即k|14x|1x|有解，|14x|1x|14x|1x|的最小值为，实数k的取值范围为.(2)2018凉山州模拟已知函数f(x)|x1|x|a.若不等式f(x)0的解集为空集，求实数a的取值范围；若方程f(x)x有三个不同的解，求实数a的取值范围解令g(x)|x1|x|，则由题意可得f(x)0的解集为，即g(x)a的解集为，即g(x)<a恒成立g(x)|x1|x|作出函数g(x)的图象，如图：由图可知，函数g(x)min1；g(x)max1.a>1，即a<1.综上，实数a的取值范围为(，1)在同一坐标系内作出函数g(x)|x1|x|图象和yx的图象如图所示，由题意可知，把函数yg(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与yx的图象始终有3个交点，从而1<a<0.核心规律含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法(1)分离参数法：运用“f(x)af(x)maxa，f(x)af(x)mina”可解决恒成立中的参数范围问题(2)更换主元法：不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法(3)数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题满分策略1在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题，能有效避免分类讨论不全面的问题若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏2绝对值不等式|ab|a|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件. 板块三模拟演练提能增分 基础能力达标12018宜春模拟设函数f(x)|x4|，g(x)|2x1|.(1)解不等式f(x)<g(x)；(2)若2f(x)g(x)>ax对任意的实数x恒成立，求a的取值范围解(1)f(x)<g(x)等价于(x4)2<(2x1)2，x24x5>0，x<5或x>1，不等式的解集为x|x<5或x>1(2)令H(x)2f(x)g(x)G(x)ax，2f(x)g(x)>ax对任意的实数x恒成立，即H(x)的图象恒在直线G(x)ax的上方，故直线G(x)ax的斜率a满足4a<，即a的范围为.22018深圳模拟已知函数f(x)|x5|x2|.(1)若xR，使得f(x)m成立，求m的取值范围；(2)求不等式x28x15f(x)0的解集解(1)f(x)|x5|x2|当2<x<5时，3<72x<3，所以3f(x)3.所以m的取值范围是3，)(2)原不等式等价于f(x)x28x15，由(1)可知，当x2时，f(x)x28x15的解集为空集；当2<x<5时，f(x)x28x15的解集为x|5x<5；当x5时，f(x)x28x15 的解集为x|5x6综上，原不等式的解集为x|5x632018福州模拟已知函数f(x)|xa|x2|的定义域为实数集R.(1)当a5时，解关于x的不等式f(x)>9；(2)设关于x的不等式f(x)|x4|的解集为A，BxR|2x1|3，如果ABA，求实数a的取值范围解(1)当a5时，f(x)|x5|x2|.当x2时，由f(x)>9，得2x3>9，解得x>3；当5x<2时，由f(x) >9，得7>9，此时不等式无解；当x<5时，由f(x)>9，得2x3>9，解得x<6.综上所述，当a5时，关于x的不等式f(x)>9的解集为xR|x<6或x>3(2)ABA，BA.又BxR|2x1|3xR|1x2，关于x的不等式f(x)|x4|的解集为A，当1x2时，f(x)|x4|恒成立由f(x)|x4|得|xa|2.当1x2时，|xa|2恒成立，即2xa2x恒成立实数a的取值范围为1,042018泉州模拟已知函数f(x)|x1|2x4|.(1)解关于x的不等式f(x)<9；(2)若直线ym与曲线yf(x)围成一个三角形，求实数m的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值解(1)x1，不等式可化为x12x4<9，x>2，2<x1；1<x<2，不等式可化为x12x4<9，x>4，1<x<2；x2，不等式可化为x12x4<9，x<4，2x4；综上所述，不等式的解集为x|2<x<4(2)f(x)|x1|2|x2|由题意作图如下，结合图象可知，A(3,6)，B(1,6)，C(2,3)；故3<m6，且m6时面积最大为(31)36.52018长春模拟已知函数f(x)|2x4|xa|.(1)当a<2时，f(x)的最小值为1，求实数a的值；(2)当f(x)|xa4|时，求x的取值范围解(1)f(x)|2x4|xa|可知，当x2时，f(x)取得最小值，最小值为f(2)a21，解得a3.(2)f(x)|2x4|xa|(2x4)(xa)|xa4|，当且仅当(2x4)(xa)0时，等号成立，所以若f(x)|xa4|，则当a<2时，x的取值范围是x|ax2；当a2时，x的取值范围是x|x2；当a>2时，x的取值范围是x|2xa62018辽宁大连双基考试设函数f(x)|x1|x3|.(1)求不等式f(x)>2的解集；(2)若不等式f(x)a的解集非空，求实数a的取值范围解(1)原不等式等价于或或不等式的解集为(3，)(2)f(x)|x1|x3|f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(3,2)，直线ya绕点旋转，由图可得不等式f(x)a的解集非空时，a的取值范围为.