2022年湖北省黄石市团城山实验学校七年级数学第五讲一元一次方程练习人教新课标版.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载第五讲 一元一次方程 基础学问 一. 一元一次方程: 只含有一个未知数, 而且这个未知数的最高次数是一次的方程叫做一元一次方程 . 1. 二. 应用题中常见类型及关系式: ; 行程问题 : 距离 = 速度× 时间 ; 2. 工程问题 : 工作总量 = 工作效率× 工作时间 3. 浓度问题 : 溶质量 = 浓度× 溶液量 ; ; 4. 复制和百分率问题:增量 = 基本量× 增长率 5. 分解与合成问题: 含量 = 含有率× 体积 ; 6. 质量问题 : 质量 = 密度× 体积 ; 7. 作功问题 : 功 = 功率× 时间 ; 例题精析 名师归纳总结 例 1. 解方程a3x2b2x38x7第 1 页,共 8 页解: 3 ax2 a2 bx3 b8 x703 a2b8x2 a3 b7 1. 当3 a2b80 时,x2a3 b7是方程唯独的解. 3 a2 b8 2. 当3 a2b80 时,即 3a2 b8 时,有2a3 b73a2 bba7ba1 1 当3 a2 b8 时 ,0即a2 时 ,13 a2 b80ba1b2 a3 b70一切实数都是方程的解. 2 当3 a2 b8 时0, 方程无解 . ba1例 2. 解方程x3x12x1解: 先求使肯定值为零的x 值, 它们是x3 或x,1它们将 x 轴分成三个区间: 1. 当x3 时,x3x12x2 .x3是方程的解 . 2. 当3x1 时,x31x2x2.22, 一切满意3x1的实数都是方- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载程的解 . 3. 当x1 时,x3x12x2,x1 与x1条件冲突 , 所以方程无解 . 综上所述 : 满意 -3 x 1 的一切实数 x 都是方程的解 . 名师归纳总结 例 3. 一个人在河中划船, 在标有 A 游标处遗失了携带的救生圈, 他连续逆流划行了20第 2 页,共 8 页分钟后 , 发觉救生圈失落, 于是倒转船头查找, 结果在 B处找到 , 假如 AB的距离 2千米 , 那么河水的速度是多少. 解: 设船速 y 米/ 分, 河水速度为 x 米/ 分. 依题意 : 20yyxx2000202000x40y20002000yxxy5050yxxyx50yy0x50所以 , 水流速度是50 米/ 分.例 4. 某人沿着电车路旁行走, 留心到每隔6 分钟 , 有一辆电车从他身后开到前面去, 每隔两分钟 , 一辆电车由他对面开过来. 如该的电车的速度始终是匀称的, 问每隔几分钟电车起点站开出一辆电车. 解 1: 设每隔 x 分钟从电车站开过一辆电车, 就人走 6 分钟 , 追来的电车比人晚x 分钟 ,追来的电车走6x分钟 , 人走了2 分钟 , 迎面开 来的电车走了x2分钟 , 人行速度与电车的速度比为 :66xx22x3所以 , 每隔 3 分钟从电车起点站发一辆电车. 解 2: 设每 x 分钟从电车站发一辆车, 又设电车速度为1v , 人行速度为v , 就有 : 2 v 1v2xv 1 16 v 1v2xv 12 1 - 2 8 v24 v1,0v 12v2, 代入 1 得x3. 所以 , 每隔 3 分钟发一辆电车. 例 5, 一个工人加工一批零件, 限期完成 , 如每小时做10 个, 就可以超过任务3 个 , 如每小时加工 11 个, 就可以提前1 小时完成 , 他的任务是加工多少个零件.限多少小时 . 解: 设他的任务是加工x 个零件 , 就有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x3x1优秀学习资料欢迎下载1011x7777 3 810所以 , 他的任务是加工 77 个零件 , 限制 8 小时 . 例 6. 甲, 乙两台打麦机 , 甲机工作效率是乙机的 2 倍, 先用甲机打完麦子的 3 , 然后用5乙机全部打完 , 所需的时间比同时用两台机器全部打完麦子所需时间多 11 天, 问分别用一台机器打完全部麦子各需多少天 . 解 1: 分析 , 如以时间为基准找等量关系 , 可用“ 全量 =部重量之和” 或其推论 . 设甲打完全部麦子用 x 天, 就乙打完全部麦子用 2 x 天. 设全部工作量为 1, 就甲打完全部麦子的 3 所用的时间为 3 x . 乙打其余的麦子所用的5 5时间为 1 3 2 x , 而甲 , 乙两台机器同时打完全部麦子所用的时间为 1 , 所以有 : 5 1 1x 2 x3 3 1x 1 2 x 115 5 1 1x 2 x解得 x 15 天 , 即甲机打完全部麦子需用 15 天, 乙机需用 2x 30 天. 解 2: 如以甲 , 乙两机工作效率为基准找等量关系 , 可设 x 为甲机打完全部麦子所需要天数 , 就乙打完全部麦子所需天数为 2 x .率, 1 1 3是甲 , 乙两机同时工作的效率x 2 x 2 x来, 那么方程也就列出来了 . 1 是甲机的工作效率 x,1为乙机工作的效2x. 假如再能把到两机同时工作的效率表示出依照题意知 , 甲, 乙两机同时工作打完全部麦子所用的时间为名师归纳总结 3230天. 第 3 页,共 8 页5 15 1113x4x1155x2x所以甲 , 乙共同工作的效率为3x1x11455由此可列方程为33x1x11, 解得x15 天, 2x455即甲机打完全部麦子需15 天, 乙机打完全部麦子用2x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载例 7. 甲容器中有纯酒精 11 千克 , 乙容器中有水 15 千克 . 先将甲容器中一部分纯酒精倒入乙容器 , 使酒精溶于水中 , 其次次将乙容器中一部分溶液倒入甲容器 , 这样甲容器中纯酒精含量为 62.5%, 乙容器中纯酒精含量为 25%.问其次次从乙容器倒入甲容器的溶液多少千克. 名师归纳总结 解: 分析要求出其次次从乙容器倒入甲容器有多少千克, 只须求出第一次从甲容器倒第 4 页,共 8 页入乙容器的纯酒精数即可. 设第一次由甲容器倒入乙容器x 千克酒精 , 其次次由乙容器倒入甲容器y 千克溶液 . 由已知得 : 15xx25 %x5 千克 同时甲容器情形, 得: 11xy25%625.%11xy于是有 : 24y152 .5yy6 千克 所以 , 其次次从乙容器中倒入甲容器6 千克溶液 . 例 8. 从两个重量分别为m 千克和 n 千克 . 且含铜百分数不同的合金上, 切下重量相等的两块 . 把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起熔炼后, 两者含铜百分数相同, 问切下的重量是多少千克. 解: 设切下 x 千克 , 又设重 m 千克的铜合金中含铜百分数为q , 重 n 千克的铜合金含铜百分数为q , 依题意有 : xq 1nxq2xq 1mxq2nm解得 : xmn 千克 mn即切下的重量为mn千克 . mn例 9. 一队旅客乘坐汽车, 要求每辆汽车的乘客人数相等. 起初每辆汽车乘22 个人 , 结果剩下一个人未上车; 假如有一辆汽车空车开走, 那么全部乘客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32 个人 , 求起初有多少辆汽车.有多少名旅客 . 解: 设起初有汽车m 辆, 开走一辆空车后, 平均每辆车所乘的旅客为n 名. 由于m,2 n32, 依题 意有 : 22m1nm1 n22m112223nm1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于 n 为自然数 , 所以231优秀学习资料1欢迎下载123 ,即m2或m24. 为整数 . 因此m1 或mm当 m 2 时 , n 45 不合题意 , 舍去 . 当 m 24 时 , n 23 这时旅客人数为m m 1 23 24 1 529 人 答: 起初有汽车 24 辆, 有乘客 529 人. 例 10. 如进货价降低 8%,而售出价不变 , 那么利润 按进货价而定 可由目前的 p%,增加到 p 10 %, 求 p . 解: 设原进货价为 M, 就下降 8%后的进货价为 1 8 % M 0 . 92 M , 由售价不变 ,列方程 : M 1 0 . 01 p 0 . 92 M 1 0 . 01 p 10 去 M 得: 1 0 . 01 p 0 . 92 1 0 . 01 p 10 解得 p 15 . 练习 1. 解关于 x 的方程 : 4 秒, 求火车的长 1 m x2nn nxm22 1xb 1xa a,b不为零ab2. 设x1y2y10 ,求3y12x 2n1233. 如a,b为定值 , 关于 x 的一次方程2 k3a2xbk6无论 k 取何值 , 它的根总是1, 求a,b的值 . 4. 一列火车通过长1500 米的大桥需要36 秒, 它通过桥头的哨兵需要度. 5. 在环行大路上有一公共汽车站, 每隔肯定时间向两个方向同时发出一辆车, 某人在环行大路上行走 , 每隔 3 分钟就有一辆公共汽车与他迎面相遇 他背后越过 , 问 车站每隔几分钟向各个方向发一辆车 . , 每隔 6 分钟就有一辆公共汽车从名师归纳总结 6. 在甲 , 乙两个容器中分别装有 20 升和 16 升浓度不同的盐水, 假如先从甲 , 乙容器各第 5 页,共 8 页倒出 a 升盐水0a16, 再分别倒入对方的容器内搅匀, 结果两容器的盐水浓度相同, 求- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载a 的值 . 7. 现在是 10 点11 点之间的某一时刻 , 在这之后 6 分钟分针的位置与在这之前 3 分钟时针的位置反向成始终线 , 求现在时刻 . 8. 甲, 乙两人今年年龄之和为 63, 当甲的年龄是乙现在年龄的一半时 , 乙恰是甲现在的年龄 , 求 甲 , 乙两人今年各多少岁 . 9. 一小船由 A港到 B 港顺流需行 6 小时 , 由 B 港到 A 港逆流需行 8 小时 . 1 如小船按水流速度由 A 港漂流到 B港需要多少小时 . 2 当小船到 B港时 , 发觉一救生圈在途中掉落在水中 , 立刻返回 ,1 小时后找到救生圈 ,问救生圈是何时掉入水中的 . 10. 某厂去年总产值比总支出多 500 万元 , 而今年方案的总产值比总支出多 950 万元 .已知今年方案总产值比去年增加 15%,而方案总支出比去年削减 10%,求今年方案的总产值和总支出 . 练习解答 名师归纳总结 1. 解. 1 mx2nn nx m21第 6 页,共 8 页mnxmn2当mn0时, 方程有唯独解xmn; 当mn0时, 一切实数都是方程的解, 2 1xb 1xa abab xa2b2当ab0时,xab是方程唯独的解; 当ab0时, 一切实数是方程的解. 2. 解 由x1y2y10知: 23x1y即x1, 所以62y1y133 3y12x 2n13112112n1363. 解:x1总是方程的根 , 将x1代入原方程得 : 2 k3a21bk6b4k132a由于对于一切 k 方程总有根1, 所以有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b400即优秀学习资料欢迎下载a13 2132 ab44. 解: 设火车长为 x 米, 依题意列方程 : 1500xx 米 36x4 187 5.答: 火车长为 187.5 米. 5. 解 1： 设某人行走速度为x 米/ 分, 汽车的速度为y米/ 分, 每隔t分钟各发一辆车.依题意列方程 : 解得y3x3 x3yty 16y6xty 2 , 代入 1 得t4. 答: 汽车站每 4 分钟发一辆车 . 解 2：设每隔 x 分钟车站发一辆车, 就人走 6 分钟 , 从后边越过的汽车走了6x 分钟 ;3 分钟 , 人与汽车速度之比为; 人走 3 分钟 , 从前面开来的汽车走了x6xx36 x43答: 车站每隔 4 分钟发一辆车 . 6. 解. 设甲容器中盐水浓度为m , 乙容器中盐水的浓度为n , 就320a man 16a nan20169amn80mnmna8088997. 解: 设现在时刻为10 点 x 分, 再过 6 分钟是 10 点x6分. 由于分种每走1 小格 1 分, 时针走1 小格 ,10 - 12 12之间共 10 小格 , 在这个时间分钟前 , 时针到 12 之间共有10x3小格 , 而时针与分针反向成一条直线, 它们之间共121230 小格 30 分钟 , 所以有10x3x6 301212x15答: 现在是 10 点 15 分. 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载63x 岁时 , 乙8. 解 设甲今年为 x 岁, 就乙今年为63x 岁,并由题意知：当甲为2正好为 x 岁, 以年龄差为等量关系, 列方程为63xxx63x2x2763x36答: 甲今年 27 岁, 乙今年 36 岁. 9. 解 1 设小船由 A漂流到 B需要 x 小时 , 由题意知 : 以船速为等量 11116x8xx48答: 小船由 A 漂流到 B 要 48 小时 . 名师归纳总结 2 设小船由 A 开船后 x 小时救生圈掉落水中, 以题意知 : 15%, 今年方案的总支出是第 8 页,共 8 页6x 115111648 x848答: 小船从 A 开船后 5 小时时救生圈掉落水中. 10. 解设今方案总产值为x 万元 , 就去年总产值是x1x950万元 , 所以去年的总支出为x950 110%x115%500x2300x9501350答: 今年方案总产值为2300 万元 , 方案总支出为1350 万元 . - - - - - - -