2022年点集拓扑学期末考试练习题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 点集拓扑学期末考试一、单项挑选题每题 1 分1、已知 X , , , a b c d e , 以下集族中,是 X 上的拓扑 . T X , , , a b , , a c e , , T X , , , , , a b d , , , a b c e , , , T X , , , a b , T X , , , b , c , d , e 答案：2、设 X , , a b c ,以下集族中 , 是 X 上的拓扑 . T X , , , a b , , c T X , , , a b , , a c , T X , , , b , a c , T X , , , b , c 答案：3、已知 X a b c d , 以下集族中,是 X 上的拓扑 . T X , , , a b , , a c d , , T X , , a b c , , , a b d , , T X , , , b , a c d , , T X , , , b 答案：4、设 X , , a b c ,以下集族中 , 是 X 上的拓扑 . T X , , , c , a b , T X , , , b , a b , , a c , T X , , , b , a c , T X , , , b , c 答案：5、已知 X a b c d , 以下集族中,是 X 上的拓扑 . T X , , , , a c d , , T X , , a b , , a c d T X , , , b , a c d , , T X , , a , c , a c , 答案：6、设 X , , a b c ,以下集族中 , 是 X 上的拓扑 . T X , , , b , b c , T X , , a b , , b c , T X , , , a c , T X , , , b , c 答案：7、已知 X a b c d ,拓扑 T X , , , 就 b = X , , 答案：8、 已知 X , , , a b c d ,拓扑 T X , , , 就 , , b c d =1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - X , , 答案：9、 已知 X , a b ,拓扑 T X , , , 就 a = X 答案：10、已知 X , a b ,拓扑 T X , , , 就 b = X 答案：11、已知 X , , , a b c d ,拓扑 T X , , , 就 a = X , , , b c d 答案：12、已知 X , , , a b c d ,拓扑 T X , , , 就 c = X , , , 答案：13、设 X , , , ,拓扑 T X , , a , b c d , , , 就 X 的既开又闭的非空真子集个数 1 2 3 4 答案：14、设 X a b c ,拓扑 T X , , , b c , , 就 X 的既开又闭的非空真子集的个数为 1 2 3 4 答案：15、设 X a b c ,拓扑 T X , , , b c , , 就 X 的既开又闭的非空真子集的个数为 0 1 2 3 答案：16、设 X , a b ,拓扑 T X , , , 就 X 的既开又闭的子集的个数为 0 1 2 3 答案：17、设 X , a b ,拓扑 T X , , a , b , 就 X 的既开又闭的子集的个数为 1 2 3 4 答案：18、设 X , , a b c ,拓扑 T X , , , b , a b , , b c , , X 的既开又闭的非空真子集个数 1 2 3 4 答案：19、在实数空间中,有理数集 Q 的内部 Q 是 Q R - Q R 答案：20、在实数空间中,有理数集 Q 的边界 Q 是 Q R - Q R 答案：2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 21、在实数空间中,整数集Z 的内部 Z是 Z R- Z R 答案：22、在实数空间中,整数集Z 的边界 Z 是 Z R- Z R 答案：23、在实数空间中,区间0,1 的边界是 0,1 0,10,1答案：24、在实数空间中,区间2,3 的边界是 2,3 2,3 2,3答案：25、在实数空间中,区间0,1 的内部是 0,1 0,10,1答案：26、设 X 是一个拓扑空间, A, B 是 X 的子集 , 就以下关系中错误的选项是d ABd A d BABABd ABd A d BAA答案: 27、设 X 是一个拓扑空间, A, B 是 X 的子集 , 就以下关系中正确的选项是d ABd A d BABABd ABd A d BAA答案 : 28、 设 X 是一个拓扑空间, A, B 是 X 的子集 , 就以下关系中正确的选项是d AB ABABABd ABd A d Bd d A Ad A答案 : 29、已知 X 是一个离散拓扑空间, A 是 X 的子集 , 就以下结论中正确的选项是d A d A XAd AAd A X答案：30、已知 X 是一个无能拓扑空间, A 是 X 的子集 , 就以下结论中不正确的选项是 假设 A, 就d A 假设Ax0, 就d AXA 假设 A=x x , 就d A X 假设 AX , 就d A X答案：3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 31、已知 X 是一个无能拓扑空间, A 是 X 的子集 , 就以下结论中正确的选项是 假设 A , 就 d A 假设 A x 0 , 就 d A X 假设 A= x x , 就 d A X A 假设 A x x 2 , 就 d A A 答案：32、设 X , , , a b c d ,令 B a b c , , , c , d , 就由 B 产生的 X 上的拓扑是 X , , c, d, c, d, a, b, c X, , c, d, c, d X , , c, a, b, c X , , d, b, c, b, d, b, c, d 答案：33、设 X 是至少含有两个元素的集合, p X , T G X | p G 是 X 的拓扑,就是 T 的基 . Bp x , |xX Bx|xX答案：Bp x , |xXBx |xXp 34、 设X , , a b c , 就以下 X 的拓扑中以SX, , 为子基 . X , , a , a, a, c X , X , , a, b, a, b X , 答案：35、离散空间的任一子集为 开集 闭集 即开又闭 非开非闭答案：36、无能空间的任一非空真子集为 非开非闭答案： 开集 闭集 即开又闭37、实数空间 R中的任一单点集是 开集 闭集 既开又闭 非开非闭答案：38、实数空间 R 的子集 A =1, 1 ,2 R A0 1 , 31 , , 就 A 4 A 答案：39、在实数空间 R 中,以下集合是闭集的是 整数集a,b 有理数集 无理数集答案：40、在实数空间 R 中,以下集合是开集的是 整数集 Z 有理数集 无理数集 整数集 Z 的补集 Z 答案：41、已知X1,2,3上的拓扑TX, ,1, 就点 1 的邻域个数是 1 2 3 4 答案：4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 42、已知X , a b , 就 X 上的全部可能的拓扑有 1 个 2 个 3 个 4 个 答案：43、已知 X =a, b, c, 就 X 上的含有个元素的拓扑有个 3 5 7 9 答案：44、设 X , T 为拓扑空间 , 就以下表达正确的为 X T , T X T , T当 T T 时, U T 当 T T 时, U T 答案：U T U T45、在实数下限拓扑空间 R 中,区间 , a b 是 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案：46、设 X 是一个拓扑空间,A B X , 且满意 d A B A, 就 B 是 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案：47、设 X 1,2,3 , T= , X ,1,2, 1,3, 1,2 是 X 的拓扑,A 1,2 , 就 X 的子空间 A 的拓扑为 T ,2, 1,2 T , X ,1,2, 1,2 T , A ,1,2 T , X ,1,2 答案：48、设 X 1,2,3 , T= , X ,1,2, 1,3, 1,2 是 X 的拓扑,A 1,3 , 就 X 的子空间 A 的拓扑为 T ,1,3, 1,3 T , A , 1 T , X ,1,3, 1,3 T , X ,1 答案：49、设 X 1,2,3 , T= , X ,1,2, 1,3, 1,2 是 X 的拓扑,A 2,3 , 就 X 的子空间 A 的拓扑为 T ,3,2,3 T , A ,2,3 T , X ,2,3,2,3 T , X ,3 答案：50、设 X 1,2,3 , T= , X ,1,2, 1,3, 1,2 是 X 的拓扑,A 1 , 就 X 的子空间 A 的拓扑为 T , 1 T , A ,1,2 T , X ,1,3, 1,3 T , X ,1 答案：51、设 X 1,2,3 , T= , X , 1,2, 1,3, 1,2 是 X 的拓扑,A 2 , 就 X 的子空间 A 的拓扑为 T ,2, 1,2 T , A 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - T ,X,2T ,X,1,2答案：52、设 X 1,2,3 , T= , X , 1,2, 1,3, 1,2 是 X 的拓扑,A 3 , 就 X 的子空间 A 的拓扑为 T ,2, 1,2 T , X , 1,3 T , X ,3 T ,3 答案：53、设 R 是实数空间, Z 是整数集,就 R 的子空间 Z 的拓扑为 T , Z T P Z T Z T Z 答案：54、设 X X 1 X 2 X 是拓扑空间 X 1 , X 2 , , X 的积空间 . 1P 是 X 到 X 的投射,就 1P 是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：55、设 X X 1 X 2 X 是拓扑空间 X 1 , X 2 , , X 的积空间 . P 是 X 到 X 的投射,就 P 是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：56、设 X X 1 X 2 X 是拓扑空间 X 1 , X 2 , , X 的积空间 . P 是 X 到 X 的投射,就 P 是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：57、设 X X 1 X 2 X 是拓扑空间 X 1 , X 2 , , X 的积空间 . P 是 X 到 X 的投射,就 P 是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：58、设 X X 1 X 2 X 是拓扑空间 X 1 , X 2 , , X 的积空间 . P 是 X 到 X 的投射,就 P 是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：59、设 X X 1 X 2 X 是拓扑空间 X 1 , X 2 , , X 的积空间 . P 是 X 到 X 的投射,就 P 是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：60、设 X 和 X 是两个拓扑空间,X 1 X 是它们的积空间 , A X ,B X ,就有 A B A B A B A B A B A B A B B 答案：61、有理数集 Q 是实数空间 R 的一个 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案：6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 62、整数集 Z 是实数空间 R 的一个 不连通子集 连通子集答案： 开集 以上都不对63、无理数集是实数空间R 的一个 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对答案：64、设 Y 为拓扑空间 X 的连通子集 , Z 为 X 的子集 , 假设YZY, 就 Z 为 不连通子集 连通子集 闭集 开集答案：65、设 X 1 , X 是无能空间,就积空间 X 1 X 是 离散空间 不肯定是无能空间 无能空间 不连通空间答案：66、设 X 1 , X 是离散空间,就积空间 X 1 X 是 离散空间 不肯定是离散空间 无能空间 连通空间答案：67、设 X 1 , X 是连通空间,就积空间 X 1 X 是 离散空间 不肯定是连通空间 无能空间 连通空间答案：68、实数空间 R 中的连通子集 E 为 开区间闭区间区间 以上都不对答案：69、实数空间 R 中的不少于两点的连通子集 E 为 开区间 闭区间 区间 以上都不对答案：70、实数空间 R中的连通子集 E 为 开区间闭区间区间 区间或一点答案：71、以下表达中正确的个数为0是连通的单位圆周S 是连通的；1R7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - R20,0是连通的2 R 和 R 同胚 1 2 3 4 答案：二、填空题每题1 分 ; 答案：TX, 1、设X , a b , 就 X 的无能拓扑为 ;2、设X , a b , 就 X 的离散拓扑为 ;答案：TX, , ,b 答案：拓扑不变性质、同胚的拓扑空间所共有的性质叫4、在实数空间 R 中,有理数集 Q 的导集是 _. 答案： R 5、x d A 当且仅当对于 x的每一邻域 U 有 答案：U A 6、设 A 是有限补空间 X 中的一个无限子集,就 d A = ; 答案： X7、设 A 是有限补空间 X 中的一个无限子集,就 A = ; 答案： X8、设 A 是可数补空间 X 中的一个不行数子集,就 d A = ; 答案： X9、设 A 是可数补空间 X 中的一个不行数子集,就 A = ; 答案： X10 、 设 X 1,2,3 , X 的 拓 扑 T X , ,2,2,3 , 就 X 的 子 集 A 1,2 的 内 部为 ; 答案： 2 11 、 设 X 1,2,3 , X 的 拓 扑 T X , ,1,2,3 , 就 X 的 子 集 A 1,3 的 内 部为 ; 答案： 1 12 、 设 X 1,2,3 , X 的 拓 扑 T X , ,1,2,3 , 就 X 的 子 集 A 1,2 的 内 部 为答案： 1 13 、 设 X 1,2,3 , X 的 拓 扑 T X , ,2,2,3 , 就 X 的 子 集 A 1,3 的 内 部为 ; 答案：14、设 X , , a b c , 就 X 的无能拓扑为 ; 答案：T X , 15、设 X , , a b c , 就 X 的离散拓扑为 答案：T X , , , b , c , a b , , a c , , b c , 16 、 设 X 1,2,3 , X 的 拓 扑 T X , ,2,3,2,3 , 就 X 的 子 集 A 1,3 的 内 部为 ; 答案： 3 17 、 设 X 1,2,3 , X 的 拓 扑 T X , ,1,3, 1,3 , 就 X 的 子 集 A 1,2 的 内 部为 ; 答案： 1 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18、f:XY 是拓扑空间 X 到 Y 的一个映射,假设它是一个单射,并且是从X 到它的象集f X 的一个同胚,就称映射 f 是一个 . 答案：嵌入19、f : X Y 是拓扑空间 X 到 Y 的一个映射,假如它是一个满射, 并且 Y 的拓扑是对于映射 f而言的商拓扑,就称 f 是一个 ; 答案：商映射20、设 X Y 是两个拓扑空间,f : X Y 是一个映射,假设 X 中任何一个开集 U 的象集 f U 是Y 中的一个开集,就称映射 f 是一个 答案：开映射21、设 X Y 是两个拓扑空间,f : X Y 是一个映射,假设 X 中任何一个闭集 U 的象集 f U 是Y 中的一个闭集,就称映射 f 是一个 答案：闭映射22、假设拓扑空间 X 存在两个非空的闭子集 A B , 使得 A B , A B X , 就 X 是 一个；答案：不连通空间23、假设拓扑空间 X 存在两个非空的开子集 A B , 使得 A B , A B X , 就 X 是 一个；答案：不连通空间24、假设拓扑空间 X 存在着一个既开又闭的非空真子集,就 X 是一个 答案：不连通空间25 、 设 Y 是 拓 扑 空 间 X 的 一 个 连 通 子 集 , ZX 满 足 YZY , 就 Z 也 是 X 的 一个 ; 答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质,假如为一个拓扑空间所具有也必定为它在任何一个连续映射下的象所具有,就称这个性质是一个；答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,假如为一个拓扑空间所具有也必定为它的任何一个商空间所具有,就称这个性质是一个；答案：可商性质28、假设任意 n 1 个拓扑空间 X 1 , X 2 , , X , 都具有性质 P , 就积空间 X 1 X 2 X 也具有性质 P ,就性质 P 称为 ; 答案：有限可积性质29、设 X 是一个拓扑空间,假如 X 中有两个非空的隔离子集 A B , 使得 A B X , 就称 X 是一个；答案：不连通空间 . 三判定每题 4 分,判定 1 分,理由 3 分1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 答案: 理由： 设 X 是离散空间,Y 是拓扑空间,f : X Y 是连续映射,由于对任意 A Y ,都有f（1A X , 由于 X 中的任何一个子集都是开集,从而 f 1 A 是 中的开集,所以 f : X Y9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 是连续的 . 2、设 T 1 , T 2 是集合 X 的两个拓扑,就 T 1 T 不肯定是集合 X 的拓扑 答案 : ×理由： 由于 1T 1 , T 2 是 X 的拓扑,故 X , T1,X , T,从而 X , T 1 T 2；对任意的 A, B T1 T,就有 A, B T1 且 A, B T,由于 T1, T2 是 X 的拓扑,故A B T1 且 A B T2,从而 A B T1 T ；对任意的 T T 1 T 2,就 T T 1, T T 2,由于 T1, T2是 X 的拓扑,从而 U TU T1,U T U T2,故 U TU T1 T；综上有 T 1 T也是 X 的拓扑3、从拓扑空间 X 到无能空间 Y 的任何映射都是连续映射答案 : 理由： 设 f : X Y 是任一满意条件的映射,由于 Y 是无能空间,它中的开集只有 Y , , 易知它们在 f 下的原象分别是 X , , 均为 X 中的开集,从而 f : X Y 连续 . 4、设 A 为离散拓扑空间 X 的任意子集,就 d A答案 : 理由： 设 p 为 X 中的任何一点,由于离散空间中每个子集都是开集,所以 p 是 X 的开子集,且有 p A p,即 p d A ,从而 d A .5、设 A 为无能空间 X X 多于一点的一个单点集,就 d A答案：×理由： 设 A y ,就对于任意 x X x y , x 有唯独的一个邻域 X ,且有 y X A x ,从而X A x ,因此 x 是 A 的一个凝结点,但对于 y 的唯独的邻域 X ,有 X A y ,所以有 d A X A . 6、设 A 为无能空间 X 的任何一个多于两点的子集,就 d A X答案：理由：对于任意 x X 由于 A 包含多于一点,从而对于 x的唯独的邻域 X ,且有 X A x ,因此 x 是 A 的一个凝结点,即 x d A ,所以有 d A X . 7、设 X 是一个不连通空间,就 X 中存在两个非空的闭子集 A B , 使得 A B , A B X答案：理由： 设 X 是一个不连通空间,设 A B 是 X 的两个非空的隔离子集使得 A B X , 明显10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - AB,并且这时有 : B B X B A B B B从 而 B 是 X 的 一 个 闭 子 集 , 同 理 可 证 A 是 X 的 一 个 闭 子 集 , 这 就 证 明 了 A B 满 足A B , A B X . 8、假设拓扑空间 X 中存在一个既开又闭的非空真子集,就 X 是一个不连通空间 理由： 这是由于假设设 A 是 X 中的一个既开又闭的非空真子集,令 B A ,就 A B 都是 X 中的非空闭子集, 它们满意 A B X ,易见 A B 是隔离子集, 所以拓扑空间 X 是一个不连通空 . 五简答题每题 4 分1、设 X 是一个拓扑空间,A B 是 X 的子集,且 A B . 试说明 d A d B . 答案：对于任意 x d A , 设U 是 x 的任何一个邻域,就有 U A , 由于 A B ,从而U B U A ,因此 x d B ,故 d A d B . 2、设 X Y Z 都是拓扑空间 . f : X Y , g Y Z 都是连续映射, 试说明 g f : X Z 也是连续映射 . 答案：设 W 是 Z 的任意一个开集,由于 g Y Z 是一个连续映射,从而 g 1 W 是 Y 的一个开集,由 f : X Y 是连续映射, 故 f 1 g 1 W 是 X 的一开集, 因此 g f 1 W f 1 g 1 W 是 X 的开集,所以 g f : X Z 是连续映射 . 3、设 X 是一个拓扑空间,A X . 试说明：假设 A 是一个闭集,就 A 的补集 A 是一个开集 . 答案：对于 x A , 就 x A,由于 A是一个闭集, 从而 x 有一个邻域 U 使得 U A ,因此 U A,即 U A , 所以对任何 x A , A 是 x的一个邻域,这说明 A 是一个开集 . 4、设 X 是一个拓扑空间,A X . 试说明：假设 A 的补集 A 是一个开集,就 A 是一个闭集 . 答案：设 x A, 就 x A , 由于 A 是一个开集,所以 A 是 x 的一个邻域,且满意 A A , 因此 x A , 从而 A A , 即有 A A ,这说明 A 是一个闭集 . 5、在实数空间 R 中给定如下等价关系：xyx, y1,或者x, y,12或者x , y2 ,0,设在这个等价关系下得到的商集Y1 ,2 ,试写出 Y 的商拓扑 T. 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案：T,Y,0 ,0 , 1 6、在实数空间 R 中给定如下等价关系 :xyx, y1,或者x , y ,12 或者x , y,2设在这个等价关系下得到的商集Y1 ,2 ,3 ,试写出 Y 的商拓扑 T .答案：T ,Y,3,2,37、在实数空间 R 中给定如下等价关系：xyx, y1,或者x, y,12或者x , y2 ,设在这个等价关系下得到的商集Y1,1,2,试写出 Y 的商拓扑 T. 答案：T ,Y,1,1,18、在实数空间 R 中给定如下等价关系：xy