2022年由递推公式求通项的方法大全.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载由递推式求数列通项法专题对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特别的转化方法与特别数列；类型 1 递推公式为 a n 1 a n f n 累加法 逐差相加法 例. 已知数列 a n 满意 a 1 1,a n 1 a n 2 1,求 a ；a n 3 12 n n 2 n类型 2 （1）递推公式为 a n 1 f n a n 累乘法 逐商相乘法 例： 已知数列 a n 满意 1a 2,a n 1 na n,求 a ；a n 23 n 1 3 n练习 : 已知 a 1 3,a n 1 3 n 1a n n 1 ,求 a ；a 63 n 2 3 n 1类型 3 递推公式为 a n 1 pa n q（其中 p, q 均为常数, pq p 1 0 ）； 转化法例： 已知数列 a n 中,1a 1,a n 1 2 a n 3,求 a . a n 2 n 13练习：（1）数列 a n 满意 a1 =1,a n = 1 a n 1 +1（n2）,求数列 a n 的通项公式； a n =22（1 ）n 12（ 2 ） 数 列 a n 满 足 a 1 =1,3 a n 1 a n 7 0 , 求 数 列 a n 的 通 项 公 式 ；a n 7 3 1 n 14 4 3n 1 n 1类型 4 递推式为 a n 1 pa n q（p、q 为常数）可同除 q,再转化为类型 3 例 已知数列 a n 满意 a 1 1,a n 3 n2 a n 1 n 2 ,求 a a n 3 n 12 n 2练习： 已知数列 a n 中,a 1 5, a n 1 1 a n 1 n 1,求 a ；a n 3 1 n2 1 n6 3 2 2 3类型 5 递推式为 a n ma n 1k a n 1 b 例：a n a n 1 , a 1 1,求 a n a n 13 a n 1 1 3 n 2类型 6 递推式为 a n 2 pa n 1 qa n 待定系数法与分解系数法名师归纳总结 设an2kan1han1ka n,比较系数得hkp,hkq,可解得h,k；第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 、 数 列an满 足a12 ,a 25,a学习必备n欢迎下载a =0 , 求 数 列 an 的 通 项 公 式 ；n23 a12a n 3 2 n 1 1*（已知数列 a n 满意 a 1 1, a 2 3, a n 2 3 a n 1 2 a n n N .（I ）证明：数列 a n 1 a n 是等比数列；（II ）求数列 a n 的通项公式；例. 已知数列 a n 中,a 1 1 , a 2 2 , a n 2 2 a n 1 1 a n,求 a ；a n 7 3 1 n 13 3 4 4 3解：由 a n 2 2 a n 1 1 a n 可转化为 a n 2 sa n 1 t a n 1 sa n 3 3即 a n 2 s t a n 1 sta n sst t13 23t s 113 或t s1 13这里不妨选用t s 113（当然也可选用t s1 13 试一试）,就例 、 数 列 a n 中 ,a 1 1 , a 2 2 3, a n 2 2 a n 1 a n, 求 数 列 a n 的 通 项 公 式 ；7 3 1 n 14 4 3如 本 题 中 取 k 1 h 1, 就 有 a n 2 1 a n 1 a n 1 1 a n 即 得 a n 1 1 a n 为 常 数3 3 3 3列, a n 1 1a n a n 1 a n 1 a 2 1 a 1 2 1 73 3 3 3 3例：已知数列 a n 满意 a 1 a , a 2 b 3, a n 2 5 a n 1 2 a n 0 n 0 , n N ,求数列 a n的通项公式；an2an12an1a n就数列an1an是以ba为首项,2 为公比的等比数列 32 2n113类型 7 an1pak n1a11,an2a2 n1（n 2）. 求数列an的通项公式 . a n例设正项数列an满意类型 8 递推式：an 1panfn法一：待定系数法；法二：两递推式相减名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例an满意a 11,an3 an12n学习必备欢迎下载的通项公式；1,求数列an,an1pb3 an22 n11（n3）两式相减得anan13 a n1an22转化为bnn1q求之 . 类型 9 归纳、猜想、证明2例 9： 在数列a 中,a 1 2 , a n 1 a n na 1,求 a 的表达式；a 2 ,3 a 3 4 , a 4 5 a n n 1 数学归纳法证明之已知 a 和递推式,直接逐项求出 1 a 2 a 3 a ；通过观看发觉规律,求出 4 a n已知形如 Sn f n 实行手段利用：a n S n S n 1 留意检验：a 1 S 1已知形如 S n f a n 实行手段利用：S n 1 f a n 1 再用 a n S n S n 1已知形如 a n a n 1 f n 实行手段是 a 2 a 1 f 1 a 3 a 2 f 2 ；的逐差累加法已知形如 a n f n ,实行手段是 a n a n a n 1 a n 2的逐商累乘法a n 1 1 a n 1 a n 2 a n 3已知形如 a n qa n 1 c（q, c 为常数）实行手段是：构造以 q 为公比的等比数列,利用待定系数法已知式中含有anan1或snns n1实行手段等式左右同除ana n1或s ns n1,构造等差数列已知式中形如:a 1A a1BanDA B C D为常数 , 且 BC 求数列的通项公式Can时, 用左右同取倒数法；名师归纳总结 已知式中含有an2can1dan,可变形为an2pan1q an1pan的待定系第 3 页,共 5 页数法,其中qp,cqpd,构造等比数列；已知式中含有an1kanfn（K 为常数）假如f n 是指数式就 的处理手段是：同除kn1如f n 是线性式就可对比待定系数法,设an1k n1p2anknp- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载求通项练习 : （1） 已知数列a n中,首项a 11,a n12a nn,求通项：（an32n1n1）（2） 已知数列a n中,首项a 11,a n12a n2n,求通项：（ann2n1）an1、已知数列a n中,a 11, an11a nn,求通项ann2,求naans n12n22 已知数列a n的前 n项和为ns ,且满意a 14,的表达式；名师归纳总结 3 数列a n满意a 13 , 2a 22,且n2时s n13s n2 s n110,求通项an1第 4 页,共 5 页4 数列a n中,如s n1nan,求通项a n求通项ana n5 数列a n中,a >0, 且a n22=2ns,求通项a n6 已知数列a n中,a 19,且 满意a n13 an6.3n, 7 已知函数f x 2x2x,且 数列a n满意flog2a n2n ,求通项8 数列a n满意a 12a 23 a 34a 4. na nn n1 n2,求通项an9 数列a n中,已知a 10,an13 an2n,求通项an10 数列na中,已知a 15,an11a n1n1,求an632n21（4）an111 数列na中,已知a 11,且a n12a n9,求通项ana n412 数列na中, s n4a n12,求通项ann 2答案：（1）nan222（2）an32n2（3）a n2nn n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （5）a n4n2（6）a n2n学习必备欢迎下载n21n （8）an3 n3n 1 3（ 7）a n（9）an23n12n1（10）a n61n1 13n131731n12（11）an6n5 观看法与特点根法 （12）a nn12n2 n1an13. 已知数列an中,a 11,a22,an22a n11a n,求a ；33443解：由a n22an11an可转化为an2sa n1tan1san332an+1 21=1 214. 在数列 an 中,a1=2,且 an+1=an21,求 an 的通项公式an=12n（an 21）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
