2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 .docx

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学习目标1.了解空间中两条直线的位置关系.2.理解异面直线的概念、画法.3.理解并掌握公理4及等角定理.4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角知识点一空间两直线的位置关系思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案平行与相交教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.梳理异面直线的概念(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托(3)判断两直线为异面直线的方法定义法；两直线既不平行也不相交(4)空间两条直线的三种位置关系从是否有公共点的角度来分：从是否共面的角度来分：知识点二平行公理(公理4)思考在平面内，直线a，b，c，若ab，bc则ac.该结论在空间中是否成立？答案成立梳理平行公理的内容(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行(2)符号表示：ac.知识点三等角定理思考观察图，在长方体ABCDABCD中，ADC与ADC，ADC与DAB的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看出，ADCADC，ADCDAB180. 梳理空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补知识点四异面直线所成的角思考在长方体A1B1C1D1ABCD中，BC1AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？答案相等梳理定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O作直线aa，bb结论我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为，则0<90.特殊情况当90时，a与b互相垂直，记作ab.类型一异面直线的判断例1如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是()答案C解析本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择A，B中，PQRS，D中，PQ和RS相交故选C.反思与感悟判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行只要既不相交，也不平行，就是异面直线跟踪训练1如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.类型二公理4及等角定理的应用例2已知E，E分别是正方体ABCDABCD的棱AD，AD的中点(1)求证：四边形BBEE为平行四边形；(2)求证：BECBEC.证明(1)如图所示，因为E，E分别是AD，AD的中点，所以AEAE，且AEAE.所以四边形AEEA是平行四边形所以AAEE，且AAEE.又因为AABB，且AABB，所以EEBB，且EEBB.所以四边形BEEB是平行四边形(2)由(1)知，四边形BBEE为平行四边形，所以BEBE.同理可证CE CE.又BEC与BEC的两边方向相同，所以BECBEC.引申探究本例2中取CD的中点G，求证四边形ACGE为梯形证明连接AC.E，G分别为AD，CD的中点，EG綊AC.AA綊CC，四边形ACCA是平行四边形，AC綊AC，EG綊AC，四边形ACGE是梯形反思与感悟(1)公理4的作用公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法(2)剖析“等角定理”如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等跟踪训练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点求证：EFGC1DA1.证明如图，连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF綊B1C.又ABCDA1B1C1D1为正方体，所以CD綊AB，A1B1綊AB，由公理4知CD綊A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D綊B1C.又B1CFG，由公理4知A1DFG.同理可证：A1C1EG，DC1EF.又DA1C1与EGF，A1DC1与EFG，DC1A1与GEF的两边分别对应平行且均为锐角，所以DA1C1EGF，A1DC1EFG，DC1A1GEF.所以EFGC1DA1.类型三求异面直线所成的角例3空间四边形ABCD中，ABCD，且AB与CD所成锐角为30，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小解如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EG綊AB，GF綊CD，由ABCD知EGFG，从而可知GEF为EF与AB所成角，EGF或其补角为AB与CD所成角AB与CD所成角为30，EGF30或150，由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75，当EGF150时，GEF15，故EF与AB所成角的大小为15或75.反思与感悟求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角(2)计算角：求角度，常利用三角形(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角跟踪训练3在空间四边形ABCD中，两条对边ABCD3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且，EF，求AB和CD所成角的大小解如图，连接BD，过点E作AB的平行线交BD于O，连接OF.因为EOAB，所以，.又因为AB3，所以EO2.又，所以，所以OFDC，所以OE与OF所成的角即为AB和CD的成的角，.因为DC3，所以OF1.在OEF中，OE2OF25，EF2()25，所以OE2OF2EF2，EOF90，所以AB和CD所成的角为90.1空间两条互相平行的直线指的是()A在空间没有公共点的两条直线B分别在两个平面内的两条直线C在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D在同一平面内且没有公共点的两条直线答案D解析由平行直线的定义可得2若OAOA，OBOB，且AOB130，则AOB为()A130 B50C130或50 D不能确定答案C解析根据定理，AOB与AOB相等或互补，即AOB130或AOB50.3分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A一定平行 B一定相交C一定异面 D相交或异面答案D解析画出图形，得到结论如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系综上可知，应选D.4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面解析(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1BD1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCDA1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角在AB1C中，由AB1ACB1C，可知B1CA60，即A1C1与B1C所成的角为60.(2)如图所示，连接BD.由(1)知ACA1C1，AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角EF是ABD的中位线，EFBD.又ACBD，ACEF，EFA1C1，即A1C1与EF所成的角为90.1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法2在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小作异面直线所成的角可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法(可利用图中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)课时作业一、选择题1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A异面或平行B异面或相交C异面D相交、平行或异面答案D解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示2两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A全等 B不相似C仅有一个角相等 D相似答案D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.3已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行答案C解析若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知ab，与a，b异面矛盾，故选C.4空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形 B矩形 C菱形 D正方形答案B解析如图，易证四边形EFGH为平行四边形又E，F分别为AB，BC的中点，EFAC.又FGBD，EFG或其补角为AC与BD所成的角而AC与BD所成的角为90，EFG90，故四边形EFGH为矩形5如图是无盖正方体纸盒的平面展开图，则直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A平行 B相交且垂直C异面 D相交成60角答案D解析如图，连接AC，得正三角形ABC，AB，CD在原正方体中相交成60角6.如图所示，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，l平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定正确的是()Al与AD平行Bl与AB异面Cl与CD所成角为30Dl与BD垂直答案B解析由l与AB既不平行也不相交，故l与AB一定互为异面直线7下列四个结论中假命题的个数是()垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两直线平行；若直线a，b，c满足ab，bc，则ac；若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线A1 B2 C3 D4答案B解析均为假命题可举反例，如a、b、c三线两两垂直如图甲，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为()A30 B45 C60 D90答案C解析如图，连接BC1，A1C1.BC1AD1，异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角在A1BC1中，A1BBC1A1C1，A1BC160.故异面直线A1B与AD1所成的角为60.9.如图，在三棱锥DABC中，ACBD，且ACBD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A30 B45C60 D90答案B解析如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.E，F分别是为CD，AB的中点，FGAC，EGBD，且FGAC，EGBD.又ACBD，FGEG，EFG为EF与AC所成的角或其补角ACBD，FGEG，FGE90，EFG为等腰直角三角形，EFG45，即EF与AC所成的角为45.二、填空题10如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有_对答案3解析PA与BC，PB与AC，PC与AB互为异面直线共3对11如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_答案解析(1)中HGMN，(3)中GMHN且GMHN，所以直线HG与MN必相交12如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)AC与DD1所成的角为_；(2)AC与D1C1所成的角为_答案(1)90(2)45解析(1)DD1和AC是异面直线，因为AA1DD1，所以A1AC为DD1和AC所成的角因为AA1AC，所以A1AC90，所以DD1和AC所成的角是90.(2)因为DCD1C1，所以ACD是AC和D1C1所成的角又ACD45，所以AC和D1C1所成的角是45.三、解答题13如图，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别是AB，CD的中点，EF，求AD与BC所成角的大小解如图，取BD的中点G，连接GE，GF.因为BEEA，BGGD，所以GEAD，GEAD1.因为DFFC，DGGB，所以GFBC，GFBC1.所以EGF(或其补角)是异面直线AD与BC所成的角在GEF中，GE1，GF1，EF(如图)，取EF的中点O，连接GO，则GOEF，EOEF.所以sinEGO，所以EGO60，所以EGF2EGO120，所以异面直线AD与BC所成的角是18012060.四、探究与拓展14在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为()A30 B45 C90 D60答案D解析连接AD1，D1C，BC1.因为M，N分别为BC和CC1的中点，所以C1BMN，又C1BAD1，所以AD1MN，所以D1AC即为异面直线AC和MN所成的角又D1AC是等边三角形，所以D1AC60，即异面直线AC和MN所成的角为60.15.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)判断C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG为平行四边形(2)解由BE綊AF，G为FA的中点知，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C、D、F、E四点共面