2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题一 第四讲　不等式、线性规划 .doc

专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第四讲不等式、线性规划思想方法诠释对于解不等式，主要涉及一元二次不等式、分式不等式、对数和指数不等式，并且以一元二次不等式为主2对于线性规划知识的考查主要通过图示的方法获得最优解或已知最优解求参数，此类题型有时需要借助一个实际背景其中以考查线性目标函数的最值为重点，常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解3对于基本不等式重在考查对代数式的转化过程及适用条件、等号成立条件的检验，在求最值或不等式恒成立问题中常用基本不等式.1(2017广东珠海二模)若集合A，Bx|x2<2x，则AB等于()Ax|0<x<1 Bx|0x<1Cx|0<x1 Dx|0x1解析集合Ax|0x<1，Bx|x2<2xx|0<x<2，所以ABx|0<x<1答案A2(2017山东卷)已知x，y满足约束条件则zx2y的最大值是()A0 B2 C5 D6解析x，y满足的约束条件对应的平面区域如图中阴影部分所示，将直线y进行平移，显然当该直线过点A(3,4)时z取得最大值，zmax385.答案C3(2015湖南卷)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2 C2 D4解析解法一：由已知得，且a>0，b>0，abb2a2，当且仅当时等号成立，ab2.解法二：由题设易知a>0，b>0，2 ，即ab2，当且仅当时，取等号，选C.答案C4(2017山东卷)若a>b>0，且ab1，则下列不等式成立的是()Aa<<log2(ab)B.<log2(ab)<aCa<log2(ab)<Dlog2(ab)<a<解析特值法：令a2，b，可排除A、C、D.故选B.答案B5(2017山西四校联考)已知实数x，y满足则z的取值范围为_解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z表示点D(2,3)与平面区域内的点(x，y)之间连线的斜率因点D(2,3)与B(8,1)连线的斜率为且C的坐标为(2，2)，故由图知z的取值范围为.答案考点一不等式的解法求解不等式的方法(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2bxc>0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解对点训练1(2016全国卷)设集合Ax|x24x3<0，Bx|2x3>0，则AB()A. B.C. D.解析x24x3<0(x1)(x3)<01<x<3，Ax|1<x<32x3>0x>，B，AB.故选D.答案D2(2017河北质量监测)函数f(x)则不等式f(x)>2的解集为()A(2,4) B(4，2)(1,2)C(1,2)(，) D(，)解析令2ex1>2(x<2)，解得1<x<2；令log3(x21)>2(x2)，解得x>，故选C.答案C3(2017广东清远一中一模)关于x的不等式axb<0的解集是(1，)，则关于x的不等式(axb)(x3)>0的解集是()A(，1)(3，)B(1,3)C(1,3)D(，1)(3，)解析关于x的不等式axb<0即ax<b的解集是(1，)，ab<0，不等式(axb)(x3)>0可化为(x1)(x3)<0，解得1<x<3，所求不等式的解集是(1,3)故选C.答案C4(2017天津卷)已知函数f(x)设aR，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是()A2,2 B2，2C2,2 D2，2解析作出f(x)的图象如图所示，当y的图象经过点(0,2)时，可知a2.当ya的图象与yx的图象相切时，由ax，得x22ax40，由0，并结合图象可得a2.要使f(x)恒成立，当a0时，需满足a2，即2a0，当a>0时，需满足a2，所以2a2.答案A(1)求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集(2)解一元二次不等式恒成立问题的3种方法：图象法；分离参数法；更换主元法考点二基本不等式的应用1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)当且仅当ab时取等号(2)ab2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(3)2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号对点训练1(2017河北衡水中学调研)若a>0，b>0，lgalgblg(ab)，则ab的最小值为()A8 B6 C4 D2解析由a>0，b>0，lgalgblg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，则有1，所以ab(ab)222 4，当且仅当ab2时等号成立，所以ab的最小值为4，故选C.答案C2设a>1，b>1且ab(ab)1，那么()Aab有最小值22Bab有最大值22Cab有最大值1Dab有最小值22解析a>1，b>1且ab(ab)1，1abab2，则(ab)24(ab)40，得ab22或ab22(舍去)，当且仅当ab1时等号成立abab122，ab32，当且仅当ab时等号成立，故选A.答案A3(2017海淀期末)当0<m<时，若k22k恒成立，则实数k的取值范围为()A2,0)(0,4 B4,0)(0,2C4,2 D2,4解析因为0<m<，所以0<2m(12m)2(当且仅当2m12m，即m时取等号)，所以8，又k22k恒成立，所以k22k80，所以2k4.所以实数k的取值范围是2,4故选D.答案D4(2017天津卷)若a，bR，ab>0，则的最小值为_解析a44b42a22b24a2b2(当且仅当a22b2时“”成立)，4ab，由于ab>0，4ab2 4，故当且仅当时，的最小值为4.答案4利用基本不等式求函数最值的3个关注点(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误(3)方法：使用基本不等式时，一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax(ab>0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法考点三线性规划问题1线性目标函数zaxby最值的确定方法线性目标函数zaxby中的z不是直线axbyz在y轴上的截距，把目标函数化为yx，可知是直线axbyz在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值2常见的目标函数类型(1)截距型：形如zaxby，可以转化为yx，利用直线在y轴上的截距大小确定目标函数的最值；(2)斜率型：形如z，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率；(3)距离型：形如z(xa)2(yb)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；形如z|AxByC|，表示区域内的动点(x，y)到直线AxByC0的距离的倍角度1：给出约束条件求区域面积和目标函数的最值解析由约束条件作出可行域，如图阴影部分所示平移直线3x2y0可知，目标函数z3x2y在A点处取最小值，又由解得即A(1,1)，所以zmin3(1)215.答案5探究追问在例11的条件下，z(x1)2y2的取值范围是_解析由解得即C.(x1)2y2的几何意义是区域内的点(x，y)与定点(1，0)间距离的平方由图可知，点(1,0)到直线AB：2xy10的距离最小，为，故zmin；点(1,0)到点C的距离最大，故zmax22.所以z(x1)2y2的取值范围是.答案角度2：由最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围【例12】(2017开封一模)若x，y满足约束条件且目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A4,2 B(4,2)C4,1 D(4,1)思维流程解析作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线zax2y的斜率为k，从图中可看出，当1<<2，即4<a<2时，目标函数z仅在点(1,0)处取得最小值故选B.答案B解决线性规划问题的3个步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.(2)平移将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置有时需要对目标函数l和可行域边界的斜率的大小进行比较(3)求值解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值对点训练1角度1某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31200元 B36000元C36800元 D38400元解析设分别租用A，B两种型号的客车x辆，y辆，所用的总租金为z元，则z1600x2400y，其中x，y满足不等式组(x，yN*)其可行域如图中阴影部分，由z1600x2400y，得yx.当直线yx过点M(5,12)时，zmin1600524001236800.答案C2角度2(2017湖北八校联考(一)若实数x，y满足不等式组其中m>0，且xy的最大值为9，则实数m()A4 B3 C1 D2解析根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示设zxy，由得A.易知当zxy经过点A时，z取得最大值，故9，得m1.答案C热点课题4求解不等式中参数范围问题感悟体验1(2017安徽六安一中月考)在区间(1,2)上不等式x2mx4>0有解，则m的取值范围为()Am>4 Bm<4Cm>5 Dm<5解析记f(x)x2mx4，要使不等式x2mx4>0在区间(1,2)上有解，需满足f(1)>0或f(2)>0，即m5>0或2m8>0，解得m>5.故选C.答案C2(2017唐山一模)已知a>1，b>0，若ab2，且<m2m恒成立，则实数m的取值范围为()A0,1 B(，01，)C(0,1) D(，0)(1，)解析由题意可得()max<m2m，a>1，b>0，ab2，a1>0，a1b1.，当且仅当ba1，ab2，即a，b时取等号，所以m2m>，解得m>1或m<0.故选D.答案D