2018版高中数学人教B版必修五学案：第三单元 §3.4　不等式的实际应用 .docx

www.ks5u.com学习目标1.掌握建立一元二次不等式模型解决实际问题.2.掌握建立均值不等式模型解决实际问题知识点一不等式模型思考一般情况下，建筑民用住宅时，民用住宅商户的总面积应小于该住宅的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和占地面积，如何研究住宅的采光条件是变好了还是变差了？梳理建立不等式模型解决实际问题的过程：(1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解)；(2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题；(3)解决数学问题；(4)回归实际问题，写出准确答案知识点二常见的不等式模型1一元二次不等式模型根据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数，需要求变量的范围或者最值，解决办法是解一元二次不等式或配方法求最值，注意实际含义对变量取值范围的影响2均值不等式模型根据题意抽象出的模型是(1)yx(a0)，(2)ab，ab中有一个是定值，求另一个的最值，解决办法是应用均值不等式，注意均值不等式成立的条件a0，b0，以及等号成立的条件是否具备类型一一元二次不等式的实际应用命题角度1范围问题例1国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的产销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？反思与感悟解有关不等式应用题的步骤(1)选用合适的字母表示题中的未知数(2)由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)(3)解所列出的不等式(组)(4)结合问题的实际意义写出答案跟踪训练1某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？命题角度2最值问题例2甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险(1)若f(0)10，g(0)20，试解释它们的实际意义；(2)设f(x)10，g(x)20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？反思与感悟与最值相关的二次函数问题的解题方法(1)此类问题一般涉及最大值、最小值的确定，实质是求一元二次函数的最值，一般是根据题意列出相应的一元二次函数，再通过配方求最值(2)需要注意一元二次函数的对称轴与实际问题中自变量范围的关系，若对称轴在取值范围内，则最值在对称轴处取，若不在取值范围内，则根据函数的单调性确定在哪一个端点处取最值(3)对于列出的函数是分段函数的，则在每一段上求最值，再比较每个最值的大小跟踪训练2已知不等式sin2x2asin xa22a2>0对一切xR恒成立，求实数a的取值范围类型二均值不等式的实际应用例3某单位决定投资3 200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元(1)仓库底面积S(m2)的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？反思与感悟(1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查(2)建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性跟踪训练3把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为()A4 B8 C16 D321某工厂第一年产量为A，第二年增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()Ax Bx Cx> Dx2.某校要建一个面积为392 m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2 m和4 m的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为_m2.3某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_公里处4某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与单价P元之间的关系为P1602x，生产x件所需成本为C50030x元，该厂日产量多大时，每天获利不少于1 300元？ 1.解不等式实际应用题的解题思路2建立一元二次不等式模型求解实际问题操作步骤为：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解答案精析问题导学知识点一思考设a和b分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积，m表示增加的面积，则只需比较与的大小即可题型探究类型一命题角度1例1解设产销量每年为x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的金额为70xR%万元，其中x10010R.由题意，得70(10010R)R%112，整理，得R210R160.因为360，所以方程R210R160的两个实数根分别为R12，R28.由二次函数yR210R16的图象，得不等式的解集为R|2R8所以当2R8时，每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元跟踪训练1解如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，因为AB400，BAx30，所以热带风暴中心B的坐标为(200，200)，x h后热带风暴中心B到达点P(200，40x200)处，由已知，A市受热带风暴影响时，有|AP|350，即(200)2(40x200)23502，整理得16x2160x3750，解不等式，得3.75x6.25，A市受热带风暴影响的时间为6253.752.5，故在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h.命题角度2例2解(1)f(0)10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g(0)20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费(2)设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，若双方均无失败的风险，依题意，当且仅当成立故y(20)10，则4y600，所以(4)(415)0，得4，故y16，x2024，即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元宣传费跟踪训练2解设f(x)sin2x2asin xa22a2，则f(x)(sin xa)222a.当a<1时，f(x)在sin x1时取到最小值，且f(x)mina23，a23>0显然成立，a<1.当1a1时，f(x)在sin xa时取到最小值，且f(x)min22a，由22a>0，解得a<1，1a<1.当a>1时，f(x)在sin x1时取到最小值，且f(x)mina24a3，由a24a3>0，解得a<1或a>3，a>3.综上所述，a的取值范围为a<1或a>3.类型二例3解(1)设铁栅长为x m，一侧砖墙长为y m，则有Sxy.由题意得40x245y20xy3 200.由均值不等式，得3 200220xy12020xy12020S，S6160，即(16)(10)0.16>0，100，S100.S的最大允许值是100 m2.(2)由(1)知取得最大值的条件是40x90y，而xy100，由此求得x15，即铁栅的长应是15 m.跟踪训练3B当堂训练1B2.6483.54解由题意得(1602x)x(50030x)1 300，化简得x265x9000，解得20x45.所以该厂每天产量在20件至45件之间时，每天获利不少于1 300元.