2018版高中数学北师大版必修五学案：第一章 2．2　等差数列的前n项和（一） .docx

2.2等差数列的前n项和(一)学习目标1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个知识点一等差数列前n项和公式的推导思考高斯用123100(1100)(299)(5051)10150迅速求出了等差数列前100项的和但如果是求123n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？梳理“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下：Sna1a2a3an1ana1(a1d)(a12d)a1(n2)da1(n1)d；Snanan1an2a2a1an(and)(an2d)an(n2)dan(n1)d两式相加，得2Snn(a1an)，由此可得等差数列an的前n项和公式Sn.根据等差数列的通项公式ana1(n1)d，代入上式可得Snna1_.知识点二等差数列前n项和公式的特征思考1等差数列an中，若已知a27，能求出前3项和S3吗？思考2我们对等差数列的通项公式变形：ana1(n1)ddn(a1d)，分析出通项公式与一次函数的关系你能类比这个思路分析一下Snna1d吗？梳理等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形：(1)Snn；(2)Snn2(a1)n；(3)n(a1)(是公差为的等差数列)知识点三等差数列前n项和公式的性质 思考若an是公差为d的等差数列那么a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9是等差数列吗？如果是，公差是多少？梳理等差数列的前n项和常用性质(1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为m2d.(2)项的个数的“奇偶”性质an为等差数列，公差为d.设S奇为前n项中序号为奇数的项之和S偶为前n项中序号为偶数的项之和若共有2n项，则S2nn(anan1)；S偶S奇nd；.若共有2n1项，则S2n1(2n1)an1；S偶S奇an1；.类型一求和命题角度1根据条件选择公式求和例1等差数列an中，公差为d，Sn为前n项和(1)a13，d2，求S10；(2)a1105，an994，d7，求Sn.反思与感悟等差数列前n项和公式有2个：Snna1d，Sn，使用时根据条件选择，当条件不具备时，缺什么求什么跟踪训练1(1)已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和等于_(2)等差数列an中，a4a70，则前10项的和为_命题角度2实际问题求和例2某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解跟踪训练2植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为_米类型二等差数列前n项和公式的应用例3已知一个等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用；(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二跟踪训练3在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.类型三等差数列前n项和性质的应用例4(1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值反思与感悟等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果跟踪训练4设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.1在等差数列an中，若S10120，则a1a10的值是()A12 B24 C36 D482记等差数列的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于()A2 B3 C6 D73在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.4已知等差数列an，(1)a1，d，Sn15，求n及an；(2)a11，an512，Sn1 022，求d.1求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到2等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN)；若mn2p，则anam2ap.3本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想答案精析问题导学知识点一思考不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设Sn123(n1)n，又Snn(n1)(n2)21，2Sn(1n)2(n1)(n1)2(n1)，2Snn(n1)，Sn.梳理d知识点二思考1S33a221.思考2按n的降幂展开Snna1d n2(a1)n是关于n的二次函数形式，且常数项为0.知识点三思考(a4a5a6)(a1a2a3)(a4a1)(a5a2)(a6a3)3d3d3d9d，同样，(a7a8a9)(a4a5a6)9d.a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9是公差为9d的等差数列题型探究例1解(1)S1010a1d1032120.(2)d7，解得n128.Sn7 0336.跟踪训练1(1)27(2)0例2解设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则a1501 0001%60(元)，a250(1 00050)1%59.5(元)，a1050(1 000950)1%55.5(元)，即第10个月应付款55.5元由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，所以有S20201 105(元)，即全部付清后实际付款1 1051501 255(元)跟踪训练22 000解析假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S920201020202 000 米例3解方法一由题意知S10310，S201 220，将它们代入公式Snna1d，得解方程组得Snn463n2n.方法二S10310a1a1062，S201 220a1a20122，得：a20a1060，10d60，d6，a14.Snna1d3n2n.跟踪训练3解由得解方程组得或例4解(1)方法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列30,70，S3m100成等差数列27030(S3m100)，S3m210.方法二在等差数列中，成等差数列，.即S3m3(S2mSm)3(10030)210.(2).跟踪训练4解设等差数列an的公差为d，则Snna1n(n1)d，S77，S1575，即解得a1(n1)dn，数列是等差数列，其首项为2，公差为，Tnn(2)n2n.当堂训练1B2.B3.1904(1)n12，ana124(2)171