2018版高中数学人教版A版必修五学案：§2.2　等差数列（一） .docx

学习目标1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用知识点一等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示思考1等差数列an的概念可用符号表示为an1and(nN*)思考2等差数列an的单调性与公差d的符号的关系等差数列an中，若公差d>0，则数列an为递增数列；若公差d<0，则数列an为递减数列；若公差d0，则数列an为常数列知识点二等差中项的概念若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A.知识点三等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项ana1(n1)d思考教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？答案还可以用累加法，过程如下：a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d(n2)，将上述(n1)个式子相加得ana1(n1)d(n2)，ana1(n1)d(n2)，当n1时，a1a1(11)d，符合上式，ana1(n1)d(nN*)题型一等差数列的概念例1(1)下列数列中，递增的等差数列有()1，3，5，7，9；2，0，2，0，6，0，；，；0，0，0，0，；1，1.A1个 B2个C3个 D4个(2)已知a，b，则a与b的等差中项为()A. B. C. D.答案(1)C(2)A解析(1)等差数列有，其中递增的为，共3个，为常数列(2)a与b的等差中项为()()().反思与感悟(1)判断一个数列是不是等差数列，只需看an1an(n1)是不是一个与n无关的常数(2)判断一个等差数列是不是递增数列，只需看数列an的公差d是否大于0.(3)求两个数的等差中项，只需求这两个数的和的一半即可跟踪训练1(1)在数列an中，a12，2an12an1(nN*)，则数列an是()A公差为1的等差数列B公差为的等差数列C公差为2的等差数列D不是等差数列(2)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是_答案(1)B(2)6解析(1)an1an，an1an(nN*)，数列an是以为公差的等差数列(2)由题意得3(mn)201636，mn12，6，即m，n的等差中项为6.题型二等差数列的通项公式及应用例2(1)若an是等差数列，a158，a6020，求a75.(2)已知递减等差数列an的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断34是否为该数列的项解(1)设an的公差为d.由题意知解得所以a75a174d7424.(2)依题意得解得或数列an是递减等差数列，d<0.故取a111，d5.an11(n1)(5)5n16.即等差数列an的通项公式为an5n16.令an34，即5n1634，得n10.34是数列an的第10项反思与感悟在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量跟踪训练2已知an为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：(1)a35，a713；(2)前三项为a，2a1，3a.解(1)设首项为a1，公差为d，则解得ana1(n1)d1(n1)22n1.(2)由等差中项公式得2(2a1)a(3a)，a，首项为a，公差为2a1aa11，an(n1)1.题型三等差数列的判定与证明例3 已知数列an满足a1，且当n>1，nN*时，有，设bn，nN*.(1)求证：数列bn为等差数列；(2)试问a1a2是不是数列an中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由(1)证明方法一，an1(12an)an(2an11)，即an1an(4an11)，an，bn4，bnbn144，数列bn是等差数列，且公差为4，首项为5.方法二当n>1，nN*时，224bnbn14，且b15.数列bn是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解由(1)知bnb1(n1)d54(n1)4n1.an，nN*.a1，a2，a1a2.令an，n11.即a1a2a11，a1a2是数列an中的项，且是第11项反思与感悟1.判定等差数列的方法：(1)定义法：an1and(nN*)或anan1d(n2，nN*)数列an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an为等差数列(3)通项公式法：数列an的通项公式anpnq(p，q为常数)数列an为等差数列注意：通项公式法不能作为证明方法若an1an为常数，则该常数为等差数列an的公差；若an1ananan1(n2，nN*)成立，则无法确定等差数列an的公差若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；而要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可2已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式跟踪训练3在数列an中，a12，an1an2n1.(1)求证：数列an2n为等差数列；(2)设数列bn满足bn2log2(an1n)，求bn的通项公式(1)证明(an12n1)(an2n)an1an2n1(与n无关)，故数列an2n为等差数列，且公差d1.(2)解由(1)可知，an2n(a12)(n1)dn1，故an2nn1，所以bn2log2(an1n)2n.例4若数列an的通项公式为an10lg 3n，求证：数列an为等差数列错解因为an10lg 3n10nlg 3，所以a110lg 3，a2102lg 3，a3103lg 3，所以a2a1lg 3，a3a2lg 3，则a2a1a3a2，故数列an为等差数列错因分析由数列的通项公式求出的a2a1a3a2仅能确保数列的前三项成等差数列，不能保证数列是等差数列正解因为an10lg 3n10nlg 3，所以an110(n1)lg 3.所以an1an10(n1)lg 3(10nlg 3)lg 3(nN*)，所以数列an为等差数列误区警示数列的前几项成等差数列与数列为等差数列不是等价的若数列是等差数列，则数列的前三项成等差数列；而若数列的前三项成等差数列，则数列未必是等差数列；但若数列的前三项不是等差数列，则数列一定不是等差数列因此利用非等价关系求出的结果未必满足题设条件，必须对求出的结果代入验证，以确保满足题设条件1已知等差数列13n，则公差d等于()A1 B3 C3 Dn答案C解析an13n，a12，a25，da2a13.2下列命题：数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；数列a，a1，a2，a3是公差为1的等差数列；等差数列的通项公式一定能写成anknb的形式(k，b为常数)；数列2n1是等差数列其中正确命题的序号是()A BC D答案C解析正确，中公差为2.3在等差数列an中，若a184，a280，则使an0，且an1<0的n为()A21 B22 C23 D24答案B解析公差da2a14，ana1(n1)d84(n1)(4)884n，令即21<n22.又nN*，n22.4若an是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有()|an|；an1an；panq(p，q为常数)；2annA1个 B2个 C3个 D4个答案C解析设anknb，则an1ank，故为常数列，也是等差数列panqp(knb)qpkn(pbq)，故为等差数列，2ann2(knb)n(2k1)n2b，故为等差数列未必，如an2n4，则|an|的前4项为2，0，2，4，显然|an|不是等差数列5等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.解(1)设数列an的公差为d，由题意有2a15d4，a15d3.解得a11，d.所以an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn.当n1，2，3时，1<2，bn1；当n4，5时，2<3，bn2；当n6，7，8时，3<4，bn3；当n9，10时，4<5，bn4.所以数列bn的前10项和为1322334224. 1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法(1)an1and(d为常数，nN*)an是等差数列；(2)2an1anan2(nN*)an是等差数列；(3)anknb(k，b为常数，nN*)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可2由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量