辽宁凌源市2017年度2018年度学年高二上学期期末专业考试数学(理)试题含解析.doc

,.www.ks5u.com凌源市20172018学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合，,所以.故选C.2. “”是“”的（ ）A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由解得x>2，或x<4.“x>2“是“ “成立的充分不必要条件。故选：B.3. 函数的最大值是（ ）A. -1 B. 1 C. 6 D. 7【答案】B【解析】根据题意得：，所以.又，为减函数，为增函数，所以函数为减函数，当时取得最大值1.故选B.4. 已知双曲线的中心为原点，是双曲线的一个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】双曲线的中心为原点，F(3,0)是双曲线的个焦点，设双曲线方程为，a>0，是双曲线的一条渐近线，解得a2=4，双曲线方程为.故选D.5. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】直线的方向向量为，平面的法向量为，则使，只需即可.四个选项中，只有D，满足.故选D.6. 已知为抛物线上一点，则到其焦点的距离为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】把代入抛物线方程得：2=2p，p=1.抛物线的焦点为F(0,).抛物线的准线方程为y=.A到准线的距离为1+=.AF=.故选：A.7. 执行如图所示的程序框图，如果输出的值为3，则输入的值可以是（ ）A. 20 B. 21 C. 22 D. 23【答案】A【解析】由题意，模拟执行程序，可得k=0，S=0，满足条件Sa，S=20+3=3，k=0+1=1满足条件Sa，S=23+3=9，k=1+1=2满足条件Sa，S=29+3=21，k=2+1=3由题意，此时，应该不满足条件21a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20.故选：A.8. 为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】因为所以只需要将函数的图象向右平移个单位长度即可.故选C.点睛：本题考查三角函数的图象变换和三角函数的性质；本题的易错点是“向右平移时，平移单位错误”，要注意左右平移时，平移的单位仅对于自变量而言，如：将的图象将左平移个单位时得到函数的图象，而不是的图象.9. 若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】.即.又，所以，所以，于是 ，所以 ，故选A.10. 若满足约束条件，则的最大值是（ ）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】做出不等式组表示的可行域，如图所示：设,则.据图分析知当直线经过直线和的交点A(1,2)时，取得最大值2，故选C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.11. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体。圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1.所以几何体的表面积为12+213+412+12+12=9.故选B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.12. 函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则（ ）A. 6 B. 8 C. 10 D. 12【答案】C【解析】试题分析：注意到，有个根，有个根，有个根，故.注意到，有个根，故，所以.考点：函数的零点，复合函数.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，且，则的最小值是_【答案】4【解析】由，得.当且仅当，即时，等号成立.答案为：4.14. 已知向量，且，则的值为_【答案】12【解析】向量，.由，得.解得.点睛：本题主要考查了奇函数的性质及基本不等式的应用，基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件15. 已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是_【答案】【解析】试题分析：因为圆的方程可化为，圆心，半径为，依题作出草图，可知,所以四边形面积的最小值就是的最小值,而,本题要求出最小的的值,即为圆心到直线的最短距离,所以，即四边形面积的最小值是.考点：1.点到直线的距离；2.切线的性质；3.转换的思想.16. 椭圆上的任意一点(短轴端点除外)与短轴上、下两个端点的连线交轴于点和，则的最小值是_【答案】可得,同理可求,所以 .所以.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数在区间上有1个零点；函数图象与轴交于不同的两点.若“”是假命题，“”是真命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：对于命题p，设y=f（x），知道该函数为二次函数，对称轴为x=1，从而有，解该不等式组即可得到0<a<1；对于命题q，则有>0，从而可解得或并且根据条件可知p真q假，或p假q真，求出这两种情况的a的取值范围再求并集即可试题解析：对于设.该二次函数图象开向上，对称轴为直线，所以，所以；对于函数与轴交于不同的两点，所以，即，解得或.因为“”是假命题，“”是真命题，所以一真一假.当真假时，有，所以；当假真时，有，所以或.所以实数的取值范围是.点睛：（1）当命题p与q的关系不好判断时，我们可以考虑写出命题p,q的否定，即与，分析出与的关系，再根据互为逆否命题同真同假进行判断。为真，即p与q同时为真。）为假，即p与q中至少有一个为假。 为真，即p与q至少有一个为真。为假，即p与q同时为假。（4）与的真假性相反。18. 在数列中，.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】试题分析：（1）要证明数列为等比数列，应证明为常数，设法对进行代数变形即可得证；（2）在（1）证明的基础上可求得，利用乘公比错位相减法即可实现求和试题解析：（1）由题意所以数列为等比数列（2）得考点：数列的递推公式、等比数列定义的应用及其前项和公式19. 已知顶点在单位圆上的中，角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinAcosA=sinA，又0<A<，即可求得cosA的值（2）由同角三角函数基本关系式可求sinA的值，由于顶点在单位圆上的ABC中，利用正弦定理可得，可求a，利用余弦定理可得bc的值，利用三角形面积公式即可得解试题解析：解：（1）因为，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以.所以，所以.（2）据（1）求解知，又，又据题设知，得.因为由余弦定理，得，所以.所以.20. 某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市1565岁的人群抽样了人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示.（1）分别求出的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.【答案】(1) ， (2) 依次抽取2人，3人，1人（3）【解析】试题分析：（1）先由第一组求出的值，再结合图表及频率分布直方图就可以求出的值；（2）根据（1）中求出的各组人数，按照分层抽样的方法就可求出各组应抽取的人数；（3）先列出从人中随机抽取人的总抽取方法，再列出所抽取的人中第二组至少有人的抽取方法数，即可求出所得的概率.试题解析：（1）由频率表中第一组数据可知，第一组总人数为，再结合频率分布直方图可知，（2）第二，三，四组中回答正确的共有人，所以利用分层抽样在人中抽取人，每组分别抽取的人数为：第二组：人，第三组：人，第四组：人.（3）设第二组的人为，第三组的人为，第四组的人为，则从人中抽人所有可能的结果有： 共个基本事件，其中第二组至少有一人被抽中的有这个基本事件.所以第二组至少有一人获得幸运奖的概率为.考点：1、频率分布表及直方图；2、分层抽样；3、古典概型.21. 已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点的直线与椭圆交于两点，直线的斜率分别为，满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】(1) (2) 当变化时，为定值.【解析】试题分析：（1）求椭圆的标准方程，就是要确定的值，只要找到两个关于的等式即可，本题中一个离心率，一个是椭圆过已知点，由此可得；（2）设交点，把直线方程与椭圆方程联立方程组，消去后，可得，计算，化简后并把代入可得结论试题解析：（1）依题意可得解得.所以椭圆的方程是.（2）当变化时，为定值，证明如下：由得，.设，则，（*）直线的斜率依次为，且，得，将（*）代入得：，经检验满足考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】本题考查解析几何中的定值问题，采用“设而不求”方法求解，即设交点为，把直线方程与椭圆方程联立方程组后消元得的一元二次方程，从而得，然后计算，把代入，由等式求得，如果能求出，说明定值存在，如果不能求出，说明定值不存在22. 如下图，在三棱锥中，为的中点.（1）求证：；（2）设平面平面，求二面角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2) 二面角的正弦值为【解析】试题分析：（1） 设的中点为，连接，由可证平面，进而可得；（2）两两互相垂直，可建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再利用空间两向量夹角余弦公式求出二面角的余弦，进而求的正弦.试题解析：（1）设的中点为，连接，又为的中点，平面，又平面，（2）由（1）知：，平面平面，平面平面平面，平面，平面，两两互相垂直，由为的中点，得，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，取，解得，是平面的一个法向量同理可求平面的一个法向量设二面角的大小为，则，二面角的正弦值为考点：1、线面垂直的定义及判定定理；2、空间向量夹角余弦公式.