2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题三 数列 第一讲　等差数列、等比数列 .doc

专题三数列第一讲等差数列、等比数列高考导航对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组求解2对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题3对等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节.1(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99 C98 D97解析设an的公差为d，由等差数列前n项和公式及通项公式，得解得ana1(n1)dn2，a100100298.故选C.答案C2(2017全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24 B3 C3 D8解析设等差数列an的公差为d，依题意得aa2a6，即(12d)2(1d)(15d)，解得d2或d0(舍去)，又a11，S661(2)24.故选A.答案A3(2016浙江卷)设数列an的前n项和为Sn，若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.解析an12Sn1，a22S11，即S2a12a11，又S24，4a12a11，解得a11.又an1Sn1Sn，Sn1Sn2Sn1.解法一：Sn13Sn1，由S24，可求出S313，S440，S5121.解法二：Sn13Sn1，则Sn13.又S1，是首项为，公比为3的等比数列，Sn3n1，即Sn，S5121.答案11214(2017绵阳三诊)已知an是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与的等差中项(1)求证：数列S为等差数列；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.解析(1)证明：由题意知2Snan，即2Snana1.当n1时，由式可得S11；当n2时，anSnSn1，代入式得2Sn(SnSn1)(SnSn1)21，整理得SS1.S是首项为1，公差为1的等差数列(2)由(1)知Sn，则Sn，anSnSn1.bn(1)n()当n为奇数时，Tn1(1)()()()；当n为偶数时，Tn1(1)()()().bn的前n项和Tn(1)n.考点一等差、等比数列的基本运算1等差数列的通项公式及前n项和公式ana1(n1)d；Snna1d.2等比数列的通项公式及前n项和公式ana1qn1(q0)；Sn对点训练1(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2 C4 D8解析等差数列an中，S648，则a1a616a2a5，又a4a524，所以a4a22d24168，得d4，故选C.答案C2(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏 C5盏 D9盏解析由题意可知，由上到下灯的盏数a1，a2，a3，a7构成以2为公比的等比数列，S7381，a13.故选B.答案B3(2017湖北省武汉市武昌区高三调研)设公比为q(q>0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则a1()A2 B1 C. D.解析由S23a22，S43a42得a3a43a43a2，即qq23q23，解得q1(舍)或q，将q代入S23a22中得a1a13a12，解得a11，故选B.答案B4(2017东北三校联考)已知等差数列an满足a23，a59，若数列bn满足b13，bn1abn，则bn的通项公式为_解析由题意可得等差数列an的公差d2，所以ana2(n2)d2n1，则bn1abn2bn1，bn112(bn1)，又因为b112，所以数列bn1是首项为2、公比为2的等比数列，所以bn12n，bn2n1.答案bn2n1等差(比)数列的运算注意两点(1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素(2)在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量【易错提醒】等比数列前n项和公式中若不确定q是否等于1应分q1或q1两种情况讨论考点二等差、等比数列的性质对点训练1(2017广州六校联考)已知等差数列an中，a7a916，S11，则a12的值是()A15 B30 C31 D64解析因为a7a92a816，所以a88.因为S1111a6，所以a6，则d，所以a12a84d15，故选A.答案A2(2017太原模拟)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2 B1 C. D.解析由等比数列的性质，得a3a5a4(a41)，解得a42.又a1，所以q38，即q2，故a2a1q2.答案C3(2017合肥模拟)设等比数列an的前n项和为Sn，若S51，S103，则S15的值是_解析数列an是等比数列，S5，S10S5，S15S10成等比数列，(S10S5)2S5(S15S10)，41(S153)，得S157.答案7探究追问3题中条件不变，如何求S100的值？解析在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列，因为S51，S103，所以S100可表示为等比数列1,2,4，的前20项和，故S1002201.答案2201等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形考点三等差、等比数列的判定与证明1证明数列an是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；(2)利用等差中项，即证明2anan1an1(n2)2证明数列an是等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明(nN*)为一常数；(2)利用等比中项，即证明aan1an1(n2)解(1)证明：由a11，及Sn14an2，有a1a24a12，a23a125，b1a22a13.由Sn14an2知当n2时，有Sn4an12得an14an4an1，an12an2(an2an1)又bnan12an，bn2bn1，bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)由(1)可得bnan12an32n1，数列是首项为，公差为的等差数列(n1)n，an(3n1)2n2.等差、等比数列的判定与证明应注意的两点(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法(2)q和aan1an1(n2)都是数列an为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零 对点训练若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列(2)由(1)可得2n，Sn，当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式故an热点课题11函数与方程思想在数列中的应用 感悟体验1(2017西安统测)已知等差数列an的前n项和为Sn，a113，S3S11，则Sn的最大值为()A49 B28C49或28 D28或49解析由S3S11，可得3a13d11a155d，把a113代入得d2，故Sn13nn(n1)n214n，根据二次函数性质，知当n7时，Sn最大，且最大值为49.答案A2(2017河南郑州二中期末)已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a11，Sn是数列an的前n项的和，则(nN*)的最小值为()A4 B3 C22 D.解析a11，a1、a3、a13成等比数列，(12d)2112d.得d2或d0(舍去)an2n1，Snn2，.令tn1，则t2624当且仅当t3，即n2时，的最小值为4.故选A.答案A