321立体几何中的向量方法1(方向向量与法向量).ppt
3.23.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法方向向量与法向量方向向量与法向量探究：探究：P102“思考思考” 如何确定一个点在空间的位置？在空如何确定一个点在空间的位置？在空间中给定一个点间中给定一个点A和一个定方向（向量），和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？给定能确定一条直线在空间的位置吗？给定一个定点和两个定方向（向量），能确一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？给定一个定一个平面在空间的位置吗？给定一个定点和一个定方向（向量），能确定一定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？个平面在空间的位置吗？1、空间中点的位置的确定：、空间中点的位置的确定：2、空间中直线位置的确定：、空间中直线位置的确定：点的位置向量点的位置向量OP直线的点向式方程直线的点向式方程atAP 平面的法向量平面的法向量 思考：思考：平面的法向量有多少条？平面的法向量有多少条？ 它们的方向相同吗？它们的方向相同吗？3、空间中平面位置的确定：、空间中平面位置的确定：（1）通过平面上的一个定点和两个）通过平面上的一个定点和两个 向量来确定：向量来确定：byaxOP（2）通过平面上的一个定点和一个）通过平面上的一个定点和一个 向量来确定：向量来确定：lAPa 直线的方向向量直线的向量式方程 换句话说换句话说, ,直线上的非零向量直线上的非零向量叫做叫做直线的直线的方向向量方向向量APta 2、平面的法向量、平面的法向量Aa lP平面平面 的向量式方程0a AP 换句话说换句话说, ,与平面垂直的与平面垂直的非零向量非零向量叫做平面叫做平面的的法法向量向量A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平，则称这个向量垂直于平面面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.n n 几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都一个平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，则有内，则有0n m n m n loxyzABCO1A1B1C1例例1.1. 如图所示如图所示, , 正方体的棱长为正方体的棱长为1 1(1)(1)直线直线OAOA的一个方向向量坐标为的一个方向向量坐标为_(2)(2)平面平面OABC OABC 的一个法向量坐标为的一个法向量坐标为_(0,0,1)(1,0,0)oxyzABCO1A1B1C1例例3.3.如图所示如图所示, , 正方体的棱长为正方体的棱长为1 1平面平面ABAB1 1C C 的一个法向量坐标为的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(1,1, -1)(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例4：已知求平面的 单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nAB nACxyzxyz 则，（ ， ， ），（ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的单位法向量为， ，）练习练习如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1 ,E是是PC的中点，的中点， 求平面求平面EDB的一个法向量的一个法向量.ABCDP PE E解：如图所示建立空间直角坐标系解：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2PE依依题题意意得得D DB(1, 1，B(1, 1，0)0)1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)XYZ设平面设平面EDB的法向量为的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是 因为方向向量与法向量可以确定因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的用直线的方向向量方向向量与平面的与平面的法向量法向量表表示空间直线、平面间的示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角、距离夹角、距离等位置关系等位置关系. 用向量方法解决几何问题小结小结 ： 在计算和证明立体几何问题时，在计算和证明立体几何问题时，如果能够在原图中建立适当的空间直如果能够在原图中建立适当的空间直角坐标系，将图形中有关量用坐标来角坐标系，将图形中有关量用坐标来表示，利用空间向量的坐标运算来处表示，利用空间向量的坐标运算来处理，则往往可以在很大程度上降低对理，则往往可以在很大程度上降低对空间想象的要求；求向量坐标的常用空间想象的要求；求向量坐标的常用方法是先设出向量坐标，再待定系数方法是先设出向量坐标，再待定系数. .
